Materia.‎ > ‎3.0 Unidad 3‎ > ‎3.1 Teoria‎ > ‎

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.


CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar atendiendo a dos criterios fundamentales:

  1. según como sea el TÉRMINO INDEPENDIENTE:

Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en

  • SISTEMAS HOMOGÉNEOS (si el término independiente es el vector nulo)

;

  • SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS (el término independiente es no nulo)

; siendo  
 

  1. según LA EXISTENCIA o no de SOLUCIONES

Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en:

  • SISTEMAS COMPATIBLES: si tienen una o infinitas soluciones.
  • SISTEMAS INCOMPTAIBLES: si no tienen soluciones.


SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. 
 

EJEMPLO.

Consideremos el siguiente sistema:

Determinar si los vectores (29/9, -2/9,0) y (14/9,4/9,1) satisfacen las ecuaciones del sistema: 


 

Definimos en DERIVE el sistema

Y ahora sustituimos en el sistema x,y,z por los valores correspondientes con la ayuda de MANAGE-SUBSTITUTE. 
 

Resultando una identidad. 
 

Otra opción para efectuar esta comprobación consistiría en construir la forma matricial del sistema, definiendo entonces la matriz de coeficientes: 


 

Definir los posibles vectores solución, como vectores columna: 


 

Y comprobar si satisfacen las ecuaciones, observese que 
 

 

Luego el primer vector sí satisface el sistema. Por el contrario, el segundo no lo satisface pues 
  
 

Según esto podemos definir el concepto de SOLUCIÓN como 
  
 

DEFINICIÓN (Solución de un sistema)

Sea un sistema de ecuaciones lineales   siendo A una matriz de orden mxn,   el vector de incógnita de Rn, y  el vector de términos independientes del sistema.

Diremos que el vector  es solución del sistema si verifica que

 
   
 

Ejemplo.

Consideremos los siguientes sistemas lineales:

A3.x4 = b4 
A4.x4=b4 
A5.x4=b4 
A6.x4=b4


Siendo las matrices de coeficientes: 
  


El vector de incógnitas: 
  


Y los vectores de términos independientes:

b3:=[[3,-3,4]]` 
b4:=[[3,4,-3]]` 
b5:=[[3,-6,4]]` 
b6:=[[3,-3,1]]`


¿El vector (5,4,-10) es solución de alguno de los cuatro sistemas?

Si definimos este nuevo vector, como

Podemos comprobar que es solución de los cuatro sistemas pues:

Del primero es solución pues

Del segundo también pues:

Del tercero también:

Y lo mismo sucede con el cuarto: 
 

Comments