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Solidos De Revolucion

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Método de discos:

Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho x , el ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco ( región plana circular) con la fórmula de área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo ( x ) que lo forma. 


Resultado de imagen para metodo de los discos

Ejemplo:

1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva:
y = √x, de 0 a 1.

-solución:
el solido está entre x=0 y x=1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

 El volumen de este disco será:

V= π (√x)² = πx

V= A(X) dx = πx dx = π 


calculado entre 0 y 1 = 









































Video de ejemplo método de discos:


Vídeo de YouTube


Método de Arandelas:

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas. 


Sí la región que giramos para formar un sólido  que no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o anillo. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos.
Donde se tiene un radio interno r y un radio externo R de la arandela

La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.
siendo la siguiente, la expresión matemática para calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se deduce lo siguiente:

(V=)  𝜋R2h 𝜋r2h
(V=) πh(R2r2)
(dV= ) π ∫a^b[R2 – r2 ]x  
En donde:(R=f(x))
r=g(x) 
dx=dh

Ejemplo:

Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el eje “x”, la región acotada por: y = x2 + 1 y la recta y = x + 3

x2 + 1 = x+3

X2  - x – 2 = 0

(x - 2) (x + 1) = 0

X1 = 2  x2 = -1



































Video de ejemplo método de arandelas:

Vídeo de YouTube



Método de de las cortezas:


Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura 4. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:


                figura 4.

        









En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos  = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen de la forma siguiente:

Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la Animación 3.
animación 3.
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal  y = 0 y las rectas verticales a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en la Animación 4.

figura 5.












animación 4.}







Dividamos el intervalo [ab] en n subintervalos [xi−1xi], todos con el mismo ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el  rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura (xi*) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi. (Véase Figura 6). Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:
figura 6.

Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la Animación 5 y después sumar los volúmenes de todos ellos:

Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente:

Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:


Ejemplo:

Ejemplo:
hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En  este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = x3 + 4x2 − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la Animación 6 y por eso, la integral para el volumen es:


animación 6.
vídeo de ejemplo método de las cortezas:

Vídeo de YouTube







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