Διδάσκων: Κ. Πούλιος.
Επικοινωνία: costas314@gmail.com
Γραφείο: 209. Ώρες γραφείου: Τρίτη 09:30-11:00 και Τετάρτη 11:00-12:00.
Ώρες και αίθουσες διδασκαλίας:
Τρίτη 11:00-13:00, Αίθουσα Γ32.
Πέμπτη 11:00-13:00, Αίθουσα Γ32.
Προτεινόμενα συγγράμματα:
Γιάννης Ν. Μοσχοβάκης. Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία. Εκδόσεις Νεφέλη. (Μια προκαταρκτική έκδοση είναι διαθέσιμη ηλεκτρονικά στη διεύθυνση https://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/g.pdf )
Herbert B. Endenrton. Elements of set theory.
Paul R. Halmos. Naive Set Theory.
D. W. Cunningham. Set theory, A first course. Cambridge Mathematical Textbooks, 2016.
Βαθμολόγηση: Θα γίνει μια τελική εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων θα δοθούν ασκήσεις, οι οποίες θα μετράνε στο τελικό βαθμό το πολύ μία μονάδα, εφόσον στην τελική εξέταση ο βαθμός σας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 5. Επίσης, κατά την παράδοση των ασκήσεων θα γίνεται προφορική εξέταση.
Έναρξη μαθημάτων: Τρίτη 18 Φεβρουαρίου 2020.
Ακύρωση μαθήματος: Σύμφωνα με ανακοίνωση του τμήματος, την Τρίτη 18 Φεβρουαρίου δεν θα γίνουν μαθήματα. Κατά συνέπεια, η έναρξη του μαθήματος αναβάλλεται για την Πέμπτη 20 Φεβρουαρίου. Για το μάθημα που χάνεται, θα υπάρξει αναπλήρωση, σε ημέρα και ώρα που θα συζητηθεί στην τάξη.
Στο τέλος των μαθημάτων, θα ζητηθεί από τους φοιτητές να συμπληρώσουν ένα ερωτηματολόγιο και να αξιολογήσουν τον διδάσκοντα. Οι απαντήσεις θα αναρτηθούν εδώ.
Τρίτη 18/02: Σύμφωνα με ανακοίνωση του τμήματος, την Τρίτη 18 Φεβρουαρίου δεν θα γίνουν μαθήματα.
Πέμπτη 20/02: Ξεκινήσαμε τη μελέτη της Συνολοθεωρίας, έτσι όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον Cantor και άλλους μαθηματικούς στα τέλη του 19ου αιώνα. Δώσαμε τον διαισθητικό ορισμό του Cantor για την έννοια του συνόλου και είδαμε την Ιδιότητα της Έκτασης. Στην συνέχεια, επαναλάβαμε κάποιους γνωστούς ορισμούς για τα σύνολα (τομή, ένωση, διαφορά δύο συνόλων) και για συναρτήσεις (εικόνα, αντίστροφη εικόνα). Στην συνέχεια, ορίσαμε πότε δύο σύνολα Α,Β είναι ισοπληθικά: όταν υπάρχει μια 1-1 και επί αντιστοιχία από το Α στο Β. Επίσης, ορίσαμε πότε ένα σύνολο θα είναι μικρότερο ή ίσο ενός άλλου συνόλου ως προς το πλήθος. Ορίσαμε πότε ένα σύνολο λέγεται πεπερασμένο, άπειρο, αριθμήσιμο, υπεραριθμήσιμο. Τέλος, αποδείξαμε την εξής πρόταση: ένα σύνολο Α είναι αριθμήσιμο αν και μόνο αν είναι το κενό σύνολο ή δέχεται απαρίθμηση (δηλαδή υπάρχει επιμορφισμός από τους φυσικούς αριθμούς στο Α).
Τρίτη 25/02: Χρησιμοποιώντας το πρώτο διαγώνιο επιχείρημα του Cantor, αποδείξαμε ότι η ένωση μιας ακολουθίας από αριθμήσιμα σύνολα είναι σύνολο αριθμήσιμο. Από αυτό συμπεράναμε ότι το σύνολο των ακέραιων και το σύνολο των ρητών αριθμών είναι σύνολα αριθμήσιμα. Στην συνέχεια, αποδείξαμε ότι υπάρχουν και υπεραριθμήσιμα σύνολα. Ειδικότερα, με το δεύτερο διαγώνιο επιχείρημα του Cantor, διαπιστώσαμε ότι το σύνολο των δυαδικών ακολουθιών είναι σύνολο υπεραριθμήσιμο. Έπειτα ορίσαμε το σύνολο του Cantor και αποδείξαμε ότι υπάρχει 1-1 συνάρτηση από τις δυαδικές ακολουθίες στο σύνολο του Cantor. Από αυτό συνεπάγεται άμεσα ότι το σύνολο του Cantor είναι υπεραριθμήσιμο και άρα και το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο. Τέλος, είδαμε το σχετικά απλό αποτέλεσμα ότι: το καρτεσιανό γινόμενο ενός πεπερασμένου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων είναι σύνολο αριθμήσιμο. Σχολιάσαμε επιπλέον, ότι το αποτέλεσμα αυτό δεν ισχύει αν έχουμε το καρτεσιανό γινόμενο από άπειρο πλήθος σύνολα (ακόμη και αν καθένα από αυτά τα σύνολα είναι πεπερασμένο).
Πέμπτη 27/02: Στην αρχή του μαθήματος ορίσαμε πότε ένας πραγματικός αριθμός λέγεται αλγεβρικός. Στην συνέχεια αποδείξαμε ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Επομένως, (εφόσον οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο) συμπεράναμε ότι υπάρχουν υπερβατικοί αριθμοί και μάλιστα το σύνολό τους είναι υπεραριθμήσιμο. Κατόπιν αποδείξαμε ότι κάθε σύνολο είναι γνήσια μικρότερο ως προς το πλήθος από το δυναμοσύνολό του. Αυτό το αποτέλεσμα, μας επέτρεψε να συμπεράνουμε ότι εκτός από την τάξη απείρου των φυσικών αριθμών και των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν και πολλές άλλες. Στην συνέχεια, προσπαθήσαμε να βρούμε ποια είναι η σχέση μεταξύ του συνόλου των πραγματικών αριθμών και του δυναμοσυνόλου των φυσικών ως προς το πλήθος. Αποδείξαμε ότι το σύνολο των πραγματικών είναι μικρότερο ή ίσο του δυναμοσυνόλου του Ν (ως προς το πλήθος) και επίσης ότι ισχύει και η αντίστροφη ανισότητα. Από το Θεώρημα Schroder-Bernestein, προκύπτει ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθικά. Τέλος, διατυπώσαμε και αποδείξαμε το Θεώρημα Schroder-Bernestein: Αν το σύνολο Α είναι μικρότερο ή ίσο του Β ως προς το πλήθος, και το Β είναι μικρότερο ή ίσο του Α (ως προς το πλήθος), τότε τα Α,Β είναι ισοπληθικά.
Τρίτη 03/03: Στην αρχή του μαθήματος διατυπώσαμε την Εικασία Συγκρισιμότητας Πληθαρίθμων και την Υπόθεση του Συνεχούς, δύο προβλήματα τα οποία παρέμεναν ανοικτά στην Συνολοθεωρία μετά τα πρώτα χρόνια και παρά την πρωτοποριακή δουλειά του Cantor και άλλων μαθηματικών. (Σήμερα η κατάσταση έχει ξεκαθαρίσει σε σχέση με τα προβλήματα αυτά.) Στην συνέχεια διατυπώσαμε την Γενική Αρχή Συμπερίληψης: Για κάθε μονομελή οριστική συνθήκη, υπάρχει ένα σύνολο με στοιχεία ακριβώς τα αντικείμενα που ικανοποιούν την συνθήκη. Η αρχή αυτή προκύπτει φυσιολογικά από τη διαίσθηση που έχουμε για τα σύνολα. Ωστόσο διατυπώσαμε και αποδείξαμε το Παράδοξο του Russell: Η Γενική Αρχή Συμπερίληψης δεν ισχύει. Το παράδοξο αυτό κλόνισε τη Θεωρία Συνόλων και τα μαθηματικά γενικότερα. Τελικά, ξεπεράστηκε με την Αξιωματική Θεμελίωση της Συνολοθεωρίας από τον Zermelo. Σύμφωνα με αυτήν, δεχόμαστε ότι υπάρχει ένας κόσμος W αντικειμένων τα οποία είναι τα Σύνολα (η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική και δεν ορίζεται). Ενδεχομένως, στον κόσμο μας να υπάρχουν και αντικείμενα που δεν είναι σύνολα, τα οποία θα καλούμε άτομα, αλλά δεν θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα. Συνεπώς, όλα μας τα αντικείμενα θα είναι σύνολα και ακόμα και τα στοιχεία των συνόλων θα είναι και αυτά σύνολα. Στην συνέχεια, αρχίσαμε να διατυπώνουμε τα αξιώματα του Zermelo (δηλαδή προτάσεις για τα σύνολα τις οποίες δεν αποδεικνύουμε, αλλά τις δεχόμαστε ως αληθείς). Διατυπώσαμε το Αξίωμα της Έκτασης, το Αξίωμα του κενού συνόλου και του μη διατεταγμένου ζεύγους και τέλος το σημαντικό Αξίωμα Εξειδίκευσης (ή Διαχωρισμού) το οποίο αποτελεί ειδική περίπτωση της Γενικής Αρχής Συμπερίληψης και μας δίνει πολλά από τα καλά αυτής της αρχής. Με βάση αυτό, αποδείξαμε ότι για κάθε σύνολο Α υπάρχει σύνολο r(A) που δεν είναι στοιχεί του Α. Από εδώ προκύπτει εύκολα ότι δεν υπάρχει σύνολο που να έχει ως στοιχεία όλα τα σύνολα του κόσμου W.
Πέμπτη 05/03: Σε αυτό το μάθημα συνεχίσαμε με τα αξιώματα του Zermelo. Διατυπώσαμε το Αξίωμα της Ένωσης. Το αξίωμα αυτό μας δίνει την ένωση ενός συνόλου C (για την ακρίβεια των συνόλων που είναι στοιχεία του συνόλου C). Ωστόσο, όπως σχολιάσαμε, για την τομή συνόλων δεν χρειαζόμαστε αξίωμα, καθώς καταφέραμε να την ορίσουμε με το Αξίωμα Εξειδίκευσης. Επίσης, είδαμε το Αξίωμα του Δυναμοσυνόλου. Σε αυτό το σημείο σταματήσαμε την ενασχόλησή μας με τα αξιώματα. Υπάρχουν ακόμη τρία αξιώματα (το Αξίωμα του Απείρου, το Αξίωμα Επιλογής και το Αξίωμα Αντικατάστασης), τα οποία θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια. Κατόπιν, είπαμε λίγα πράγματα εν συντομία για την έννοια της κλάσης. Στη συνέχεια, βρεθήκαμε μπροστά σε μία πρόκληση. Στόχος μας είναι όλα όσα κάναμε με τον διαισθητικό ορισμό του συνόλου, να καταφέρουμε να τα αποδείξουμε χρησιμοποιώντας μόνο τα αξιώματα. Ωστόσο έχουμε ένα πρόβλημα: χρειαζόμαστε πολλά εργαλεία που δεν τα έχουμε. Για παράδειγμα, διατεταγμένα ζεύγη, καρτεσιανά γινόμενα, συναρτήσεις, σχέσεις διάταξης, τους φυσικούς αριθμούς, τους πραγματικούς αριθμούς και άλλα. Το ερώτημα είναι πού θ τα βρούμε. Μια λύση είναι να θεωρήσουμε ότι αυτά τα αντικείμενα υπάρχουν στον κόσμο W ως άτομα και να βάλουμε για αυτά επιπλέον αξιώματα. Μια τέτοια λύση, αν και εφικτή θα ήταν πολύ άβολη. Η δεύτερη λύση, την οποία θα ακολουθήσουμε, είναι να ορίσουμε όλα αυτά τα αντικείμενα χρησιμοποιώντας σύνολα. Έτσι, λοιπόν, ξεκινήσαμε από την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους. Ορίσαμε το διατεταγμένο ζεύγος με τον τελεστή του Kuratowski. Αποδείξαμε τις βασικές ιδιότητες των διατεταγμένων ζευγών και ορίσαμε το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων. Στη συνέχεια, οπλισμένοι με το καρτεσιανό γινόμενο, ορίσαμε την έννοια της διμελής σχέσης από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β. Τέλος, είδαμε πιο αναλυτικά την περίπτωση της σχέσεως ισοδυναμίας σε ένα σύνολο Α.
Τρίτη 10/03: Στην αρχή του μαθήματος ορίσαμε, στα πλαίσια της Αξιωματικής Συνολοθεωρίας, την έννοια της συνάρτησης. Σύμφωνα με τον ορισμό, συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου ΑxΒ τέτοιο ώστε για κάθε x στο Α, υπάρχει μοναδικό y στο Β, ώστε το ζεύγος (x,y) να ανήκει στο f. Επομένως, έχουμε πλέον τη δυνατότητα τις συναρτήσεις να τις αντιμετωπίζουμε και ως αντιστοιχίες (με τη συνήθη έννοια όπως τη γνωρίζουμε από το σχολείο), αλλά και ως σύνολα.
Στη συνέχεια, αναφερθήκαμε στις οικογένειες. Οικογένεια σε ένα σύνολο Χ είναι μια συνάρτηση από ένα σύνολο δεικτών Ι στο Χ. Επειδή όμως δεν μας ενδιαφέρει τόσο η συνάρτηση αλλά κυρίως το σύνολο τιμών αυτής, για αυτό το λόγο την ονομάζουμε οικογένεια και αλλάζουμε κάπως το συμβολισμό μας.
Τέλος, αρχίσαμε την προσπάθεια να ορίσουμε και να μελετήσουμε τους φυσικούς αριθμούς. Ακολουθώντας τον τρόπο του von Neumann, ορίσαμε αρχικά την έννοια του επαγωγικού συνόλου. Ένα σύνολο λέγεται επαγωγικό αν περιέχει το κενό σύνολο και επιπλέον, αν περιέχει κάποιο σύνολο Χ, τότε περιέχει και τον επόμενο του Χ. (Ο επόμενος του Χ είναι το σύνολο Χ ένωση με το μονοσύνολο {Χ}.) Ένας φυσικός αριθμός είναι ένα σύνολο με την ιδιότητα να ανήκει σε κάθε επαγωγικό σύνολο. Για παράδειγμα, το κενό σύνολο είναι ένας φυσικός αριθμός, που τον συμβολίζουμε με 0. Στη συνέχεια, διατυπώσαμε το Αξίωμα του απείρου, σύμφωνα με το οποίο δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα επαγωγικό σύνολο (την ύπαρξη ενός τέτοιου συνόλου δεν μπορούμε να την αποδείξουμε με τα υπόλοιπα αξιώματα). Χρησιμοποιώντας το αξίωμα του απείρου, αποδείξαμε ότι υπάρχει ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία ακριβώς όλους τους φυσικούς αριθμούς. Το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε με ω. Επίσης, αποδείξαμε ότι το σύνολο ω είναι το μικρότερο επαγωγικό σύνολο (δηλαδή είναι επαγωγικό και επίσης είναι υποσύνολο κάθε άλλου επαγωγικού συνόλου). Τέλος, αποδείξαμε ότι η τριάδα (ω,0,S) είναι ένα σύστημα Peano, δηλαδή ικανοποιεί τα Αξιώματα του Peano.
Πέμπτη 12/03: Διακοπή μαθημάτων λόγω κορωνοϊού!!!
Διακοπή μαθημάτων λόγω κορωνοϊού!!!
Τρίτη 23/03:
Πέμπτη 26/03: