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SEGUNDA EVALUACION

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ECUACION DE LA RECTA

En geometria euclidiana, la recta o línea recta, el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de linea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geometricos fundamentale, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados caracteristicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minuscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuacion del tipo y = m x + b, donde x y y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Ecuacion de la recta

En una recta, la pendiente m\, es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

y - y_1 = m (x - x_1)\!


Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de  X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

y - y_1 = m (x - x_1)\,
Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y - y_1 = m (x - x_1)\!

y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!

3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!

3y + 12 = - x + 2\!

x + 3y + 12 = 2\!

x + 3y + 10 = 0\!

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, yy1 = m(xx1):

y - b = m (x - 0)\!

y - b = m x \!

y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

 (0, b)\! y (a, 0)\!

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) = \frac{-b}{a}

Después se sustituye en la ecuación yy1 = m(xx1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

y - 0 = - \frac {b}{a}(x - a)
 ay = - bx + ab\!

 bx + ay = ab\!

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:

\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!


\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Ludwig Otto Hesse ((1811-1874) Matemático alemán. Prof. en la Univ. de Heidelberg y en el Politécnico de Munich.)

Esta es la forma normal de la recta:

x cos\omega + y sen\omega - d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. y el ángulo omega ω es el formado entre la recta y el eje de las ordenadas.



Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.


Ax + By + C = 0 \!


Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:


k = \sqrt{A^2 + B^2}


Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular p dividimos a C entre k.


Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.[2]

Ecuación Normal de la recta (Segunda forma)

 \frac{Ax+By+C}\sqrt{A^2 + B^2}  = 0

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

La recta en Cordenadas Cartesianas

La recta en coordenadas cartesianas.png

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

y = m \cdot x + n

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

y_{A} = m \cdot x_{A} + n
y_{B} = m \cdot x_{B} + n

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}
n = \frac{y_{A} \cdot x_{B} - y_{B} \cdot x_{A}}{x_{B} - x_{A}}
  • m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.
  • m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.
  • n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

Rectas notables

  • La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante).
  • La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante).
  • Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: y = (m)(x)\;.
  • Dos rectas cualesquiera:
 y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ n_1 \!
 y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ n_2 \!

Ecuacion de la Recta



Č
ĉ
rebeca vigo intor,
13/9/2010 18:12
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