การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

                        การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

                      พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

                      1.     x2 + 6x + 9               =     (x + 3)(x + 3)

                              หรือ   x2 + 6x + 9     =     (x + 3)2 

                      2.    x2 - 8x + 16               =    (x - 4)(x - 4)

                              หรือ   x2 - 8x + 16    =     (x - 4)2
                      3.    4x2 + 4x + 1               =    (2x + 1)(2x + 1)

                             หรือ   4x2 + 4x + 1    =   (2x + 1)2
                       4.    9x2 - 24x + 16          =    (3x - 4)(3x - 4) 
                              หรือ   9x2 - 24x + 16   =    (3x - 4)2

                    จากตารางการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งสี่ข้างต้นจะเห็นว่า    การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 
            ในแต่ละข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน   จึงเขียนการแยกตัวประกอบของแต่ละพหุนามดีกรีสอง

            ข้างต้น   ได้เป็นกำลังสองของพหุนามดีกรีหนึ่ง   เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า   พหุนามดีกรีสอง 

            ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

             พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ดังตัวอย่างข้างต้น   มีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ ดังนี้

             1.  x2 + 6x + 9    =   x2 + 2(3)x + 32

                                        =   (x + 3)2
                    ถ้าให้  x  เป็นพจน์หน้าและ  3  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                   (พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2

             2.  x2 - 8x + 16    =   x2 - 2(4)x + 42

                                          =   (x - 4)2

                  ถ้าให้  x  เป็นพจน์หน้าและ  4  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                  (พจน์หน้า)2 - 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า - พจน์หลัง)2

            3.  4x2 + 4x + 1    =   (2x)2 - 2(2x)(1) + 12

                                          =   (2x + 1)2

                  ถ้าให้  2x  เป็นพจน์หน้าและ  1  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                 (พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2        

            4.   9x2 - 24x + 16    =   (3x)2 - 2(3x)(4) + 42

                                           =   (3x - 4)2
                    ถ้าให้  3x  เป็นพจน์หน้าและ  4  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                   (พจน์หน้า)2 - 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า - พจน์หลัง)2

                   ในกรณีทั่วไป  ถ้าให้  A  แทนพจน์หน้า  และ  B  แทนพจน์หลัง  จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

            ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร  ดังนี้
 
                              A2 + 2AB + B    =     (A + B) 
 
                              A2
2AB + B2      =     (A
B)  
    

            ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ    x2 + 24x + 144

             วิธีทำ          x2 + 24x + 144    =   x2 + 2(12)x + (12)2

                 ดังนั้น     x2 + 24x + 144    =    (x + 12)2

             ตัวอย่างที่ 2  จงแยกตัวประกอบของ    x2 + 30x + 225

             วิธีทำ           x2 + 30x + 225    =      x2 + 2(15)x + (15)2
                ดังนั้น     x2 + 30x + 225      =     (x + 15)2

            
            ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ    x2 - 26x + 169

             วิธีทำ            x2 - 26x + 169    =   x2 - 2(13)x + (13)2

                   ดังนั้น     x2 - 26x + 169    =   (x  - 13)2

           
            ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ    x2 - 32x + 256

            วิธีทำ             x2 - 32x + 256    =  x2 - 2(16)x + (16)2
                    ดังนั้น     x2 - 32x + 256   =  (x - 16)2

        
            ตัวอย่างที่ 5
   จงแยกตัวประกอบของ    25x2 + 20x + 4

            วิธีทำ            25x2 + 20x + 4    =   (5x)2 + 2(5x)(2) + 22

                   ดังนั้น     25x2 + 20x + 4   =   (5x + 2)2

           
              ตัวอย่างที่ 6  จงแยกตัวประกอบของ    4x2 - 12x + 9

              วิธีทำ           4x2 - 12x + 9    =   (2x)2 - 2(2x)(3) + 32

                 ดังนั้น     4x2 - 12x + 9      =  (2x - 3)2

        เราสามารถใช้สูตร

                                       A2 + 2AB + B2     =     (A + B)2 
                                         A2 - 2AB + B2    =     (A - B)2 
  
                      ในกรณีที่  A  และ  B  เป็นพหุนาม  ในการแยกตัวประกอบ  ดังตัวอย่างต่อไปนี้

              ตัวอย่างที่ 7   จงแยกตัวประกอบของ  (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49

              วิธีทำ            (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49  =  (x + 1)2 + 2(x + 1)(7) + 72 

                                                                                =  [(x + 1) + 7]2        [ A  คือ  x + 1  และ  B  คือ 7 ]

                                 ดังนั้น   (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49  = (x + 8)2

              ตัวอย่างที่ 8   จงแยกตัวประกอบของ  4x2 - 4(x2 - 3x) + (x - 3)2

              วิธีทำ     4x2 - 4(x2 - 3x) + (x - 3)2  =  (2x)2 - 4x(x - 3) + (x - 3)2
                                                                        =   (2x)2 - 2(2x)(x - 3) + (x - 3)2

                                                                        =   [2x - (x - 3)]2
                                                                        =   (2x - x + 3)2             [ A คือ 2x  และ  B  คือ  x - 3 ]

                                   ดังนั้น    4x2- 4(x2 - 3x) + (x - 3) =  (x + 3)2

                           จำไว้ใช้

                                       จากสูตร     A2 + 2AB + B2     =     (A + B)2
                                           และ          A2 - 2AB + B2    =     (A - B)
2 

                          เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำในการนำไปใช้  ให้จำย่อ ๆ ดังนี้

                                       (หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2  =  (หน้า + หลัง)2

                               และ   (หน้า)2 - 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2   =  (หน้า - หลัง)2

พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปร และ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 

             จากตัวอย่างต่อไปนี้

             ตัวอย่าง

             1. 9x2 + 12xy + 4y2   =   (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2
                                                 =
   (3x + 2y)
2

             2. 36x2 - 12xy + y2    =   (6x)2 - 2(6x)(y) + (y)
2
                                                  =   (6x - y)2

                      ตัวอย่างข้างต้นแสดงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปรและเป็นกำลังสองสมบูรณ์ 
 ซึ่งทำได้เช่นเดียวกันกับพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรดังนี้

                       (หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2   =   (หน้า + หลัง)2
                         และ  (หน้า)2 - 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2   =  (หน้า - หลัง)2
             

 

 

 

 



Comments