09 Wyznaczanie środków ciężkości

UWAGA!
Strona została przeniesiona, jej najnowszą wersję można zobaczyć tutaj.

Środek ciężkości
punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości lub punkt równowagi sił występujących w przekroju bryły poddawanej skręcaniu lub zginaniu.
Wyznaczenie środka ciężkości jest niekiedy możliwe z wykorzystaniem metody symetrii, która mówi że jeśli dane ciało ma oś symetrii, płaszczyznę symetrii lub punkt symetrii, to środek ciężkości leży na osi, płaszczyźnie oraz w punkcie symetrii.

Rys. 1. Okrąg jako figura płaska z środkiem punktem symetrii.

Rys. 2. Kula jako bryła przestrzenna z punktem symetrii.

Rys. 3. Figury płaskie z osiami symetrii wyznaczającymi środek ciężkości: a) prostokąt; b) kwadrat, c) trójkąt równoramienny, d) pięciokąt foremny.

Rys. 4. Bryły z płaszczyznami symetrii wyznaczającymi Środek ciężkości: a) prostopadłościan; b) walec.

Jeżeli dane ciało można podzielić na części, dla których w łatwy sposób można znaleźć (np. według zasady symetrii) współrzędne środka ciężkości to środek ciężkości takiego ciała można obliczyć korzystając z następującego wzoru:

    [1]

gdzie:

Vi - długość (dla odcinków); pole powierzchni (dla figur); objętość (dla brył) i-tego elementu składowego ciała, któego środek ciężkości jest liczony.
Pi - położenie środka ciężkości elementu i-tego.

Jeżeli w danym ciele znajduje się pustka, możliwe jest wyznaczenie środka ciężkości tego ciała poprzez przyjęcie ujemnej wartości pola powierzchni lub objętości (w zależności od rodzaju obiektu) tejże pustki we wzorze [1].

Środek ciężkości trójkąta dowolnego

Przy okazji rozwiązywania zadania 2 z działu Układy przestrzenne statycznie wyznaczalne liczony był środek ciężkości płyty trójkątnej z użyciem wzoru na środek ciężkości trójkąta [2].

    [2]

Środek ciężkości trójkąta dowolnego leży w odległości jednej trzeciej wysokości tego trójkąta licząc od boku, na który ta wysokość została spuszczona (rys 5). Powyższe stwierdzenie wynika właściwie z wzoru [2], aby tego dowieść należy przyjąć układ współrzędnych, dla którego oś X pokrywa się z danym bokiem trójkąta (jak na rysunku 5). W takim przypadku wzór [2] redukuje się dla współrzędnych Y-kowych do obliczenia jednej trzeciej wysokości tego trójkąta.

Rys. 5. Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta dowolnego.

Ostatecznie więc uzyskuje się wzór na odległość środka ciężkości trójkąta dowolnego od dowolnego boku:

    [3]

Wzory obliczeniowe

Istnieją wzory ogólne wyznaczające środek ciężkości brył, oraz figur płaskich. Wzory te mają następującą postać:

    [4]

[5]

    [6]

gdzie:

ρ - gęstość, lub funkcja gęstości ciała (zazwyczaj przyjmuje się wartość 1);
x, y, z - środek ciężkości elementarnej objętości V.

Licznik wzorów [4], [5] i [6] to statyczny moment ciała względem płaszczyzny układu współrzędnych XYZ. Mianownik to masa danego ciała (w zasadzie jest to objętość, ale przemnożona przez ρ daje oczywiście masę).

Zadanie 1

Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach h na b.

Rys. 6. Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

    [7]

    [8]

gdzie:

My - statyczny moment figury względem osi y układu współrzędnych

[9]

[10]

    [11]

Dla osi x liczenie tego samego nie ma sensu, ponieważ xc (przez analogię do obliczeń yc) jest równe:

    [12]

Zadanie 2

Wyznaczyć środek ciężkości wycinka okręgu o promieniu R kącie β i kącie położenia α.

Rys. 7. Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

Tym razem całkowanie biegunowe, coby się nie przemęczać za bardzo z obliczeniami:

    [13]

    [14]

    [15]

    [16]

    [17]

Zadanie 3

Korzystając z wyprowadzonych wzorów [16], [17] wyznaczyć środek półokręgu z rysunku 8.

Rys. 8. Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

    [18]

    [19]

Zadanie 4

Wyprowadzić wzór na środek ciężkości okręgu ściętego cięciwą jak na rysunku 9.

Rys. 9. Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

Górna granica całkowania to R, natomiast dolna:

    [20]


a można wyznaczyć z następującej zależności:

    [21]

tak więc dolna granica całkowania wynosi:

   [22]

należy wyznaczyć wartość kąta α w zależności od kąta β:

   [23]

granice całkowania dla kąta Φ:

  [24]


Teraz można już przejść do głównej części zadania:

[25]


[26]


[27]

Ponieważ xc leży na osi y, nie ma sensu w tym przypadku liczyć dla niego środek ciężkości (zasada osi symetrii).

Zadanie 5

Obliczyć środek ciężkości przekroju belki z rysunku 10.

Rys. 10. Przekrój belki.

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem będzie oczywiście całka po funkcji określającej krzywiznę przekroju belki:

[28]


[29]

Zadanie 6

Obliczyć środek ciężkości zbioru linii z rysunku 11.

Rys. 11. Zbiór linii.

Rozwiązanie:

Środek ciężkości zbioru linii można wyznaczyć korzystając z wzoru [1], tak więc:

  [30]


  [31]


[32]
Zadanie 7

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 12 (należy skorzystać z wzoru [19] w celu określenia środka półokręgu).

Rys. 12. Rysunek figury płaskiej.

Dane:


Rozwiązanie:

Figura płaska z rysunku 12 ma oś symetrii, dlatego też przyjąć można położenie układu współrzędnych, tak aby oś y przechodziła przez środek symetrii. W ten sposób zadanie sprowadza się do znalezienia położenia środka ciężkości tylko na osi Y.

    [33]

Zadanie 8

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 13.

Rys. 13. Rysunek figury płaskiej.

Dane:


Rozwiązanie:

    [34]

Zadanie 9

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 14.

Rys. 14. Rysunek figury płaskiej.

Dane:


Rozwiązanie:

    [35]

Zadanie 10

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 15.

Rys. 15. Rysunek figury płaskiej.

Rozwiązanie:

    [36]

    [37]

Zadanie 11

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 16.

Rys. 16. Rysunek figury płaskiej.

Rozwiązanie:

    [38]

Zadanie 12

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 17.

Rys. 17. Rysunek figury płaskiej.

Rozwiązanie:

  [39]

Zadanie 13

Wyznaczyć środek ciężkości stożka.

Rys. 18. Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości stożka.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promienia R, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.

  [40]

Środek ciężkości stożka leży w odległości trzech czwartych jego wysokości licząc od wierzchołka.

Zadanie 14

Wyznaczyć środek ciężkości stożka ściętego.

Rys. 19. Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości stożka ściętego.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promieni RD, RG, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.

    [41]

Obliczenie masy obiektu o kształcie stożka ściętego:


  
[42]

Obliczenie statycznego momentu bezwładności obiektu w kształcie stożka ściętego:

    [43]

Teraz ta łatwiejsza część zadania:

    [44]

Zadanie 15

Wyznaczyć środek ciężkości wycinka kuli.

Rys. 20. Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości wycinka kuli.

Rozwiązanie:

[45]

[46]

    [47]

Wiedząc, że środek ciężkości bryły z osią symetrii leży w środku ciężkości przekroju tej bryły, przechodzącego przez oś jej symetrii wyznaczenie środka ciężkości wycinka kuli można obliczyć również ze wzorów [15], [17].

Zadanie 16

Obliczyć środek ciężkości wspornika z rysunku 21.

Rys. 21. Rysunek wspornika.


Rozwiązanie:

Dziabnąć trzeba wspornik na dwa prostopadłościany o masie dodatniej i cztery walce o masie ujemnej.

[48]

[49]

[50]
Comments