ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2018-1019

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διδάσκοντες: Β. Κατσίκης, Κ. Πούλιος.

 Ώρες και αίθουσες διδασκαλίας: 

• Τετάρτη 11:00-13:00 Αμφιθέατρο Παπαρρηγόπουλου, 

Επικοινωνία: costas314@gmail.com 

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ.

Έναρξη μαθημάτων: Τετάρτη 06 Μαρτίου 2019.

NEW!! Αναβολή και αναπλήρωση μαθήματος. Εξαιτίας ενός απρόοπτου γεγονότος, το μάθημα της Τετάρτης 05 Ιουνίου 2019 αναβάλλεται. Η αναπλήρωση του μαθήματος θα γίνει την Παρασκευή 07 Ιουνίου 2019 και ώρα 11:00-13:00 στην ΑΙΘΟΥΣΑ Παπαρρηγοπούλου.

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ.

Στο τέλος των μαθημάτων, μοιράστηκε στους φοιτητές ένα ερωτηματολόγιο και τους ζητήθηκε να αξιολογήσουν το Φροντιστήριο στα Μαθηματικά ΙΙ και τον διδάσκοντα. Παρακάτω είναι αναρτημένες οι απαντήσεις τους.

ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Εβδομάδα 04/03-10/03. 

-Τετάρτη 06/03: Σε αυτό το μάθημα κάναμε ασκήσεις στα διανύσματα. 

Την πρώτη ώρα κάναμε ασκήσεις σχετικές με καθετότητα, εσωτερικό γινόμενο και μέτρο διανυσμάτων. Από τις ασκήσεις που αναρτώνται παρακάτω είδαμε στην τάξη τις ασκήσεις: 1 και 6.

Την δεύτερη ώρα κάναμε ασκήσεις σχετικά με γραμμικά εξαρτημένα και γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Από τις ασκήσεις που αναρτώνται παρακάτω είδαμε στην τάξη τις ασκήσεις: 1, 2, 4 και 5.

Εβδομάδα 11/03-17/03. 

-Τετάρτη 13/03: Σε αυτό το μάθημα κάναμε ασκήσεις στους πίνακες.  Πιο συγκεκριμένα, είδαμε ασκήσεις σχετικές με τις πράξεις μεταξύ πινάκων, καθώς και για αντιστρέψιμους πίνακες. 

Από τις ασκήσεις που αναρτώνται παρακάτω είδαμε στην τάξη τις ασκήσεις: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14 και 15.

Εβδομάδα 18/03-24/03. 

-Τετάρτη 20/03: Ξεκινήσαμε το μάθημα με μια άσκηση σχετική με το ίχνος ενός πίνακα. Η άσκηση έχει μπει θέμα σε προηγούμενη εξεταστική. Μπορείτε να την βρείτε στο αρχείο που αναρτάται παρακάτω.

Στο υπόλοιπο του μαθήματος, κάναμε ασκήσεις στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την μέθοδο απαλοιφής του Gauss.  Είδαμε ασκήσεις στις οποίες έχουμε μόνο νούμερα, αλλά επιπλέον, είδαμε και συστήματα στα οποία εμφανίζεται μία ή περισσότερες παράμετροι και πρέπει να κάνουμε διερεύνηση του συστήματος για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων. 

Τα συστήματα στα οποία εμφανίζονται παράμετροι είναι από τα κομμάτια του μαθήματος που συνήθως δίνουν θέματα στην εξεταστική.

Από τις ασκήσεις που αναρτώνται παρακάτω για την απαλοιφή Gauss κάναμε στην τάξη τις ασκήσεις: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10.

Εβδομάδα 25/03-31/03. 

-Τετάρτη 27/03: Σε αυτό το μάθημα είδαμε ασκήσεις στις ορίζουσες και στην εύρεση του αντιστρόφου ενός πίνακα.  

Ειδικότερα, είδαμε δύο τρόπους για να υπολογίζουμε μια ορίζουσα. Ο ένας τρόπος είναι να κάνουμε το ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης. Ο δεύτερος τρόπος στηρίζεται στις ιδιότητες των οριζουσών και έχει ομοιότητες με την απαλοιφή Gauss.

Στην συνέχεια, είδαμε δύο τρόπους για να βρίσκουμε τον αντίστροφο ενός nxn πίνακα Α. Ο πρώτος είναι μέσω του προσαρτημένου πίνακα του Α, που συμβολίζεται με adj(A). Ο δεύτερος τρόπος στηρίζεται στην μέθοδο Gauss-Jordan, η οποία έχει αρκετές ομοιότητες με την απαλοιφή Gauss.

Από τις ασκήσεις που αναρτώνται παρακάτω κάναμε στην τάξη τις ασκήσεις: 1, 2, 8.

Εβδομάδα 01/04-07/04. 

-Τετάρτη 03/04: Στην αρχή του μαθήματος κάναμε την άσκηση 12 από το φυλλάδιο με τις ορίζουσες και θυμηθήκαμε τους δύο τρόπους με τους οποίους μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο ενός πίνακα.

Στην συνέχεια του μαθήματος είδαμε ασκήσεις στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την μέθοδο Cramer. Κάναμε ασκήσεις με νούμερα, αλλά και συστήματα στα οποία εμφανίζεται μια παράμετρος (ή περισσότερες). Επιπλέον, κάναμε σύγκριση των δύο βασικών μεθόδων που έχουμε για την επίλυση ενός συστήματος (μέθοδος Cramer και απαλοιφή Gauss) και σχολιάσαμε τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της καθεμιάς.

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, ασχοληθήκαμε στην τάξη με τις ασκήσεις: 1, 3, 7, 9.

Εβδομάδα 08/04-14/04. 

-Τετάρτη 10/04: Ημέρα φοιτητικών εκλογών. Το μάθημα δεν έγινε.

Εβδομάδα 15/04-21/04. 

-Τετάρτη 17/04: Την πρώτη ώρα κάναμε ασκήσεις σχετικές με την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα.

Την δεύτερη ώρα είδαμε πώς, μέσω της διαγωνιοποίησης, μπορούμε να υπολογίσουμε οσοδήποτε μεγάλες δυνάμεις ενός πίνακα.

Και οι δύο κατηγορίες ασκήσεων (ιδιοτιμές-ιδιοδιανύσματα και εύρεση δύναμης ενός πίνακα μέσω διαγωνιοποίησης) είναι από τα κομμάτια του μαθήματος που δίνουν συχνά θέματα στην εξεταστική.

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, ασχοληθήκαμε στην τάξη με τις ασκήσεις: 1, 2, 3, 12, 13, 14, 17, 19.

22/04-05/05: Διακοπές Πάσχα 2019.

Εβδομάδα 06/05-12/05. 

-Τετάρτη 08/05: Την Τετάρτη ξεκινήσαμε να βλέπουμε το δεύτερο κομμάτι του μαθήματος, το οποίο έχει ως αντικείμενο τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Ειδικότερα, στο πρώτο αυτό δίωρο κάναμε ασκήσεις σχετικές με: (a) υπολογισμό μερικών παραγώγων, (b) κανόνα αλυσίδας για την παραγώγιση σύνθεσης συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, και (c) ολικό διαφορικό για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών.

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, ασχοληθήκαμε στην τάξη με τις ασκήσεις: 1, 3, 4, 5, 7, 9, 13.

Εβδομάδα 13/05-19/05. 

-Τετάρτη 15/05: Ξεκινήσαμε το μάθημα με μια άσκηση από το ολικό διαφορικό. Ειδικότερα, από το φυλλάδιο της περασμένης βδομάδας κάναμε στην τάξη την άσκηση 18.

Στην συνέχεια, αρχίσαμε να μελετάμε ασκήσεις σχετικές με τοπικά ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Αυτό είναι ένα από τα κομμάτια του μαθήματος που δίνει θέματα σε κάθε εξεταστική περίοδο. Είδαμε περιπτώσεις συναρτήσεων δύο μεταβλητών αλλά και συναρτήσεων με τρεις μεταβλητές. Τέλος, ασχοληθήκαμε με προβλήματα τα οποία καταλήγουν στο να πρέπει να μεγιστοποιήσουμε μια ποσότητα (δηλαδή να βρούμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης).

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, κάναμε στην τάξη τις ασκήσεις 1, 2, 3, 11. 

Εβδομάδα 20/05-26/05. 

-Τετάρτη 22/05: Στην αρχή του μαθήματος κάναμε ένα πρόβλημα το οποίο καταλήγει στην μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.  Ειδικότερα, από το φυλλάδιο της περασμένης βδομάδας κάναμε την άσκηση 15.

Στην συνέχεια, είδαμε ασκήσεις σχετικές με την Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων και πώς μπορούμε να βρούμε μια ευθεία ή μια καμπύλη που παλινδρομεί άριστα ανάμεσα σε δεδομένα σημεία. Και αυτό το κομμάτι έχει δώσει πολύ συχνά θέματα σε εξεταστικές. 

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, κάναμε στην τάξη τις ασκήσεις 1, 4, 6. 

Εβδομάδα 27/05-02/06. 

-Τετάρτη 29/05: Σε αυτό το μάθημα ασχοληθήκαμε με τη μέθοδο πολλαπλασιαστών Langrange η οποία μας δίνει τη δυνατότητα να βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών όταν έχουμε κάποιον περιορισμό.

Είναι σχεδόν σίγουρο ότι στην εξέταση του μαθήματος θα υπάρχει ένα θέμα που θα λύνεται με την μέθοδο Langrange. 

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, κάναμε στην τάξη τις ασκήσεις 1, 3, 5, 8, 13, 14. 

Εβδομάδα 03/06-09/06. 

-Τετάρτη 05/06: Το μάθημα της Τετάρτης 05 Ιουνίου αναβάλλεται και θα γίνει αναπλήρωση την Παρασκευή 07 Ιουνίου και ώρα 11:00-13:00 στην ΑΙΘΟΥΣΑ Παπαρρηγοπούλου.

-Παρασκευή 07/06: Στο τελευταίο μας μάθημα κάναμε ασκήσεις στο διπλό ολοκλήρωμα. Στην τελική εξέταση είναι σίγουρο ότι θα ζητηθεί να υπολογίσετε κάποιο διπλό ολοκλήρωμα.

Από το φυλλάδιο που αναρτάται παρακάτω, κάναμε την ώρα της διδασκαλίας τις ασκήσεις: 1, 2, 3, 5, 11.

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

27-03-2019: Έχουμε τις πρώτες λύσεις ασκήσεων. Οι ασκήσεις αυτές αφορούν διανύσματα και πίνακες. Οι λύσεις είναι μια ευγενική προσφορά της Παναγιώτας, την οποία και ευχαριστούμε θερμά.

05-04-2019: Παρακάτω αναρτώνται λύσεις ασκήσεων σχετικές με την επίλυση ενός συστήματος με την μέθοδο της απαλοιφής Gauss. Οι λύσεις είναι μια ευγενική προσφορά της Δήμητρας, την οποία και ευχαριστούμε θερμά.

10-05-2019: Παρακάτω αναρτώνται λύσεις ασκήσεων σχετικές με ορίζουσες, ιδιότητες οριζουσών και εύρεση του αντίστροφου ενός πίνακα (Δείτε σχετικά το φυλλάδιο της εβδομάδας 25/03-31/03). Οι λύσεις είναι μια ευγενική προσφορά του Μάριου, τον οποίο ευχαριστούμε θερμά.

Επίσης, αναρτώνται λύσεις ασκήσεων σχετικές με την επίλυση ενός συστήματος με τη μέθοδο Cramer (Δείτε σχετικά το φυλλάδιο της εβδομάδας 01/04-07/04). Οι λύσεις είναι μια ευγενική προσφορά της Μαρίας, την οποία και ευχαριστούμε θερμά.

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27/06/2019

02-07-2019. Παρακάτω θα βρείτε τα θέματα που μπήκαν στο Τμήμα Β΄ με διδάσκοντα τον κ. Λεβεντίδη, καθώς και ενδεικτικές λύσεις αυτών. Επισημαίνω τα παρακάτω:

• Υπήρχαν δύο ομάδες θεμάτων, ομάδα Α και ομάδα Β.

• Οι δικές σας λύσεις ίσως διαφέρουν λίγο από αυτές που θα δείτε πιο κάτω (π.χ. στην επίλυση ενός συστήματος) χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι λάθος.

• Οι λύσεις είναι γραμμένες αρκετά αναλυτικά. Δεν χρειαζόταν να είστε το ίδιο αναλυτικοί και στο γραπτό σας.

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 18/09/2019

30-09-2019. Παρακάτω θα βρείτε τα θέματα που μπήκαν στο τμήμα με διδάσκοντα τον κ. Λεβεντίδη, καθώς και ενδεικτικές λύσεις αυτών.