Local Seminar

Our seminar is partially supported by Sonata Bis 3 Narodowe Centrum Nauki Poland Grant No NCN 2014/10/E/ST1/00688.

Here is the list of talks given during our non-regular local seminar at Polish Academy of Sciences in Cracow. We usually meet together at chosen Thursdays around 12.30. Each talk is about 1h 30 min. After the seminar, we are going to lunch together -- German style ;).

Seminar IMPAN 2018/2019

Abstracts:

18.10.2018: Niech p będzie liczbą pierwszą. Podczas referatu przedstawię kilka wyników dotyczących wyznaczania wyraźnych wzorów na p-adyczne waluacje pewnych funkcji partycji liczb naturalnych na potęgi liczby p (jednokolorowych i wielokolorowych).

25.10.2018: Funkcje symetryczne to niezwykle proste obiekty, które w naturalny sposób pojawiają się w różnych dziedzinach matematyki. Mają one zastosowanie w teorii reprezentacji, geometrii algebraicznej, oraz fizyce statystycznej. Ze względu na ich kombinatoryczną naturę, kluczem do zrozumienia wspomnianych związków jest zrozumienie kombinatorycznych reguł opisujących naturalne algebraiczne operacje mające teorio-reprezetacyjne lub geometryczne motywacje. Na wykładzie przedstawimy kilka klasycznych przykładów wspomnianych reguł, oraz opiszemy różne problemy badawcze, które obecnie leżą w centrum zainteresowania kombinatoryki algebraicznej funkcji symetrycznych. W szczególności przedstawimy hipotezę o Schur-dodatniości pewnej nowej klasy funkcji, którą można traktować jak wielowymiarowe uogólnienie wielomianów Macdonalda. Hipoteza ta w naturalny sposób uogólnia słynną ex-hipotezę Macdonalda udowodnioną przez Haimana w 2001 poprzez znalezienie głębokiego związku między kombinatoryką, teorią reprezentacji grup permutacji, a schematami Hilberta. Jeśli czas pozwoli, omówimy potencjalną metodę ataku przedstawionej hipotezy.

8.11.2018: Rozmaitości kwaternionowe są przykładem geometrii Cartana typu projektywnego. Dla nich da się dobrze zdefiniować odpowiedniość twistorową uogólniającą na wyższe wymiary (dim=4n) znaną odpowiedniość Penrosa dla czterowymiarowych rozmaitości konforemnych auto-dualnych. W referacie wprowadzę podstawy dotyczące odpowiedniości twistorowej dla rozmaitości kwaternionowych i jej związki z zespoloną geometrią kontaktową a następnie przedstawię wyniki otrzymane we współpracy z D. Calderbankiem (Bath) dotyczące rozmaitości kwaternionowych z działaniem okręgu.

19.11.2018: Projective duality can be used to study singularities. A matrix is singular precisely when its determinant vanishes, or equivalently, when it belongs to the projective dual to rank-one matrices, the Segre variety. A higher order tensor is singular when its hyperdeterminant vanishes, i.e. when it belongs to the dual of a higher order Segre product. Efficient expressions for hyperdeterminants are mostly unknown and they are difficult to compute. We describe a connection to the exceptional Lie algebra $E_8$. This gives an interpretation of certain hyperdeterminants (of formats $2\times 2\times 2\times 2$ and $3\times 3\times 3$) and certain discriminants (of the Grassmannians $Gr(3,9)$ and $Gr(4,8)$) as sparse $E_8$-discriminants. We give expressions of these high degree invariants in terms of lower degree fundamental invariants, which allow evaluation, and may be useful for Quantum Information Theory as measures of entanglement. This is joint work with Frédéric Holweck.

22.11.2018: When an ideal is defined only by combinatorial means, one expects to have a combinatorial description of its algebraic invariants. An attempt to achieve this description often leads to surprisingly deep combinatorial questions. White's conjecture is an example. It asserts that the toric ideal associated to a matroid is generated by quadratic binomials corresponding to symmetric exchanges. Another example is a question of Herzog and Hibi about existence of a quadratic Gröbner basis of the toric ideal of a matroid. Both problems reduce to questions about arrangements of bases in a matroid. We will review recent progress and state some intriguing problems.

29.11.2018: Jednym z fundamentalnych problemów w Geometrii Algebraicznej jest obliczanie wymiarów systemów liniowych na rozmaitościach rzutowych w przestrzeniach dowolnie wymiarowych. Na płaszczyźnie rzutowej jego hipotetycznym rozwiązaniem jest tzw. hipoteza SHGH. Jej pierwsza wersja została sformułowana w 1961 roku, mimo to hipoteza wciąż pozostaje otwarta. W pracy z 2017 roku D. Cook II, B. Harbourne, J. Migliore i U. Nagel zaproponowali nowe spojrzenie na problem obliczania wymiarów systemów liniowych. Wprowadzili definicję krzywej nieoczekiwanej, tj. elementu systemu liniowego [I(Z+m_1P)]_{m_1+1}, który jest wyjątkowy dla ogólnego punktu P. Celem tego wystąpienia będzie zaprezentowanie uzyskanych dotychczas wyników związanych z tym problemem, na podstawie wspólnych prac z M. Di Marca i A. Oneto, a także T. Bauer, T. Szemberg i J. Szpond.