KUMPULAN SKRIPSI‎ > ‎

Efektifitas Penyelesaian KPK dan FPB dengan menggunakan faktorisasi prima dan tabel

BAB I

P E N D A H U L U A N

1.1       Latar Belakang Masalah

     Matematika merupakan mata pelajaran yang sangat berperan penting dalam kehidupan manusia. Pentingnya pelajaran matematika tidak terlepas dari perannya dalam segala jenis dimensi kehidupan. Banyak persoalan kehidupan yang memerlukan kemampuan menghitung dan mengukur. Menghitung mengarah pada aritmatika ( studi tentang bilangan ) dan mengukur mengarah pada geometri (studi tentang bangun, ukuran dan posisi benda). Aritmatika dan geometri merupakan fondasi atau dasar dari matematika.

                Pemecahan masalah (problem solving) merupakan fokus dalam pembelajaran matematika. Masalah atau soal tidak harus tertutup ataupun mempunyai solusi tunggal, tetapi harus bersifat multiple solusition ( masalah dengan banyak solusi ). Sehingga dalam penyelesaian soal-soal matematika tidak mesti terpaku pada satu buah cara penyelesaian. Cara penyelesaian soal yang dipergunakan bisa beraneka ragam tetapi juga harus memperhatikan tingkat efektivitasnya. Demikian juga dalam penyelesaian soal KPK ( Kelipatan Persekutuan Terkecil )  dan FPB ( Faktor Persekutuan Terbesar ) bagi peserta didik tingkat sekolah dasar ( SD ). Dalam penyelesaian soal KPK dan FPB ini, para pendidik biasanya mengajarkan kepada peserta didik cara penyelesaian dengan menggunakan faktorisasi prima dan juga dengan menggunakan tabel. Kedua cara penyelesaian soal ini diajarkan kepada peserta didik dengan maksud untuk lebih meningkatkan pemahaman peserta didik terhadap konsep yang diajarkan, dengan harapan prestasi belajar peserta didik akan menjadi lebih baik.

Kedua cara penyelesaian soal KPK dan FPB baik yang menggunakan cara faktorisasi prima maupun yang menggunakan cara tabel sebenarnya masing-masing memiliki kelebihan dan juga memiliki kekurangan. Dalam penyelesaian soal KPK dan FPB dengan menggunakan faktorisasi prima peserta didik terlebih dahulu harus menentukan faktorisasi prima dari pasangan bilangan tersebut dengan menggunakan pohon faktor. Dengan menggunakan faktorisasi prima yang diperoleh, barulah peserta didik dapat menentukan KPK dan FPB dari pasangan bilangan tersebut. Penyelesaian soal KPK dan FPB dengan menggunakan faktorisasi prima mempunyai langkah penyelesaian yang agak panjang sehingga waktu yang diperlukan lebih lama serta kemungkinan ada kesalahan lebih besar. Kesulitan yang paling banyak ditemui oleh peserta didik dalam penggunaan faktorisasi prima adalah dalam menentukan faktor prima yang dipergunakan dalam perhitungan mencari KPK dan FPB. Dalam penyelesaian soal KPK dan FPB dengan menggunakan cara tabel peserta didik melakukan pembagian berulang terhadap pasangan bilangan dalam sebuah tabel. Kemudian bilangan yang membagi pasangan bilangan tersebut dikalikan untuk menentukan KPK maupun FPB. Cara penyelesaian dengan tabel memerlukan langkah penyelesaian yang tidak begitu panjang, sehingga kemungkinan ada kesalahan dalam perhitungan dapat diperkecil. Kesalahan yang paling sering dilakukan peserta didik di dalam penyelesaian soal KPK dan FPB ini lebih banyak disebabkan karena kurang telitinya peserta didik dalam melakukan pembagian terhadap pasangan bilangan yang akan dicari KPK dan FPB.

                Para pendidik mengajarkan kedua cara penyelesaian soal KPK dan FPB  kepada peserta didik dengan maksud untuk lebih meningkatkan pemahaman peserta didik tentang konsep yang diajarkan. Dengan pemahaman konsep yang baik tentu diharapkan prestasi belajar yang dicapai oleh  peserta didik akan jauh meningkat. Tetapi pada kenyataannya tidak demikian,  harapan para pendidik agar ada peningkatan prestasi belajar matematika untuk konsep KPK dan FPB  tidak tercapai dengan maksimal. Hal ini disebabkan karena muncul permasalahan pada diri peserta didik . Peserta didik kebingungan untuk menentukan cara mana yang dipergunakan dalam penyelesaian soal KPK dan FPB, apakah dengan cara faktorisasi prima atau dengan cara tabel. Agar tidak muncul kebingungan pada diri peserta didik hendaknya para pendidik menentukan   salah satu cara penyelesaian soal KPK dan FPB saja. Cuma sekarang muncul pertanyaan, diantara kedua cara penyelesaian soal KPK dan FPB tersebut mana  sesungguhnya yang lebih efektif apakah dengan cara faktorisasi prima atau dengan cara tabel. Hal inilah yang kemudian melatar belakangi sehingga dipandang perlu dilakukan penelitian untuk mengetahui cara mana yang lebih efektif dalam penyelesaian soal KPK dan FPB antara  penggunaan cara faktorisasi prima dengan penggunaan cara tabel.

1.2              Rumusan Masalah

    Berdasarkan latar belakang masalah di atas dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut  “Apakah ada perbedaan efektifitas  penyelesaian soal KPK dan FPB antara yang menggunakan cara faktorisasi prima dengan yang menggunakan cara tabel pada siswa kelas VI SD Negeri 3 Pancasari Tahun Pelajaran 2007/2008 ? “.

 1.3       Tujuan Penelitian

 Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui perbedaan tingkat efektivitas di dalam penyelesaian  soal KPK dan FPB antara yang menggunakan cara faktorisasi prima dengan yang menggunakan cara tabel pada siswa kelas VI SD Negeri 3 Pancasari Tahun Pelajaran 2007/2008.

1.4       Hipotesis Penelitian

 Berdasarkan permasalahan dan tujuan seperti tersebut di atas, maka dapat dirumuskan hipotesis sebagai berikut : Ada perbedaan tingkat efektivitas dalam penyelesaian soal KPK dan FPB antara yang menggunakan cara faktorisasi prima dengan yang menggunakan cara tabel pada siswa kelas VI SD Negeri 3 Pancasari Tahun Pelajaran 2007/2008.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian yang  dilakukan  dapat  dikemukakan  sebagai berikut :

1.5.1 Manfaat Teoritis
 Manfaat dari penelitian ini diharapkan dapat dijadikan bahan informasi ilmiah bagi penyelenggara pendidikan di tingkat pusat atau di tingkat daerah untuk menentukan metode mengajar yang sesuai diterapkan di Sekolah Dasar untuk peningkatan mutu pendidikan kita.

1.5.2 Manfaat Praktis

Hasil penelitian ini dapat pula dipergunakan  sebagai pedoman bagi penyelenggara pendidikan terutama bagi para pendidik  yakni untuk lebih memantapkan salah satu cara  atau metode dalam penyelesaian  soal dengan KPK dan FPB apakah menggunakan cara faktorisasi prima atau dengan cara tabel.

 I.6 Asumsi dan Keterbatasan

I.6.1 Asumsi

Asumsi adalah sesuatu yang dianggap benar, tetapi tanpa diuji terlebih dahulu. Dalam penelitian ini asumsi yang diajukan adalah :
1.   Bahwa sarana dan prasarana yang menunjang PBM  di SD Negeri 3 Pancasari Kecamatan Sukasada tersedia lengkap dan memadai.
2.  Bahwa siswa kelas VI A maupun kelas VI B di SD Negeri 3 Pancasari Kecamatan Sukasada mempunyai kondisi fisik dan kognitif yang sama.
3. Bahwa metode yang dipergunakan dalam penelitian ini, baik metode pengumpulan data maupun pengolahan data dianggap valid.
4.  Bahwa siswa dianggap bekerja dengan jujur selama proses penelitian.
5 Bahwa variabel lain yang berpengaruh dalam prestasi belajar siswa dianggap sama.

 

I.6.2 Keterbatasan

                Dalam penelitian ini yang menjadi subjek penelitian adalah semua siswa kelas VI pada SD Nomor 3 Pancasari Kecamatan Sukasada untuk Tahun Pelajaran 2007/2008. Penelitian ini berlaku sepanjang asumsi tersebut benar dan dapat dipertahankan.

 

BAB II

LANDASAN TEORI

 

2.1 Belajar dan Prestasi Belajar

 

                “Belajar adalah suatu bentuk perubahan dalam diri seseorang yang dinyatakan dalam cara bertingkah laku yang baru berkat pengalaman ‘ ( Malik, 1983 ; 21 ). Ada juga yang mengatakan “ belajar adalah perubahan tingkah laku sebagai hasil usaha seseorang untuk memperoleh pengetahuan, sikap dan keterampilan melalui latihan atau pengalaman baik di sekolah maupun di luar sekolah secara terstruktur maupun mandiri “ ( Suwendra, 1988 ; 3-4 ). Jadi dapat disimpulkan belajar adalah suatu bentuk perubahan pada diri seseorang yang dinyatakan dalam bentuk perubahan tingkah laku sebagai hasil usaha seseorang di dalam memperoleh pengetahuan, sikap dan keterampilan melalui latihan/pengalaman baik di sekolah maupun di luar sekolah secara terstruktur maupun secara mandiri.

                “ Prestasi sama dengan hasil yang telah dicapai, dilakukan, dikerjakan dan sebagainya “ ( Poerwadarminta, 1976 ; 768 ). Sehubungan dengan istilah prestasi ada pendapat lain yang mengatakan bahwa “prestasi adalah kecakapan aktual (actuil ability) yang diperoleh seseorang setelah ia belajar sesuatu atau pengetahuan tertentu “ ( Nurkancana, 1978 ; 9 ). Jadi prestasi belajar adalah hasil yang telah dicapai yaitu berupa kecakapan nyata yang diperoleh melalui proses belajar.

                Proses belajar sangat mempengaruhi prestasi belajar. Prestasi belajar yang bagus sangat ditentukan oleh proses belajar yang dialami oleh peserta didik. Dalam proses belajar sudah barang tentu ada faktor-faktor yang mempengaruhi prestasi belajar peserta didik. Menurut Udin S Winata Putra,  disebutkan bahwa ada 2 faktor yang mempengaruhi prestasi belajar.

2.1.1 Faktor Internal

Faktor Internal adalah faktor yang timbul dari dalam diri anak didik. Faktor Internal dapat dikelompokkan menjadi 2, yaitu :

2.1.1.1        Faktor Fisiologis, yaitu panca indra yang dimiliki yaitu penglihatan, pendengaran,penciuman, perasaan dan yang lainnya yang merupakan salah satu pintu bagi masuknya ilmu pengetahuan.

2.1.1.2        Faktor Psikologis terdiri dari ; intelegensi, bakat dan motivasi.

Intelegensi merupakan faktor yang sangat penting dan mempengaruhi prestasi belajar siswa, hal tersebut tidak bisa dipungkiri karena tinggi rendahnya intelegensi seseorang akan berpengaruh terhadap baik buruknya prestasi belajar yang dicapai. Bakat adalah kemampuan potensial seseorang dalam bidang tertentu. Motivasi adalah dorongan pada diri seseorang untuk melakukan suatu aktifitas tertentu sehingga mencapai tujuan yang diinginkan.

2.1.2   Faktor Eksternal

  Secara umum yang dimaksud dengan faktor eksternal adalah suatu motivasi    atau dorongan atau stimulus yang datangnya dari luar diri seseorang atau disebut dengan faktor lingkungan. Dalam kaitan itu ada beberapa faktor yang termasuk di dalam faktor eksternal, yaitu :

2.1.2.1        Faktor Sosial Ekonomi

Faktor sosial ekonomi ini berpengaruh terhadap prestasi belajar siswa, namun demikian seberapa jauh pengaruhnya terhadap prestasi belajar siswa sangat relatif. Artinya dalam kenyataan sering kita lihat di sekolah-sekolah banyak juga ditemukan anak atau siswa yang dilihat dari keadaan sosial ekonominya sangat kurang tetapi mampu meraih prestasi belajar yang sangat baik.

2.1.2.2        Faktor Fasilitas dan Sumber Belajar

Tersedianya fasilitas dan sumber belajar yang memadai di dalam interaksi belajar mengajar di sekolah akan sangat memudahkan siswa untuk mencapai tujuan pengajaran yang diharapkan.

2.1.2.3        Faktor Guru

Di dalam proses pembelajaran, faktor guru sangat berpengaruh terhadap pencapaian prestasi belajar peserta didik. Sebab guru merupakan sutradara dan juga aktor di dalam proses belajar mengajar.

2.2         Pembelajaran yang Pakem.

Seperti yang diuraikan di atas, faktor guru sangat mempengaruhi prestasi belajar peserta didik. Dalam proses belajar mengajar di kelas, guru merupakan sutradara sekaligus juga aktor. Setiap guru  seharusnya dapat mengajar di depan kelas, bahkan mengajar dapat juga dilakukan di luar kelas atau di mana saja. Mengajar adalah merupakan salah satu komponen dari kompetensi-kompetensi guru. Setiap guru harus menguasai dan terampil dalam melaksanakan tugas mengajar.

Mengajar bukanlah tugas yang ringan bagi seorang pendidik. Dalam mengajar guru berhadapan dengan sekelompok peserta didik, mereka adalah makhluk hidup yang memerlukan  bimbingan dan pembinaan menuju kedewasaan. Murid setelah mengalami proses pendidikan dan pengajaran diharapkan telah menjadi  dewasa yang sadar tanggung jawab terhadap dirinya, masyarakat dan kepada Tuhan Yang Maha Esa.

Utamanya bagi guru mata pelajaran Matematika, dimana ada anggapan dari peserta didik bahwa Matematika merupakan mata pelajaran yang sangat ditakuti. Anggapan seperti ini sudah barang tentu sangat mempengaruhi prestasi belajar mata pelajaran Matematika. Oleh sebab itu perlu kemampuan guru untuk menghilangkan anggapan peserta didik tersebut. Salah satunya adalah menciptakan proses pembelajaran yang Pakem ( Pembelajaran, Aktif, Kreatif, Efektif dan juga Menyenangkan ). Dalam proses pembelajaran peserta didik diberikan kesempatan untuk bersikap aktif dan kreatif di dalam memperoleh pengetahuan. Dengan bersikap aktif dan kreatif, situasi belajar akan menjadi lebih menyenangkan dan implikasinya proses belajar mengajar  akan menjadi lebih efektif.

“ Efektif dapat diartikan ada efeknya ( efek itu bisa berupa pengaruh, akibat atau kesan ) “ ( Poerwadarminta, 1976 ; 123 ). Jadi belajar efektif adalah suatu proses yang dialami oleh peserta didik untuk memperoleh pengetahuan, dimana proses yang dialami tersebut ada efeknya/ada pengaruhnya pada diri peserta didik. Pengaruh yang dimaksud disini adalah pengaruh yang sifatnya positif. Pengaruh atau efek yang positif tentu akan mampu meningkatkan prestasi atau penguasaan kompetensi peserta didik. Oleh sebab itulah dalam setiap proses belajar mengajar para pendidik selalu dituntut untuk menciptakan proses tersebut lebih efektif. Tingkat efektivitas belajar siswa dapat dilihat dari waktu dan hasil dari proses penyelesaian permasalahan yang dilakukan peserta didik. Jika waktu yang diperlukan singkat tetapi mampu menghasilkan penyelesaian masalah yang baik yang ditandai dengan prestasi belajar yang baik juga maka dikatakan proses pembelajaran itu efektif.

 

 

2.2         Konsep KPK dan FPB

2.3.1 Konsep KPK ( Kelipatan Persekutuan Terkecil )

                KPK atau Kelipatan Persekutuan Terkecil, merupakan salah satu konsep yang harus ditanamkan kepada peserta didik. Sesuai dengan Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika, dengan konsep ini peserta didik diharapkan mampu mencari dan menentukan kelipatan terkecil dari pasangan 2 bilangan atau lebih yang merupakan anggota persekutuannya.

Difinisi tentang KPK :

                Jika a,b  Z, a  0, dan b  0, maka :

1.        k disebut kelipatan persekutuan ( common multiple ) dari a dan b jika a k dan b k.

2.        k disebut kelipatan persekutuan terkecil ( least common multiple ) dari a dan b jika k adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga a k dan b k.

Notasi :  k = dibaca k adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a dan b.

Dalil 1

                Ditentukan a, b, k  Z, , a  0, dan b  0

                k =  jika dan hanya jika a k , b k, k > 0 dan untuk sebarang kelipatan persekutuan m dari a dan b berlaku k m.

Bukti :

a.        Diketahui k = ,  maka sesuai dengan Difinisi di atas  a k , b k dan k> 0.Misalkan m adalah sebarang kelipatan persekutuan dari a dan b, maka k  m.

Jika k  m dan k  0, maka ada bilangan-bilangan q,r,  Z sehingga m = qk + r, atau r = m – qk dengan  0  r  k

a k  dan  b k, maka sesuai dengan dalil 1, a  dan b  untuk sebarang k  Z

m adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, maka sesuai dengan difinisi a  dan b .

a  , b , a  dan b , maka menurut dalil a  dan b ,berarti r = m – qk adalah kelipatan persekutuan dari a dan b. r dan k adalah kelipatan-kelipatan persekutuan a dan b, k adalah kelipatan persekutuan dari a dan b yang terkecil, dan 0  r  k, maka nilai r yang memenuhi adalah r = 0, berarti m – qk = 0 atau m = qk. Jika m = qk maka k  ( terbukti )

b.        Diketahui a k , b k > 0 dan untuk sebarang kelipatan persekutuan m dari a dan b berlaku k

a k  dan  b k, maka k adalah kelipatan persekutuan dari a dan b.

k dan m adalah kelipatan-kelipatan persekutuan dari a dan b, k > 0 dan k , maka k adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari a dan b (a k  dan  b k) dan sesuai dengan difinisi   k =  ( terbukti )

Dalil 2 :

m  =  untuk sebarang m  N

Bukti :

Misal :

                r = [ ma,mb ] dan , s = [ a,b ]

r = [ ma,mb ] maka diperoleh ma|r dan mb|r

s = [ a,b ] maka didapatkan a|s dan b|s

a|s dan b|s maka ma | ms dan mb | ms

ms adalah kelipatan persekutuan dari ma dan mb

[ ma,mb ] | ms, berarti [ ma,mb ] | m [ a,b ]

Dalil 3 :

Jika a, b  N dan ( a, b) = 1, maka (a,b)  = ab

Bukti :

a.     ( a,b )  = 1, maka ax + by = 1, x,y  Z

ax + by = 1, maka [ a,b ] ( ax + by ) = [ a,b ]

[ a,b ] ax + [ a,b ] by = [ a,b ]

a | [ a,b ] dan b | [ a,b ]

ab | [ a,b ] b dan ab | a [ a,b ] === ab | [ a,b ] by  dan

ab | a [ a,b ] x ===== ab | [ a,b ] ax + [ a,b ] by atau ab | [ a,b] ( ax + by )

ab | [ a,b ] ( ax + by ) dan ax + by = 1, maka ab | [ a,b ]

b.  [ a,b ] adalah kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dan ab adalah kelipatan persekutuan dari a dan b maka diperoleh [ a,b ] | ab

Dari hasil butir a diperoleh db | [ a,b ] dan dari hasil butir b diperoleh [ a,b ] | ab, ab > 0 ( sebab a, b  N ) dan ( a,b ) > 0 maka :

                [ a,b ] = ab, berarti a. [ a,b ] = ab

                                atau

                ( a,b ) [ a,b ] = ab

Contoh :

1. A = himpunan semua kelipatan 4 = { …………,-12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, ……..}

    B = himpunan semua kelipatan 6 = { ………..,-18, -12, -6, 0, 6, 12, 18 ……. }

    C = himpunan  semua kelipatan persekutuan A dan B = A  B = { ….…., -24, -12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, ……………. }

                Unsur C yang terkecil dan positif adalah 12, berarti  = 12

2. Carilah

                Karena  bernilai positif, maka dapat dicari dari kelipatan persekutuan yang positif.

                A = himpunan kelipatan 12 yang positif = 12, 24, 36, 48, 60, …….

                B = himpunan kelipatan 16 yang positif = 16, 32, 48, 64, …….

                C = himpunan kelipatan persekutuan 12 dan 16 yang positif = A  B = 48, 96, 144, …….

                Unsur C yang terkecil adalah 48, maka = 48

 

2.3.2 Konsep FPB ( Faktor Persekutuan Terbesar )

                Jika A adalah himpunan semua faktor a = 8, B adalah himpunan semua faktor b = 12, dan C adalah himpunan faktor persekutuan dari a dan b, maka : A = { -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 }, B = { -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 ) dan C = A B = { -4, -2, -1, 1, 2, 4 }.Perhatikan bahwa C memuat semua faktor persekutuan dari a dan b, serta  4 merupakan bilangan bulat positif terbesar dari unsur C. Dengan demikian 4 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 8 dan 12, yaitu 4 merupakan bilangan positif terbesar yang membagi 8 dan membagi 12. Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa 4 merupakan bilangan bulat positif terbesar yang membagi a = 8 dan b = 12, serta a = -8 dan b = -12.Jika faktor persekutuan terbesar dari a dan b dilambangkan dengan ( a,b ), maka ;

                ( 8, 12 ) = ( 8, -12 ) = ( -8, 12 ) = ( -8, -12 ) = 4

Ternyata, faktor persekutuan terbesar dari a dan b, apapun ragam tanda masing-masing, selalu diperoleh bilangan bulat positif yang sama.

Jika a = 0 dan b = 8, maka :

                A = { …., -2, -1, 0, 1, 2, ……. } , B = { -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 }, dan

                C = A  B = { -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 }

Sehingga ( a,b ) = ( 0,8 ) = 8 karena 8 adalah usur C yang terbesar, jika a = 0 dan b = 0, maka :

                A = { …….., -2, -1, 0, 1, 2, ……..}, B = { ……, -2, -1, 0, 1, 2, ……… }

                C = A  B = { ……,-2, -1, 0, 1, 2, ……….. }

Sehingga ( a,b ) = ( 0,0 ) tidak ada karena tidak mempunyai unsur terbesar.

 

Comments