Inecuaciones Lineales y Cuadráticas

  • Inecuaciones Lineales


Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro.  Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3  y  -3 < -1 para señalar que -3 es menor que -1.  Estos ejemplos se conocen como desigualdades. 

 

Podemos usar la recta numérica para visualizar estas desigualdades.  

 

 

Observa que:

 

4 > -1,  porque 4 está a la derecha de -1 en la recta numérica.

-2 < 3,  porque -2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica.

-3 < -1, porque -3 está a la izquierda de -1 en la recta numérica.

 0 > -4, porque 4 está a la derecha de 0 en la recta numérica.


Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan   entre  sí  dos  expresiones  lineales.    Por  ejemplo:  

 3 + 5x ≥ 18;     -2(x + 3) < -9. 

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.

 

Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:

 

  1. Para todo número real a, b y c, si a < b entonces:                                                                                                              a + c < b + c  y  a – c < b – c.

 

  1. Para todo número real  a, b y c, donde  c > 0   y   a < b,  entonces:

     

      3.  Para todo número real  a, b y c,  donde c <  0,  si a < b,  entonces:



  • Inecuaciones Cuadráticas


Las  siguientes  expresiones  x2 + 2x < 15   y   x ≥  2x + 3  representan inecuaciones  cuadráticas.    Una  inecuación  cuadrática  es   de   la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La  inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación.  De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones    anteriormente   mencionadas     sería:    x2 + 2x – 15 < 0     y    x– 2x – 3 ≥  0. 

 

Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a ambos lados de la inecuación.

 

A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:

 

  1. Escribe la inecuación en forma estándar.
  2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.
  3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos.  Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica.  Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.
  4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la inecuación.  El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.
  5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.