Απειροστικός Λογισμός I

Απειροστικός Λογισμός Ι

Εαρινό Εξάμηνο 2013

Διδάσκων: Κώστας Πούλιος

e-mail: costas314@gmail.com

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 11-1, Τρίτη 3-5 και Πέμπτη 11-1.

Αίθουσα διδασκαλίας: Α208

Γραφείο: Γ-218, Πανεπιστημιούπολη Βουτών.

Ώρες Γραφείου: Τετάρτη 13:15-14:15, Παρασκευή 13:15-14:15 (για άλλες ώρες, επικοινωνήστε μαζί μου στο παραπάνω e-mail)

Κύριο σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Παπαδημητράκη.

Βαθμολογία: Στη διάρκεια του εξαμήνου θα γίνει μια πρόοδος. Η πρόοδος είναι προαιρετική  και μετράει 30%. Συνεπώς, ο τελικός βαθμός σας θα είναι: max{βαθμός τελικής εξέτασης, (30%) βαθμός προόδου+(70%) βαθμός τελικής εξέτασης}.

Ανακοινώσεις

 (Σε αυτό το πεδίο θα βλέπετε ανακοινώσεις σχετικές με: ημερομηνίες εξετάσεων, ύλη εξετάσεων, αναπληρώσεις μαθημάτων)

Ημερομηνία ενδιάμεσης εξέτασης: Παρασκευή 19 Απριλίου 2013, ώρα 17:00-20:00. Αμφιθέατρα 201 και 203.

Ύλη ενδιάμεσης εξέτασης: Η ύλη για την ενδιάμεση εξέταση στις 19/04 περιλαμβάνει τα 5 πρώτα κεφάλαια από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Εξαιρούναι μόνο οι Παράγραφοι 4.2 και 5.3.

Επαναληπτικό μάθημα: Την Τρίτη 16/04, ώρα 13:00-15:00, αίθουσα Ε204, θα γίνει επαναληπτικό μάθημα στην ύλη της ενδιάμεσης εξέτασης.

New!! Αποτελέσματα ενδιάμεσης εξέτασης: εδώ

New!!Αναπλήρωση μαθήματος: Την Παρασκευή 24/05, 15:00-17:00, αίθουσα Ε205, θα γίνει η αναπλήρωση του μαθήματος που χάσαμε στις 18/04.

New!! Επαναληπτικό μάθημα πριν από την τελική εξέταση δεν πρόκειται να γίνει. Θα προσπαθήσω, ανάλογα και με το χρόνο που διαθέτω, να ανεβάζω σε αυτή την  ιστοσελίδα κάποιες επαναληπτικές ασκήσεις (μαζί με τις λύσεις τους). Δείτε στο τέλος της σελίδας.

NEW!! Αποτελέσματα Τελικής Εξέτασης:  apotelesmata

NEW!! Στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε τα θέματα της τελικής εξέτασης του Ιουνίου, καθώς και τις λύσεις τους.  themata_luseis

NEW!! Στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε τα θέματα της Εξεταστικής του Σεπτεμβρίου themata_Septembriou

NEW!! Αποτελέσματα Εξεταστικής Σεπτεμβρίου: apotelesmata_Septembriou

Ημερολόγιο Μαθήματος

(Σε αυτό το πεδίο θα μπορείτε να παρακολουθείτε την πορεία της ύλης)

1η εβδομάδα, 18/02-24/02:

 -Τη Δευτέρα 18/02, αναφερθήκαμε καταρχάς στο ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού. Στη συνέχεια μιλήσαμε για ακολουθίες. Είδαμε τον ορισμό της ακολουθίας. Στη  συνέχεια ορίσαμε πότε μια ακολουθία συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Αποδείξαμε κάποια χαρακτηριστικά όρια χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ορίου.

-Την Τρίτη 19/02,  αρχίσαμε να εξετάζουμε ιδιότητες που έχουν τα όρια ακολουθιών.  Ενδεικτικά αναφέρουμε, όρια και αλγεβρικές πράξεις, όρια και απόλυτες τιμές, Κριτήριο Παρεμβολής.

-Την Πέμπτη 21/02, ορίσαμε πότε μια ακολουθία αποκλίνει στο +άπειρο ή στο -άπειρο. Υπολογίσαμε κάποια χαρακτηριστικά όρια χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο ορισμό. Τέλος είδαμε ότι όσον αφορά τις αλγεβρικές πράξεις εμφανίζονται κάποιες περιπτώσεις απροσδιοριστίας, τις οποίες είδαμε αναλυτικά.

2η εβδομάδα, 25/02-03/03:

 -Τη Δευτέρα 25/02, υπολογίσαμε το όριο της ακολουθίας των όρων γεωμετρικής προόδου. Ακόμη μιλήσαμε για τη σχέση που έχουν τα όρια ακολουθιών με ανισότητες.  Είδαμε ότι αν έχουμε μια ανισότητα για τις ακολουθίες, τότε αυτή διατηρείται και στα όρια. Δεν διατηρούνται όμως οι γνήσιες ανισότητες οι οποίες μετατρέπονται σε μη-γνήσιες. Τέλος είδαμε και την αντίστροφη πορεία, δηλαδή, αν γνωρίζουμε μια ανισότητα για το όριο μιας ακολουθίας τι μπορούμε να πουμε για την ακολουθία.

-Την Τρίτη 26/02, λύσαμε ασκήσεις στις ακολουθίες. Προτεινόμενες ασκήσεις Κεφαλαίου 2, από το βιβλίο.

Παράγραφος 2.1. Ασκήσεις : Β1, Β2, Β3, Γ1, Γ2, Γ3.

Παράγραφος 2.2. Ασκήσεις : 2, 5.

Παράγραφος 2.3. Ασκήσεις : 2, 3, 6.

Παράγραφος 2.4. Ασκήσεις : Α1, Α2, Α3, Α4, Α5, Α6, Α7, Α8, Α9, Α10, Α11, Β2, Β3, Β4, Β5, Β6, Β7, Β8, Β9, Β14.

Παράγραφος 2.5. Ασκήσεις : 1,  Α1, Α2.

-Την Πέμπτη 28/02, τελειώσαμε το Κεφάλαιο 2. Ορίσαμε πότε μια ακολουθία λέγεται φραγμένη και είδαμε ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στις φραγμένες ακολουθίες και τις συγκλίνουσες (κάθε συγκλίνουσα είναι και φραγμένη, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει). Ακόμη μιλήσαμε για μονότονες ακολουθίες και είδαμε ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στις μονότονες ακολουθίες και τη σύγκλιση. Τέλος μιλήσαμε για τον αριθμό e.

Tο Κεφάλαιο 2 το καλύψαμε όλο και είναι εντός ύλης.

3η εβδομάδα, 04/03-10/03:

-Την Δευτέρα 04/03, αρχίσαμε το Κεφάλαιο 4, Όρια Συναρτήσεων. Είδαμε τον βασικό ορισμό του ορίου: Πότε λέμε ότι το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο ξ υπάρχει και είναι ίσο με λ. Λύσαμε κάποιες ασκήσεις χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ορίου. Στη συνέχεια είδαμε ορισμένες βασικές ιδιότητες των ορίων, όπως για παράδειγμα τη σχέση που έχουν με τις αλγεβρικές πράξεις. Τέλος μιλήσαμε για το Κριτήριο Παρεμβολής και για πλευρικά όρια.

-Την Τρίτη 05/03, την πρώτη ώρα λύσαμε ασκήσεις από το Κεφάλαιο 2, Ακολουθίες και Όρια ακολουθιών.

Την δεύτερη ώρα του μαθήματος, συνεχίσαμε με τα όρια συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, είδαμε τη σχέση ανάμεσα σε όρια και ανισότητες και λύσαμε σχετικές ασκήσεις.

-Την Πέμπτη 07/03, μιλήσαμε για όρια και φραγμένες συναρτήσεις.  Στη συνέχεια δώσαμε τον ορισμό πότε το όριο μιας συνάρτησης είναι +άπειρο ή -άπειρο.  Είδαμε τις απροσδιόριστες μορφές που εμφανίζονται στην πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Επίσης, δώσαμε τον ορισμό του ορίου όταν το x τείνει στο +άπειρο  ή στο -άπειρο. Τέλος μιλήσαμε για τα όρια της εκθετικής συνάρτησης, του λογαρίθμου και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

 4η εβδομάδα, 11/03-17/03:

-Την Δευτέρα 11/04, ολοκληρώσαμε το Κεφάλαιο 4, "Όρια Συναρτήσεων".  Ειδικότερα μιλήσαμε για αλλαγή μεταβλητής, για τη σχέση μεταξύ ορίων συναρτήσεων και ορίων ακολουθιών και για όρια μονότονων συναρτήσεων.

Το Κεφάλαιο 4 το καλύψαμε όλο εκτός από την Παράγραφο 4.2.

-Την Τρίτη 12/03, λύσαμε ασκήσεις στο Κεφάλαιο 4, Όρια Συναρτήσεων. Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο:

Παράγραφος 4.3. Ασκήσεις: Α1, Β1, Β2, Β4, Γ1, Γ2, Γ3, Δ2, Δ3, Δ4, Δ6, Δ7, Δ8, Δ10, Δ11.

Παράγραφος 4.5. Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4, 5

Παράγραφος 4.6. Ασκήσεις: 6, 7

Παράγραφος 4.7. Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4

Παράγραφος 4.8. Ασκήσεις: 1, 2, 5, 6

-Την Πέμπτη 14/03, αρχίσαμε το Κεφάλαιο 5, "Συνεχείς Συναρτήσεις".  Καλύψαμε τις παραγράφους 5.1, 5.2, 5.4 του βιβλίου.

Προτεινόμενες ασκήσεις:

Παράγραφος 5.1. Ασκήσεις 1, 2, 5.

Παράγραφος 5.2. Ασκήσεις 1, 6, 7.

Παράγραφος 5.3. Ασκήσεις 1.

5η εβδομάδα, 18/03-24/03:

-Την Δευτέρα 18/03, το μάθημα δεν έγινε, λόγω αργίας της Καθαράς Δευτέρας.

-Τρίτη 19/03: Αρχίσαμε να μιλάμε για τα βασικά θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, αναφερθήκαμε στο Θεώρημα του Bolzano και στο Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής. Επιπλέον, είδαμε δύο συνέπεις του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Τιμής.

α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα (οποιουδήποτε τύπου), τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι επίσης διάστημα.

β) Ιδιότητα σταθερού προσήμου: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του διαστήματος, τότε η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Τέλος λύσαμε ασκήσεις σχετικές με τα παραπάνω θεωρήματα.

Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο:

Παράγραφος 5.5. Ασκήσεις: Β1, Β2, Β3, Β4, Β5, Β6, Β9, Β10.

-Πέμπτη 21/03: Σχολιάσαμε το γεγονός ότι οι δύο συνέπεις του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Τιμής που αναφέρθηκαν στο προηγούμενο μάθημα ισχύουν μόνο με την υπόθεση ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι διάστημα.

Κατόπιν, συνεχίσαμε να μιλάμε για τα βασικά Θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων. Αναλύσαμε το Θεώρημα Φραγμένης Συνάρτησης και το Θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής. Σχολιάσαμε επίσης το γεγονός ότι τα δύο αυτά Θεωρήματα ισχύουν με την υπόθεση ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα στην πραγματική ευθεία.

Σαν πόρισμα του Θεωρήματος Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής και του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Τιμής είδαμε ότι: αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα [a,b] τότε το σύνολο τιμών της f είναι το κλειστό και φραγμένο διάστημα [m,M], όπου m είναι η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της f.

Τέλος είδαμε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και 1-1, τότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι και η αντίστροφη είναι συνεχής. Αν όμως η f είναι συνεχής, 1-1 και επιπλέον το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα, τότε ισχύει ότι και η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής.

Προτεινόμενες ασκήσεις:

Παράγραφος 5.5. Ασκήσεις: Α1, Α5, Α6.

 Το Κεφάλαιο 5 το καλύψαμε όλο, εκτός από την Παράγραφο 5.3.

6η εβδομάδα, 25/03-31/03:

-Δευτέρα 25/03. Το μάθημα δεν έγινε για προφανή λόγο!

-Τρίτη 26/03: Αρχίσαμε να μιλάμε για παραγώγους συναρτήσεων (Κεφάλαιο 6, στις σημειώσεις του Παπαδημητράκη). Ορίσαμε την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο και είδαμε πώς συνδέεται η παράγωγος με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο. Στη συνέχεια υπολογίσαμε τις παραγώγους κάποιων απλών συναρτήσεων και μελετήσαμε και παραδείγματα συναρτήσεων που δεν είναι παραγωγίσιμες σε κάποια σημεία του πεδίου ορισμού. Επιπλεόν, ορίσαμε τις πλευρικές παραγώγους.

Στη συνέχεια μιλήσαμε για τις ιδιότητες της παραγώγου. Σχολιάσαμε το γεγονός ότι η παράγωγος είναι "τοπική" ιδιότητα. Έπειτα, αποδείξαμε ότι η παραγωγισιμότητα είναι πιο ισχυρή ιδιότητα από τη συνέχεια. Τέλος αναφέραμε τη σχέση που έχει η παραγωγισιμότητα με τις αλγεβρικές πράξεις.

-Πέμπτη 28/03: Αρχικά διατυπώσαμε και αποδείξαμε τον Κανόνα Αλυσίδας για την παραγώγιση σύνθεσης συναρτήσεων και είδαμε ασκήσεις πάνω στον κανόνα αλυσίδας. Στη συνέχεια μελετήσαμε το εξής πρόβλημα: αν μια συνεχής συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα, είναι 1-1 και παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε τι μπορούμε να πούμε για τη παραγωγισιμότητα της αντίστροφης συνάρτησης; Σχετικά με αυτό το πρόβλημα, διατυπώσαμε τον Κανόνα Αντίστροφης Συνάρτησης.

Τέλος, ορίσαμε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη, διαβάστε μέχρι και την Παράγραφο 6.5. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις βρίσκονται στην Παράγραφο 3.10.2.

Προτεινόμενες Ασκήσεις:

Παράγραφος 6.2: 1, 2, 3.

Παράγραφος 6.4: 4

Παράγραφος 6.5: 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 13.

7η εβδομάδα, 01/04-07/04:

-Δευτέρα 01/04. Υπολογίσαμε τις παραγώγους των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τον Κανόνα Παραγώγισης της Αντίστροφης Συνάρτησης. Επίσης υπολογίσαμε την παράγωγο της λογαριθμικής και της εκθετικής συνάρτησης. Με αυτούς τους υπολογισμούς, έχουμε πλέον βρει τις παραγώγους όλων των βασικών συναρτήσεων.

Στη συνέχεια αρχίσαμε να εξετάζουμε τα βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού. Μιλήσαμε για το Θεώρημα  Fermat, το Θεώρημα Rolle και το Θεώρημα Μέσης Τιμής.

-Τρίτη 02/04: Σε αυτό το μάθημα, λύσαμε ασκήσεις σχετικές με τα βασικά θεωρήματα των παραγώγων. Διαβάστε την Παράγραφο 6.8.

Προτεινόμενες ασκήσεις:

Παράγραφος 6.8, Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

-Πέμπτη 04/04: Σήμερα είδαμε πώς μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για μια συνάρτηση, αν γνωρίζουμε κάτι για την παράγωγό της. Συγκεκριμένα, είδαμε ότι το πρόσημο της παραγώγου καθορίζει τη μονοτονία της συνάρτησης. Αν η παράγωγος είναι 0 σε κάποιο διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα. Αν η παράγωγος είναι μη-αρνητική σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι αύξουσα σε εκείνο το διάστημα και αντίστροφα. Τέλος, αν η παράγωγος είναι μη-θετική σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα σε αυτό το διάστημα και αντίστροφα.

Ακόμη, είδαμε ότι αν η παράγωγος είναι γνήσια μεγαλύτερη του 0 σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα. Αν η παράγωγος είναι γνήσια μικρότερη του 0, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε εκείνο το διάστημα. Σχολιάσαμε ωστόσο ότι σε αυτήν την περίπτωση δεν ισχύουν τα αντίστροφα.

Επιπλέον, παρατηρήσαμε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν όταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι διάστημα. Αν αυτή η υπόθεση παραλειφθεί, τότε τα αποτελέσματα παύουν να ισχύουν.

Επίσης, είδαμε πως αν γνωρίζουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης, μπορούμε να βρούμε τα τοπικά ακρότατα αυτής.

Τέλος, εξετάσαμε πώς χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα μπορούμε να αποδεικνύουμε ισότητες και ανισότητες.

Διαβάστε την Παράγραφο 6.9. Προτεινόμενες ασκήσεις:

Παράγραφος 6.9. Ασκήσεις: Α1, Α2, Α4, Α15, Β1, Β2, Β3, Β4, Β5, Β6, Β7, Β8, Β9, Β10, Β11, Β12, Β13, Β14, Β15.

8η εβδομάδα, 08/04-14/04:

-Δευτέρα 08/04. Την πρώτη ώρα λύσαμε κάποιες από τις προτεινόμενες ασκήσεις της Παραγράφου 6.9.

Τη δεύτερη ώρα, μιλήσαμε για παραγώγους ανώτερης τάξης. Επίσης είδαμε το Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου για την εύρεση των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης.

Από τις σημειώσεις διαβάστε την Παράγραφο 6.10, μέχρι και την υποενότητα 6.10.1.

Προτεινόμενες ασκήσεις: Παράγραφος 6.10, Ασκήσεις: Α1, Α4, Α5, Β1.

-Τρίτη 09/04. Σε αυτό το μάθημα μιλήσαμε για κυρτές και κοίλες συναρτήσεις και για σημεία καμπής. Καλύψαμε το υπόλοιπο της Παραγράφου 6.10.

Παράγραφος 6.10, Προτεινόμενες Ασκήσεις: Γ1, Γ4, Γ5, Δ1, ΣΤ1, ΣΤ2, ΣΤ3.α

-Πέμπτη 11/04. Σήμερα μιλήσαμε για απροσδιόριστες μορφές και για τον κανόνα του L' Hospital, ο οποίος μας βοηθά στον υπολογισμό ενός ορίου που είναι σε απροσδιόριστη μορφή. Επίσης μιλήσαμε για τις ασύμπτωτες στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Τέλος, ορίσαμε πότε μια συνάρτηση f έχει μικρότερη τάξη μεγέθους από μια συνάρτηση g κοντά στο ξ.

Από τις σημειώσεις καλύψαμε την Παράγραφο 6.11 και την υποενότητα 6.12.1. Ο ορισμός των ασύμπτωτων ευθειών βρίσκεται στην Παράγραφο 4.2 του Κεφαλαίου 4.

Προτεινόμενες Ασκήσεις:

Παράγραφος 6.11, Ασκήσεις: 2

Παράγραφος 6.12, Ασκήσεις: Α2, Α3.

9η εβδομάδα, 15/04-21/04:

-Δευτέρα 15/04: Την πρώτη ώρα, είπαμε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι μικρό όμικρον μιας συνάρτησης g κοντά στο ξ. Επίσης αναφεθήκαμε στο μεγάλο όμικρον καθώς επίσης και στην ασυμπτωτική ισότητα δύο συναρτήσεων κοντά στο ξ. Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη καλύψαμε την Υποενότητα 6.12.2.

Προτεινόμενες  ασκήσεις: Παράγραφος 6.12, Ασκήσεις Β1, Β2, Β3, Β4, Β5.

Καλύψαμε όλο το Κεφάλαιο 6 εκτός από την Παράγραφο 6.7. Επίσης είδαμε και την Παράγραφο 4.2 του Κεφαλαίου 4. 

Τη δεύτερη ώρα του μαθήματος, αρχίσαμε να μιλάμε για το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης. Αναφερθήκαμε στο πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού μιας επίπεδης επιφάνειας, της οποίας το σύνορο είναι καμπυλόγραμμο. Το ολοκλήρωμα προέκυψε από την προσπάθεια να ορίσουμε το εμβαδό μιας τέτοιας επιφάνειας.  Μιλήσαμε για διαμερίσεις ενός κλειστού διαστήματος στην πραγματική ευθεία, για πλάτος της διαμέρισης και για επιλογή ενδιάμεσων σημείων ως προς τη διαμέριση. Στη συνέχεια, ορίσαμε ότι μια φραγμένη συνάρτηση θα λέγεται Riemann ολοκληρώσιμη σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα αν τα αθροίσματα Riemann πλησιάζουν όσο κοντά θέλουμε κάποιον αριθμό. Αυτός ο αριθμός (αν υπάρχει) λέγεται το ολοκλήρωμα Riemann της συνάρτησης. Ακόμη, αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) τα βασικά θεωρήματα: κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι ολοκληρώσιμη και κάθε φραγμένη και μονότονη συνάρτηση σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι επίσης ολοκληρώσιμη. Τέλος, χρησιμοποιώντας αθροίσματα Riemann υπολογίσαμε το ολοκλήρωμα μιας σταθερής συνάρτησης.

Από τις σημειώσεις καλύψαμε τις Παραγράφους 7.1 και 7.2.

-Τρίτη 16/04: Είδαμε ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης η οποία δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη. Στη συνέχεια εξετάσαμε ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης η οποία δεν είναι ούτε συνεχής ούτε μονότονη, αλλά είναι ολοκληρώσιμη. Έπειτα αναφέραμε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος Riemann.  Από τις σημειώσεις διαβάστε την Παράγραφο 7.3, χωρίς την υποενότητα 7.3.5

Προτεινόμενες ασκήσεις: Παράγραφος 7.3, Ασκήσεις: Β3, Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, Γ5, Γ6, Γ7, Γ8, Γ9, Γ10.

-Πέμπτη 18/04: To μάθημα δεν έγινε λόγω μειωμένης προσέλευσης φοιτητών. Θα γίνει αναπλήρωση για την οποία θα ενημερωθείτε μέσω αυτής της σελίδας.

10η εβδομάδα, 22/04-28/04:

-Δευτέρα 22/04: Σε αυτό το μάθημα λύσαμε ασκήσεις από την Παράγραφο 7.3 των σημειώσεων του Παπαδημητράκη. Οι ασκήσεις αυτές έχουν ως αντικείμενο τις ιδιότητες του ολοκληρώματος Riemann.

Προσοχή: Η άσκηση Γ9 της Παραγράφου 7.3 μας δίνει τη λεγόμενη ανισότητα Schwarz και θα την ξέρουμε σαν θεωρία.

Επιπλεόν, ορίσαμε τη μέση τιμή μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης και αποδείξαμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη, διαβάστε την υποενότητα 7.3.5.

Από το Κεφάλαιο 7, καλύψαμε τις Παραγράφους 7.1, 7.2, 7.3. Η Παράγραφος 7.4 είναι εκτός ύλης.

-Τρίτη 23/04: Ξεκινήσαμε το Κεφάλαιο 8. Ορίσαμε την έννοια της αντιπαραγώγου μιας συνάρτησης. Ακόμη, ορίσαμε την έννοια του αορίστου ολοκληρώματος για μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f.  Στη συνέχεια, είδαμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα αν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση, τότε οι αντιπαράγωγοι και τα αόριστα ολοκληρώματα ταυτίζονται. Το Θεμελιώδες Θεώημα μας λύνει τα χέρια όσον αφορά του υπολογισμούς. Πλέον για να βρούμε ένα ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης δεν χρειάζεται να υπολογίζουμε αθροίσματα Riemann. Το μόνο που αρκεί να κάνουμε είναι να βρούμε μια αντιπαράγωγο της συνάρτησης. Τέλος, λύσαμε κάποιες από τις ασκήσεις της Παραγράφου 8.2.

Διαβάστε τις Παραγράφους 8.1 και 8.2.

Προτεινόμενες ασκήσεις:  Παράγραφος 8.2, Ασκήσεις: 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26.

-Πέμπτη 25/04: Διατυπώσαμε και αποδείξαμε τις βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης. Πιο συγκεκριμένα, είδαμε τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη (ή κατά παράγοντες). Στην συνέχεια, λύσαμε ασκήσεις σχετικές με τις δύο αυτές μεθόδους.

Από τις σημειώσεις διαβάστε από την Παράγραφο 8.3 τις υποενότητες 8.3.1 και 8.3.2.

Προτεινόμενες ασκήσεις:  Παράγραφος 8.3, Ασκήσεις: Α1, Α2, Α3, Β1, Β2.

11η εβδομάδα, 13/05-19/05:

-Δευτέρα 13/05: Στο μάθημα αυτό περιγράψαμε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος μιας ρητής συνάρτησης.  Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη, διαβάστε την παράγραφο 8.3.3.

Προτεινόμενες ασκήσεις: Παράγραφος 8.3, Ασκήσεις: Β3.

-Τρίτη 14/05: Στο μάθημα αυτό είδαμε πώς υπολογίζουμε ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Κυρίως αντιμετωπίσαμε περιπτώσεις όπου το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τη βοήθεια κάποιου τύπου της τριγωνομετρίας ή/και με τη βοήθεια μιας απλής αντικατάστασης. Τέλος, αναφέραμε πως αν έχουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μιας ρητής συνάρτησης των sinx και cosx, και δεν δουλεύει κανένας άλλος τρόπος, τότε καταφεύγουμε στο ύστατο μέσο: την αντικατάσταση x=2arctan(t).

Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη, διαβάστε την Παράγραφο 8.3.4, χωρίς όμως να δώσετε μεγάλη σημασία στις λεπτομέρειες.

Προτεινόμενες ασκήσεις: Παράγραφος 8.3, Ασκήσεις: Β5.

-Πέμπτη 16/05: Την πρώτη ώρα λύσαμε κάποιες ασκήσεις για επανάληψη στο Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Ειδικότερα, επιμείναμε στην ακόλουθη βασική παρατήρηση: αν f είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [a,b] με f(x) μεγαλύτερο ή ίσο του 0 για κάθε x και το ολοκλήρωμα της f είναι 0, τότε ΔΕΝ μπορούμε να συμπεράνουμε ότι f(x)=0 για κάθε x. Αν όμως έχουμε ότι η f είναι συνεχής και όχι απλώς ολοκληρώσιμη, τότε το αποτέλεσμα είναι σωστό. Παραπέμπουμε στην Άσκηση 19 της Παραγράφου 8.2 και στις Ασκήσεις 20, 21, 22 της ίδιας παραγράφου, οι οποίες βασίζονται στην Άσκηση 19.

Τη δεύτερη ώρα αρχίσαμε να μιλάμε για Γενικευμένα Ολοκληρώματα. Ειδικότερα ορίσαμε το γενικευμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όταν το πεδίο ορισμού της είναι ένα μη-φραγμένο διάστημα της μορφής [a,+άπειρο).

Προτεινόμενες ασκήσεις: Παράγραφος 8.4, από την άσκηση 1 κοιτάξτε τις περιπτώσεις όπου το κάτω άκρο ολοκλήρωσης είναι πραγματικός αριθμός και το πάνω άκρο είναι το +άπειρο.

12η εβδομάδα, 20/05-26/05:

-Δευτέρα 20/05: Στο μάθημα της Δευτέρας συνεχίσαμε να μιλάμε για γενικευμένα ολοκληρώματα στα οποία το κάτω άκρο ολοκλήρωσης είναι πραγματικός αριθμός και το πάνω άκρο είναι το +άπειρο. Ειδικότερα, είδαμε το κριτήριο σύγκρισης. Το κριτήριο αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς μας επιτρέπει να αποφανθούμε για το αν ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει ή όχι χωρίς να χρειάζεται να το υπολογίσουμε.

-Τρίτη 21/05: Στο μάθημα αυτό μιλήσαμε για γενικευμένα ολοκληρώματα άλλου τύπου στα οποία η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση δεν είναι φραγμένη κοντά σε ένα από τα άκρα ολοκλήρωσης. Επίσης είδαμε συνδυασμούς όλων των τύπων γενικευμένων ολοκληρωμάτων.

Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη διαβάστε σχολαστικά την Παράγραφο 8.4.

Προτεινόμενες Ασκήσεις: Παράγραφος 8.4, Ασκήσεις: 1, 2, 4, 5.

Από το Κεφάλαιο 8 καλύψαμε τις Παραγράφους 8.1, 8.2, 8.3 (χωρίς την υποενότητα 8.3.5) και 8.4.

Οι Παράγραφοι 8.5, 8.6 είναι εκτός ύλης.

 -Πέμπτη 23/05: Στο μάθημα της Πέμπτης αρχίσαμε να μιλάμε για Σειρές Αριθμών. Συγκεκριμένα ορίσαμε την έννοια της Σειράς Αριθμών και είπαμε πότε λέμε ότι μια σειρά συγκλίνει, πότε λέμε ότι αποκλίνει στο +άπειρο ή στο -άπειρο και πότε λέμε ότι αποκλίνει. Στη συνέχεια, μελετήσαμε τη γεωμετρική σειρά, η οποία είναι ένα από τα πιο σημαντικά παραδείγματα σειράς τα οποία θα συναντήσουμε. Είδαμε ακόμη πώς μπορούμε να κάνουμε αλγεβρικές πράξεις με σειρές. Τέλος, αναφέραμε την πολύ βασική παρατήρηση ότι αν μια σειρά συγκλίνει, τότε η ακολουθία x_n αναγκαστικά συγκλίνει στο 0. Σχολιάσαμε ότι το αντίστροφο της παρατήρησης αυτής δεν ισχύει. Επίσης, σχολιάσαμε ότι στις ασκήσεις χρησιμοποιούμε την παρατήρηση με τον εξής τρόπο: αν η ακολουθία x_n δεν συγκλίνει στο 0, τότε συμπεραίνουμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη, διαβάστε την Παράγραφο 10.1.

Προτεινόμενες Ασκήσεις: Παράγραφος 10.1, Ασκήσεις: 1, 2, 3.

-Παρασκευή 24/05 (έκτακτο μάθημα): Καταρχάς, σχολιάσαμε το γεγονός ότι η σύγκλιση μιας σειράς δεν επηρεάζεται από τους αρχικούς όρους της σειράς. Στη συνέχεια, είδαμε ότι αν μια σειρά έχει μη-αρνητικούς όρους, τότε η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι αναγκαστικά αύξουσα, από όπου προκύπτει ότι, μια σειρά μη-αρνητικών όρων είτε συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, είτε αποκλίνει στο +άπειρο. Δεν υπάρχει, λοιπόν, περίπτωση να αποκλίνει στο -άπειρο ή να αποκλίνει γενικά. Έπειτα, αρχίσαμε να μελετάμε τα Κριτήρια Σύγκλισης. Τα Κριτήρια Σύγκλισης είναι Θεωρήματα που μας επιτρέπουν να μελετήσουμε τη σύγκλιση μιας σειράς, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουμε την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων. Είναι επομένως πολύ σημαντικά εργαλεία, καθώς την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι αδύνατο να την υπολογίσουμε (πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, π.χ γεωμετρική σειρά).

Το πρώτο κριτήριο το οποίο μελετήσαμε ήταν το Ολοκληρωτικό Κριτήριο. Όπως λέει και το όνομά του, το Ολοκληρώτικο Κριτήριο ανάγει τη μελέτη μιας σειράς στον υπολογισμό ενός γενικευμένου ολοκληρώματος. Γενικά, τα ολοκληρώματα υπολογίζονται πιο εύκολα, καθώς έχουμε στη διάθεσή μας περισσότερα εργαλεία.

Τέλος, είδαμε το Κριτήριο Σύγκρισης. Σύμφωνα με αυτό αν έχουμε δύο ακολουθίες, των οποίων οι όροι μπορούν να συγκριθούν με κάποιο τρόπο, τότε αν γνωρίζουμε κάτι για τη σειρά που ορίζει η μια ακολουθία, μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη σειρά που ορίζει η άλλη ακολουθία.

Από τις σημειώσεις διαβάστε την Παράγραφο 10.2.

Προτεινόμενες Ασκήσεις: Παράγραφος 10.2, Ασκήσεις 1, 4, 5.

13η εβδομάδα, 27/05-02/06:

-Δευτέρα 27/05: Στο μάθημα της Δευτέρας, λύσαμε ασκήσεις σχετικές με το Κριτήριο Σύγκρισης. Κοιτάξτε προσεκτικά την Άσκηση 1, της Παραγράφου 10.2, από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Επίσης, μιλήσαμε για το κριτήριο εναλλασσόμενων προσήμων.

-Τρίτη 28/05: Μελετήσαμε την απόλυτη σύγκλιση μιας σειράς. Αν μια σειρά συγκλίνει απολύτως, τότε η σειρά συγκλίνει. Αν όμως η σειρά των απολύτων τιμών συγκλίνει στο +άπειρο, τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη σύγκλιση της σειράς. Επίσης μιλήσαμε για δύο πολύ χρήσιμα και σημαντικά Κριτήρια σύγκλισης: το Κριτήριο Λόγου και για το Κριτήριο Ρίζας. 

Από τις σημειώσεις διαβάστε την Παράγραφο 10.4.

Προτεινόμενες Ασκήσεις: Παράγραφος 10.2, Ασκήσεις 1, 2, 5, 6.

-Πέμπτη 30/05: Στο μάθημα της Πέμπτης ορίσαμε τις λεγόμενες τηλεσκοπικές σειρές και τις μελετήσαμε ως προς τη σύγκλιση. Στο υπόλοιπο της ώρας λύσαμε κάποιες ασκήσεις στις σειρές.

 Προτεινόμενες Ασκήσεις: Παράγραφος 10.2, Άσκηση 4.

Από το Κεφάλαιο 10, καλύψαμε τις Παραγράφους 10.1, 10.2  και 10.4

Οι υπόλοιπες παράγραφοι είναι εκτός ύλης.

Ασκήσεις

(Κάποιοι φοιτητές ζήτησαν επιπλέον ασκήσεις. Αυτές μπορείτε να τις βρείτε πιο κάτω)

 30/05: Το φυλλάδιο 5. Γενικευμένα Ολοκληρώματα που αναρτήθηκε πριν λίγες μέρες, περιείχε κάποια λάθη. Συγκεκριμένα, στην Άσκηση 1, το προτελευταίο ολοκλήρωμα δεν υπολογίζεται με αυτά που έχουμε κάνει στο μάθημα και είναι εκτός ύλης. Επίσης, στην Άσκηση 2, στο πρώτο ολοκλήρωμα υπάρχει τυπογραφικό λάθος. Τα λάθη αυτά έχουν διορθωθεί και  μπορείτε πλέον να δείτε και να κατεβάσετε το διορθωμένο αρχείο.

         Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Άρη, την Όλγα και κάποιους άλλους φοιτητές (τα ονόματα των οποίων δυστυχώς δεν γνωρίζω), οι οποίοι μου υπέδειξαν τα λάθη που υπήρχαν στις ασκήσεις.

05/06: Μπορείτε να δείτε τις πρώτες επαναληπτικές ασκήσεις. Το κάθε αρχείο .pdf  αποτελείται από δύο σελίδες. Στην πρώτη σελίδα υπάρχει η εκφώνηση της άσκησης και στη δεύτερη η λύση. Η προτροπή μου είναι να μην καταφεύγετε αμέσως στην λύση. Προσπαθείστε κάθε άσκηση έστω για 10 λεπτά. Φυσικά αν μια άσκηση δεν βγαίνει, δεν υπάρχει λόγος να σπαταλήσετε μία ώρα.

Οι επαναληπτικές ασκήσεις σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να θεωρηθούν SOS. Ο ρόλος τους είναι απλώς για να σας βοηθήσουν (όσο γίνεται) στο διάβασμα.

Απολογούμαι εκ των προτέρων για τα τυπογραφικά λάθη.

07/06: Η Σοφία έκανε μια ερώτηση σχετικά με το πώς εφαρμόζουμε το Κριτήριο Σύγκρισης στα Γενικευμένα Ολοκληρώματα. Επειδή και άλλοι μπορεί να έχουν την ίδια απορία, και επειδή το Κριτήριο Σύγκρισης είναι κάτι που πρέπει να σας ενδιαφέρει, ανεβάζω και εδώ την απάντηση που της έστειλα.

Επίσης, έχει προστεθεί η επαναληπτική άσκηση 3.