Límites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

 \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

   \begin{array}{l}       \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 /     \\       0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon    \end{array}

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Propiedades de los límites

Generales 

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

  •  \lim_{x \to a} x = \, a \,
  • Límite de una suma.
 \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\,
  • Límite de una resta.
 \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\,
  • Límite de una multiplicación.
 \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\,
  • Límite de una división.
   \underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} =    \frac        {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)}       {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)}    \quad    \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

   \infty - \infty , \quad    \frac{\infty}{\infty} , \quad    \infty \cdot 0 , \quad    \frac{0}{0} , \quad    \infty ^0 , \quad    1^\infty , \quad    0^0

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo \textstyle \frac{0}{0} es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0

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Explicación acerca de límites



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