Троугао

Основни елементи троугла

Троугао је многоугао који има три темена. Троугао има три странице и три (унутрашња) угла. Угао напоредан унутрашњем углу зовемо спољашњи угао.

Обично углове троугла ABC који се налазе код темена A, B и C означавамо редом малим грчким словима α, β и γ. Странице [BC], [CA] и [AB] обично означавамо малим латиничним словима a, b и c. За страницу a, на пример, кажемо да се налази наспрам темена A, као и да је наспрам угла α.

Свака страница троугла краћа је од збира преостале две странице. Наспрам веће странице троугла налази се већи угао. Збир унутрашњих углова сваког троугла је 180°, а спољашњих 360°. Спољашњи угао троугла једнак је збиру двају унутрашњих углова који му нису суседни.

Подела троуглова према угловима

Највише један (унутрашњи) угао троугла може бити прав или туп. Троугао који има туп угао зовемо тупоугли троугао. Троугао који има прав угао зовемо правоугли троугао. Троугао чија су сва три угла оштра зовемо оштроугли троугао. Сваки троугао има бар два оштра угла. Троугао је тупоугли, правоугли или оштроугли зависно од тога да ли је његов највећи угао туп, прав или оштар.

Најдужа страница правоуглог троугла је наспрам правог угла. Ту страницу зовемо хипотенуза. Преостала два угла су оштра, а странице наспрам њих зовемо катете правоуглог троугла.

Подела троуглова према страницама

За троугао кажемо да је једнакокрак ако има две једнаке странице. Те две странице зову се краци. Трећа страница једнакокраког троугла зове се основица. Теме наспрам основице зове се врх. Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки.

Ако су све три странице троугла једнаке, кажемо да је троугао једнакостраничан. Унутрашњи углови једнакостраничног троугла износе сваки по 60°.

Подударност и основне конструкције троуглова

За два троугла кажемо да су подударни ако су странице и углови једног троугла једнаки страницама и угловима другог троугла.

Познавање сва три угла троугла није довољно да потпуно одреди облик и величину троугла. Троугао је одређен са:

(СУС) две странице и углом захваћеним тим двема страницама,
(УСУ) два угла и страницом,
(ССС) три странице,
(ССУ) две странице и углом наспрам веће од њих.

Са једне стране то значи да су два троугла подударна (а то значи да имају једнаке све странице и одговарајуће углове), ако су им једнаки неки од трију наведених елемената (то су ставови о подударности троуглова). Са друге стране постоје четири основне конструкције троугла засноване на употреби само наведених елемената троугла које поткрепљују исправност наведених ставова о подударности.

Значајне тачке троугла

Дуж која спаја средишта двеју страница троугла назива се средња линија троугла. Средња линија троугла

паралелна је трећој страници троугла и
њена дужина је једнака половини дужине те странице.

Ова теорема о средњој линији доказана је на страници број 64 у уџбенику издавача Klett.

Тежишна дуж троугла је дуж која спаја теме троугла са средиштем наспрамне странице. Висина троугла је дуж која спаја теме троугла са тачком пресека двеју нормалних правих од којих једна пролази кроз теме, а друга садржи наспрамну страницу троугла. Поменута тачка пресека нормалних правих се назива подножје висине.

Центар описане и центар уписане кружнице троугла

Тачке које се налазе на симетрали дужи једнако су удаљене од крајева те дужи. Према томе, тачка пресека симетрала двеју страница троугла једнако је удаљена од сва три темена троугла. Та тачка пресека је центар описане кружнице троугла и налази се и на симетрали треће странице троугла.

Тачке које се налазе на симетрали угла једнако су удаљене од кракова тог угла. Према томе, тачка пресека симетрала двају углова троугла једнако је удаљена од све три странице троугла. Та тачка пресека је центар уписане кружнице троугла и налази се и на симетрали трећег угла троугла.

Ортоцентар

Средње линије троугла чине нови троугао чија је површина четири пута мања од површине полазног троугла. Висине мањег троугла припадају симетралама страница већег. Према томе, продужеци висина мањег троугла се секу у једној тачки која је центар описане кружнице већег троугла. Тачка пресека висина (или њихових продужетака) зове се ортоцентар троугла.

Тежиште

Тежишна дуж AD припада унутрашњости троугла ABC. Ако посматрамо још једну тежишну дуж BE, онда она пресеца прву у некој унутрашњој тачки F тог троугла. Средња линија DE паралелна је страници AB и једнака је половини њене дужине. У троуглу ABF средња линија GH такође је паралелна страници AB и једнака половини њене дужине. Троуглови DEF и GHF имају једнаке углове јер су краци углова паралелни. Осим тога је DE=GH, па су троуглови DEF и GHF подударни на основу става УСУ. Према томе је DF=GF и EF=HF. Тачке G и F деле тежишну дуж AD на три једнака дела. Тежишна дуж BE дели тежишну дуж AD у односу 2:1. У том истом односу дели и тежишна дуж из темена C тежишну дуж AD тако да све три тежишне дужи пролазе кроз тачку F. Тачку пресека тежишних дужи зовемо тежиште троугла.

Положај значајних тачака

Центар уписане кружнице и тежиште троугла су унутрашње тачке троугла. Центар описане кружнице и ортоцентар су у унутрашњости оштроуглог троугла. Ако је троугао тупоугли онда су те две тачке спољашње тачке. Ортоцентар правоуглог троугла је у темену правог угла троугла, а центар описане кружнице је средиште хипотенузе.

Ако се ради о једнакокраком троуглу, тада је подножје висине из врха троугла уједно средиште основице, па се тежишна дуж и висина које полазе из врха поклапају. Оне такође припадају симетрали основице и симетрали угла у врху троугла, које су онда једна иста права. Та права је симетрала једнакокраког троугла и њој припадају све четири значајне тачке троугла.