การเข้าชม

บ้านสมเด็จเจ้าพระยา

ผู้เขียนหน้าเว็บ

  • Narongrit Phetburi
    ตุลาคม 4, 2012

บทที่ 1เรื่อง การเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติ

ตำแหน่งและการกระจัด
      ตำแหน่ง (position) คือการแสดงออก หรือการบอกให้ทราบว่า วัตถุหรือสิ่งของ ที่เราพิจารณา อยู่ที่ใด เราจะคิดถึงวัตถุที่มีขนาดเล็กก่อน ซึ่งจะสามารถบอกได้ชัดเจนว่ามี ตำแหน่งอยู่ที่ใด โดยเฉพาะ บนเส้นตรงเส้นหนึ่งเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิง จุดอ้างอิงเป็นปัจจัย จำเป็นเพื่อความชัดเจน อาจจะเป็นจุด ศูนย์ของโคออร์ดิเนตในพิกัด xy เนื่องจากเราจะ พิจารณากรณีหนึ่งมิติก่อน เราจะใช้เฉพาะแกน x และอาจบอกว่าวัตถุของเราอยู่ที่ตำแหน่ง ที่เวลา อันหมายถึงวัตถุอยู่ที่ระยะทาง จาก
จุด O (จุดอ้างอิง) ที่เวลาดังกล่าว ถ้าวัตถุเลื่อนไปอยู่ที่ ที่เวลา แสดงว่าวัตถุได้มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา และ ตำแหน่งทั้งสองของวัตถุอาจแสดงดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 การแสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุบนแกน
การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจาก ไปเป็น หรือ เรียกว่าการกระจัด (displacement) การกระจัดมีทิศในทีนี้มีทิศจาก ไป ดังรูป โดยทั่วไป การกระจัด หมายถึงการเปลี่ยนแปลงของวัตถุไปจากตำแหน่งปกติ
ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย
    โดยนิยามหรือข้อกำหนด ความเร็ว (Velocity) คือ การเปลี่ยนตำแหน่งต่อเวลา สำหรับ
ช่วงเวลาที่ยาว ความเร็วที่คิดจากการเปลี่ยนตำแหน่งในช่วงเวลานั้นหารด้วยช่วงเวลาถือว่า
เป็นความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity)ความเร็วเฉลี่ยเป็นเสมือนความเร็วที่การเปลี่ยนแปลง ในช่วงเวลาที่วัดมีค่าเดียวที่สม่ำเสมอ ความ เร็วเฉลี่ยที่มีทิศทางจาก ไป คือ



สำหรับคำว่าอัตราเร็ว (Speed) มีความหมายที่แตกต่างไปจากความเร็วคือ อัตราเร็ว จะคิดจาก ระยะทาง ของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศทางนั่นคือใช้อัตราเร็วใน ลักษณะที่เป็นสเกลาร์ (Scalar) ในขณะที่ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ (Vector) อัตราเร็ว
เฉลี่ย (Average Speed) สำหรับการเคลื่อนที่จาก ไป ดังรูป 2 จะมีขนาดเท่ากับ ระยะทางจาก ไป หารด้วยเวลา ซึ่งจะให้ผลเท่ากับขนาดของความเร็วเฉลี่ยแต่อัตรา เร็วเฉลี่ยอาจ จะแตกต่างไปจากขนาดของความเร็วเฉลี่ยได้โดยเฉพาะกรณีที่วัตถุเคลื่อน
ที่เลย ไปถึง แล้วย้อนกลับมา ดังรูป 2 โดยใช้เวลาทั้งหมด เท่าเดิม ถ้าเป็นเช่นนั้น อัตราเร็วเฉลี่ย ซึ่งเป็นระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่ (จากไป แล้วจาก กลับมา ) หารด้วยเวลาจะมีค่า เพิ่มขึ้นมากและต่างจากขนาดของความเร็วอย่างเห็น ได้ชัด

รูปที่ 2 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุจากไป และจาก กลับมา
นั่นคือ

ในทีนี้ d คือ
โดยเครื่องหมายขีดสองข้างของปริมาณจะหมายถึง ขนาดของปริมาณนั้นและมีค่าเป็น
บวกเท่านั้นสมมติว่า โยนลูกบอลขึ้นในแนวดิ่ง ลูกบอลลอยขึ้นไปได้สูง 5 เมตร แล้วตกกลับ
มายังมือในเวลา 2 วินาที จากข้อความนี้แสดงว่า อัตราเร็วเฉลี่ยในช่วง 2 วินาทีเท่ากับระยะ
ทาง 5 เมตร + 5 เมตร หารด้วยเวลา 2 วินาที เท่ากับ 5 เมตรต่อวินาทีแต่ความเร็วเฉลี่ย ในช่วงเดียวกันจะเป็นศูนย์เพราะ ลูกบอลได้กลับมาที่เดิมคือ มีการกระจัดทั้งหมดเป็นศูนย์



ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (Instantaneous velocity) ก็คือความเร็วของวัตถ
ุในช่วงเวลาที่ สั้นมากขณะผ่านจุดจุดหนึ่งหรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง หรือพูดสั้น ๆ เป็น
ความเร็วในช่วงเวลาที่สั้นมาก นั้นคือ



สัญลักษณ์ในสมการ เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์แสดงกระบวน การทางคณิตศาสตร์ที่ใช้หา ค่า lim เมื่อทราบฟังก์ชันชัดเจนและค่า หรือ เป็นทำอนุพันธ์ของ X เทียบกับเวลา ซึ่งเป็นสัญลักษณ์แทน นั่นเอง
ถือเป็นตัวดำเนิน การตัวหนึ่ง ซึ่งจะกระทำบางอย่างกับสิ่งที่เขียนตามมา กราฟของ ตำแหน่งของวัตถุกับ เวลาอาจเป็นดังรูป ระหว่าง จุด และ ที่เวลา และ ซึ่งจะเรียกว่าจุด P และ จุด Q การเคลื่อนที่อาจ เป็นไปตามเส้นโค้ง


                                   รูป ความเร็วเฉลี่ยและความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

   ถ้าตำแหน่งของวัตถุที่ผ่าน P และ Q เป็นเส้นโค้งดังรูป ความชันของเส้น
ตรงที่ลากผ่าน PQ คือ ก็คือ ความเร็วเฉลี่ยระหว่าง P และ Q ถ้าจุด P
เลื่อนไปใกล้จุด Q มากขึ้น ๆ นั้นคือช่วง จะสั้นลงจน P อยู่ใกล้ Q มาก
เส้นตรง PQ ก็จะกลายเป็นเส้นสัมผัสเส้น โค้งที่จุด Q นั่นเอง และ จะมีระยะหนึ่ง
ที่เมื่อ P เข้าใกล้ Q มากขึ้น ความชันก็ไม่ เปลี่ยนแปลง ความชันนี้คือ ลิมิต (Limit) หรือขีดจำกัด ของความชัน และถือว่า ค่าความเร็วของวัตถุที่ Q ซึ่งเป็นความเร็ว ขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา หรือที่จุด Q เพื่อให้เข้าใจความหมายดังกล่าวของค่าลิมิต เราสามารถสังเกตได้จากตัวอย่าง ต่อไปนี้ เช่น สมมติว่า เราทราบว่ากราฟตำแหน่งกับ เวลาเป็นไปตามสมการในหน่วยเมตรเมื่อ เป็นวินาที เราสามารถรู้ค่า
ตำแหน่ง X ที่เวลาต่าง ๆ ได้จากการคำนวณจากสมการ ให้ Q เป็นตำแหน่งที่ 2.00
วินาที ค่าของตำแหน่ง P ที่เวลาต่าง ๆ ใกล้ Q และค่าของความชันของเส้น PQ ดังตาราง ซึ่งจะเห็นลิมิต ของความชันที่ Q เป็น 20.00 เมตรต่อวินาที

ตาราง แสดงค่า X ของ P และ Q ที่เวลาต่าง ๆ และค่าความชันของเส้น PQ


t (s)

P (m)

Q (m)

ความชันของ PQ (m/s)

1.50

11.25

20.00

17.50

1.80

16.20

20.00

19.00

1.90

18.05

20.00

19.50

1.98

19.602

20.00

19.90

1.99

19.8005

20.00

19.95

1.995

19.9001

20.00

19.98

1.999

19.9800

20.00

20.00

1.9999

19.9980

20.00

20.00

                     ตารางแสดงว่าความชันไม่เปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก

เมื่อช่วงเวลาสั้นมากวัตถุไม่มีเวลาที่จะกลับไปมา อัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่งก็คือขนาด
ของความเร็วที่ไม่ต้องคำนึงถึงทิศทางนั่นเอง

ความเร่ง
            ความเร่ง (Acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา นั่นคือถ้าที่เวลา วัตถุมีความเร็ว และที่เวลาก่อนนั้นคือ วัตถุมีความเร็ว ถือว่าความเร่งเฉลี่ยใน ช่วงเวลา ถึงเวลา คือ
              ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง (Instantaneous acceleration) โดยใช้สัญลักษณ์ คือ
       หากเขียนกราฟของความเร็วกับเวลา ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดต่าง ๆ ก็คือความเร่งของ วัตถุที่จุดนั้นๆ ในทำนองเดียวกันกับที่ความเร็วเป็นความชันของ กราฟระหว่างตำแหน่งกับเวลา สำหรับคำว่า อัตราเร่ง ก็จะไม่คิดทิศทางในลักษณะ เดียวกับอัตราเร็ว



การเคลื่อนที่ในกรณีความเร่งเป็นค่าคงตัว
กรณีที่ความเร่งมีค่าคงตัว (Constant acceleration) นั่นคือ ความเร็วมีการเปลี่ยนแปลง
แบบสม่ำเสมอ กราฟของความเร็วที่เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมออาจเป็นดังรูป ซึ่งกราฟความเร็วกับ เวลาเป็นกราฟเส้นตรง ความชันที่ทุกจุดบนเส้นตรงคือ ความชันของเส้นตรงนั่นเอง


รูป กราฟความเร็วกับเวลา


ความชันของเส้นตรงคือ ให้เท่ากับ ซึ่งเป็นค่าคงตัว
ดังนั้น
หรือ

ความหมายในสมการนี้คือ เป็นความเร็วที่เวลา เป็นความเร็วที่เวลา หรือความเร็วต้น , เป็นความเร่งค่าหนึ่ง และ เป็นเวลา ซึ่งจากสมการ
ข้างต้นก็จะเห็นได้ว่า ความเร็วมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ สมการนี้จะใช้ได้ทั้งค่า
ที่เป็น + และ – (ค่า – หมายถึงเวลาก่อนที่จะเริ่มนับว่าศูนย์) และยังใช้ได้ทั้ง
กรณีที่ เป็นบวกและลบ (ถ้า มีค่าเป็นลบ หมายถึงความเร่งไปทางทิศ –X และ มีผลให้ความเร็ว ลดลงอย่างสม่ำเสมอ โดยที่ อาจจะยังมีค่าเป็นบวกอยู่)
           รูป กราฟระหว่างความเร็วและเวลา สำหรับความเร่งคงตัว การหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ อาจจะหาได้โดยใช้กราฟดังรูป 2.5 ถ้าใช้ช่วง
เวลา เป็นช่วงเวลาสั้น ๆ ขณะที่วัตถุมีความเร็ว ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในช่วง
เวลา ก็คือ ซึ่งเป็นช่วงเวลาสั้น ๆ เปลี่ยนแปลงไม่มาก ดังนั้นการรวม
ทั้งหมดโดยเริ่มจาก จนถึง จะได้ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมด และเป็นระยะ ทางที่ถูกต้อง เมื่อ เข้าใกล้ศูนย์ นั้นคือ การอินทิเกรต (integrate) ของ จาก จนถึง จะให้ระยะทางทั้งหมดสมมติว่าเป็น โดยสัญลักษณ์คือ

ตามรูป เป็นพื้นที่ใต้กราฟที่สูง และกว้าง การรวมพื้นที่ ทั้งหมดจะได้พื้นที่ ใต้กราฟทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนานสูง กับ มีความกว้าง
ซึ่งมีค่าเท่ากับ นั่นคือ



และเมื่อแทนค่า จะได้

ขณะที่
ดังนั้น แทนค่าใน
จะได้




ดังนั้นสูตรจะเป็นดังนี้


สูตรเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกรณีที่ เป็นค่าคงตัวเท่านั้น
วัตถุตกอย่างเสรีมีความเร่งสม่ำเสมอ
        สามารถทดลองด้วยตัวเองว่า สิ่งของหรือวัตถุต่าง ๆ ไม่ว่าจะมีมวล เท่าใด (ซึ่งถ้าความหนาแน่นมากพอแรงต้าน ของอากาศจะไม่มีผลกระทบมากนัก) จะตกลง สู่พื้นด้วยความเร่งสม่ำเสมอ นั่นคือ ความเร่งมีค่าคงตัวและมีทิศลงในแนวดิ่งเสมอ เรียกได้ว่าค่า ความเร่งของการตกอย่างเสรี การตกอย่างเสรี (free fall) หมายถึง การตกโดย ไม่มีสิ่งใดกีดขวางหรือกระทบ การมีอากาศกระทบระหว่างตกทำให้ไม่ได้ผลดังอุดมคติ แต่อาจพิสูจน์ได้ว่าการมีอากาศไม่ทำให้การตกผิดไปจากอุดมคติมากนักโดยเฉพาะเมื่อ
ความเร็วไม่มาก แต่ถ้าวัตถุตกจากที่สูง วัตถุมีความเร็วมากในช่วงท้ายซึ่งอากาศจะต้าน ทานการเคลื่อนที่มากขึ้น และทำให้ความเร่งผิดไป ความเร่งในการตกของวัตถุลงสู่พื้น
โลกเรียกว่า ค่าโน้มถ่วง (gravity) และใช้สัญลักษณ์เป็น g ค่าของความเร่งในจุดต่าง ๆ ของประเทศไทย จะมีค่าระหว่าง 9.780 ถึง 9.785 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง ค่านี้ขึ้นกับ ละติจูดของจุดที่ทดลอง ค่าเฉลี่ยของ g ทั่วโลกที่ถือเป็นค่ามาตรฐานคือ 9.8065 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง