EFECTO DOPPLER

Teoria

Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el que se propaga la onda, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor.

Teoría

En primer lugar vamos a observar el fenómeno. Después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas v_s, la velocidad del emisor v_E y la velocidad del observador v_O.

Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, (circunferencias centradas en el emisor), separados por un periodo (tiempo T), de modo semejante a las que se pueden observar en la experiencia con la cubeta de ondas. Vamos a establecer que la velocidad de propagación es la unidad v_s =1 y que el periodo de las ondas es también la unidad, T=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, l =v_sT .

Observador acercándose a una fuente

Imaginemos que un observador O se mueve con una cantidad de velocidad (V₀) que tiene una dirección y sentido hacia una fuente de sonido S que se encuentra en reposo. El medio es aire y también se encuentra en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad V, frecuencia "f" y longitud de onda landa ( $\lambda \,$ ). Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será V, sino la siguiente:

$\ v' = v + v_{o}$

Sin embargo, no debemos olvidar que como la velocidad del medio no cambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto, si:

$\ v = f \cdot \lambda \Rightarrow f = \frac{v}{\lambda}$

Pero como mencionamos en la primera explicación, el observador al acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente, que la denominamos f'.

El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que

$\bigg( 1 + \frac{v_{o} }{v}\bigg) \ge 1$

Observador alejándose de una fuente

Analicemos el caso contrario: cuando el observador se aleja de la fuente, la velocidad será $v' = v - v_{o} \,$ y de manera superior usando el teorema de Pitágoras análoga podemos deducir que

Fuente acercándose al observador

En este caso la frecuencia aparente percibida por el observador será mayor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo que genera que el observador perciba un sonido más agudo.

Por tanto, la longitud de onda percibida para una fuente que se mueve con velocidad V_s será:

$\mathcal \lambda ' = \lambda - \Delta \lambda$

Como

podemos deducir que:

$f' = \frac{v}{\lambda '}= \frac{v}{\lambda - \frac{v_{s} }{f}} = \frac{v}{\frac{v}{f} - \frac{v_{s} }{f}} = f \cdot \bigg(\frac{v}{v - v_{s} }\bigg)$

Fuente alejándose del observador

Haciendo un razonamiento análogo para el caso contrario: fuente alejándose; podemos concluir que la frecuencia percibida por un observador en reposo con una fuente en movimiento será:

$f' = f \cdot \Bigg( \frac{1}{1 \pm \frac{v_{s}}{v}} \Bigg)$

Cuando la fuente se acerque al observador se pondrá un signo (-) en el denominador, y cuando la fuente se aleje se reemplazará por (+).

Al terminar de leer lo anteriormente expuesto surge la siguiente pregunta: ¿Qué pasará si la fuente y el observador se mueven al mismo tiempo?. En este caso particular se aplica la siguiente fórmula, que no es más que una combinación de las dos:

$f' = f \cdot \bigg( \frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}} \bigg)$

Los signos $\pm$ y $\mp$ deben ser aplicados de la siguiente manera: si el numerador es una suma, el denominador debe ser una resta y viceversa.

Si la fuente de sonido se aleja del observador el denominador es una suma, pero si se acerca es una resta.

Si el observador se aleja de la fuente el numerador es una resta, pero si se aproxima es una suma.

Se puede dar el caso de numerador y denominador sean una suma, y también de numerador y denominador sean una resta.

Ejemplo

Un observador se mueve a una velocidad de 42 m/s hacia un trompetista en reposo. El trompetista está tocando (emitiendo) la nota La (440 Hz). ¿Qué frecuencia percibirá el observador, sabiendo que V_sonido= 340 m/s

Solución: Si el observador se acerca hacia la fuente, implica que la velocidad con que percibirá cada frente de onda será mayor, por lo tanto la frecuencia aparente será mayor a la real (en reposo). Para que esto ocurra debemos aplicar el signo (+) en la ecuación.

$f' = f \cdot \bigg( 1 \pm \frac{v_{o} }{v} \bigg)$

$f' = 440 Hz \cdot \bigg( 1 + \frac{42 m/s }{340 m/s} \bigg)$ f' = 494,353Hz

En este caso particular, el trompetista emite la nota La a 440 Hz; sin embargo, el observador percibe una nota que vibra a una frecuencia de 494,353 Hz, que es la frecuencia perteneciente a la nota Si. Musicalmente hablando, el observador percibe el sonido con un tono más agudo del que se emite realmente.

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