การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                                
 
                            การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว  ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

           
ตัวอย่าง   ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 
                             3x2+ 4x + 5 ,
2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y

                    พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b , c  เป็นค่าคงตัวที่   และ  x  เป็นตัวแปร

           1.2.1  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                     ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0
                     ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax2+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจง  
            แยกตัวประกอบได้

            ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 2x

            วิธีทำ            x2 + 2x       =   (x)(x) + (2)(x

                                                    =   x(x + 2) 

           ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x2 - 20x

           วิธีทำ            4x2 - 20x      =   (4x)(x) - (4x)(5)

                                                      =   4x(x - 5)

           ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4x2 - 6x

           วิธีทำ            -4x2 - 6x      =   -2x(2x + 3)

                    หรือ     -4x2 - 6x     =    2x(-2x - 3)

          ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15x2 + 12x

          วิธีทำ            -15x2 + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

                                                        =   3x(-5x + 4)

                    หรือ     -15x2 + 12x   =   (-3x)(-5x) - (-3x)(4)
                                                        =  
-3x(5x - 4)

 

 

            1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                       ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c    0

                       ในกรณีที่   a = 1   และ  c 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว   จะอยู่ในรูป  x2  +  bx  +  c
                       สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้      โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

         ดังตัวอย่างต่อไปนี้

                  จากการหาผลคูณ   ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ    x2 + 5x + 6 

         โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้
                    x2 + 5x + 6   =  x2 + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]

                                          =  x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

                                          =  (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)] 
                                          =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                          =  (x + 2)(x + 3)

                               นั่นคือ     x2 + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

                   พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

                   1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3) 
                                                  =  (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]  

                                                  =  x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)

                                                  =  x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
                                                  =  x2 + 5x + 6

                         ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ  x2 + 5x + 6  ได้ดังนี้   x2 + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3) 

                         ให้สังเกตว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2+ 5x + 6  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

              ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  5

              (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5) 
                                       =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] 
                                       =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5) 
                                      =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5) 
                                      =   x2 + (-1)x + (-20)  

                                      =   x2  -  x  - 20 
                          ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x2 - x - 20   ได้ดังนี้ 
x2 - x - 20   = (x + 4)(x – 5)

                        จากการหาผลคูณ    (x + 4)(x -5)  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ   x2- x – 20  

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

                   x2- x – 20    =   x2 + (-1)x + (-20)

                                        =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)            [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]
                                        =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

                                        =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

                                        =   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

                                        =   (x + 4)[x + (-5)]

                                        =   (x + 4)(x -5)

                             นั่นคือ         x2 - x - 20   =   (x + 4)(x - 5)


                            ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2- x – 20  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
                            สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  -20  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  -1

                             จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้  ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง  เช่น  x2+ 6x + 8  
            เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  8  และบวกกันได้  6  ก่อน  ดังนี้
            
เนื่องจาก     x2 + 6x + 8  =  x2 + (2 + 4)x + (2)(4)

                                                 =  x2 + (2x + 4x) + (2)(4) 

                                                 =  (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]

                                                 =  (x + 2)x + (x + 2)(4)

                                                 =  (x + 2)(x + 4) 

                                   นั่นคือ     x2 + 6x + 8     =    (x + 2)(x + 4) 
            
ในกรณีทั่วไป  เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x2 + bx + c  เมื่อ  b , c  เป็นจำนวนเต็ม

        และ  c 0  ได้  ถ้าเราสามารถหา  จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  c  และบวกกันได้

        เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

                ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b  

                จะได้ว่า     x2 + bx + c    =    (x + m)(x + n)

             ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 10x + 21

             วิธีทำ              เนื่องจาก    (-3)(-7)   =   21
                                และ            (-3) + (-7)   =   -10

                                ดังนั้น     x2 – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)] 

                        นั่นคือ     x2 – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )          
              

                ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 5x - 6

                วิธีทำ             เนื่องจาก  (-1)(6)   =   - 6 
                                  และ            (-1) + (6)   =    5

                                  ดังนั้น       x2 + 5x - 6   =   [ x + (-1)][ x + 6 ]

                         นั่นคือ        x2 + 5x - 6   =   ( x - 1 )( x + 6 ) 

                 ตัวอย่างที่ 7    
จงแยกตัวประกอบของ  x2 - 2x - 24
                 วิธีทำ              เนื่องจาก  (4)(-6)   =   - 24

                                    และ          (4) + (-6)   =    -2

                                    ดังนั้น     x2 - 2x - 24   =   ( x + 4 ) [ x + (-6)]
                        นั่นคือ   
x2 - 2x - 24    =   ( x + 4 )( x - 6 ) 

           

                  ตัวอย่างที่ 8     จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 2x + 1

                  วิธีทำ              เนื่องจาก  (1)(1)   =   1 
                                     และ       (1) + (1)    =    2

                                    ดังนั้น  x2 + 2x + 1    =   ( x + 1 )( x + 1)
                         นั่นคือ    x2 + 2x + 1    =   ( x + 1 )( x + 1) 
              

                ตัวอย่างที่ 9   จงแยกตัวประกอบของ  x2 - 4x + 4

                 วิธีทำ            เนื่องจาก  (-2)(-2)    =   4
                                      และ       (-2) + (-2)    =   -4

                                      ดังนั้น     x2 - 4x + 4   =   [ x + (-2)][ x + (-2)] 
                        นั่นคือ     x2 - 4x + 4    =   ( x - 2 )( x - 2 ) 

                  ตัวอย่างที่ 10   จงแยกตัวประกอบของ  x2 - 9

                 วิธีทำ              เนื่องจาก  (-3)(3)   =   -9 

                                        และ        (-3) + 3   =    0

                                       ดังนั้น   x2 - 9    =   [ x + (-3)]( x + 3)

                               นั่นคือ   x2 - 9    =   ( x - 3 )( x + 3 )

                       สำหรับพหุนามดีกรีสอง   เช่น    x2 + 3x + 1    เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  1      

           และบวกกันได้  3  ดังนั้น  เราจึงไม่สามารถเขียนพหุนาม  x2 + 3x + 1   ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง

           ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม   นั่นคือ   เราไม่สามารถแยกตัวประกอบของ   x2 + 3x + 1   ได้
                      โดยทั่วไปแล้ว  ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม  x2 + bx + c   เมื่อ  b , c  เป็นจำนวนเต็ม และ  

           c   0   ถ้าเราไม่สามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับ  c   และบวกกันได้เท่ากับ  b  เราก็ไม่สามารถ

           แยกตัวประกอบของ  x2 + bx + c  ออกเป็นตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

                1.2.3  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                       ในรูป   ax2 + bx + c   เมื่อ   a , b , c   เป็นจำนวนเต็ม และ  a    0 , a  1 , c    0

                       เพื่อความสะดวกในการหาข้อสรุปของวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนาม   ax2+ bx + c   เราจะเรียก   ax2  ว่า  พจน์หน้า  เรียก  bx ว่า พจน์กลาง และเรียก  c ว่า พจน์หลัง

                       พิจารณาการคูณพหุนามดีกรีหนึ่งต่อไปนี้โดยใช้สมบัติการแจกแจง

                       (2x – 3)(3x + 1)   =   (2x – 3)(3x) + (2x – 3)(1)
                                                     =   (6x2 – 9x) + (2x – 3)

                                                     =   6x2 + (–9x + 2x) – 3    
                                                    =   6x2 – 7x – 3 
                        ดังนั้น  ในการแยกตัวประกอบของ   6x2 – 7x – 3    จะทำดังนี้

                        1.  หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่คูณกันแล้วได้พจน์หน้าคือ  6x2  ซึ่งอาจเป็น  2x  กับ  3x  หรือ  x  กับ  6x  เขียนสองพหุนามนั้นเป็นพจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บสองวงเล็บ  ดังนี้

                             (2x      )(3x      )  หรือ  (x       )(6x      )

                       2.  หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลังคือ – 3  ซึ่งอาจเป็น  3  กับ – 1  หรือ – 3  กับ  1  แล้วเขียนจำนวนทั้งสองนี้เป็นพจน์หลังของพหุนามในแต่ละวงเล็บที่ได้ในข้อ 1.  ซึ่งทำให้เกิดกรณีที่

              ต้องพิจารณา  8  กรณี  ดังนี้

                           1).  (2x + 3)(3x – 1)

                           2).  (2x – 1)(3x + 3)

                           3).  (2x – 3)(3x + 1)

                           4).  (2x + 1)(3x – 3)

                           5).  (x + 3)(6x – 1)

                           6).  (x – 1)(6x + 3)

                           7).  (x – 3)(6x + 1)

                           8).  (x + 1)(6x – 3)

               
                      3.  นำผลที่ได้ในข้อ 2  มาหาพจน์กลางทีละกรณี  จนกว่าจะได้พจน์กลางเป็น   –7x  ดังนี้  

                                3.1

                                                                

                                  

                                            ได้พจน์กลางเป็น   9x + (–2x)  =  7x

                            3.2

                    

                
                                    
    

                                            ได้พจน์กลางเป็น (– 3x) + 6x = 3x

                             3.3

  

                                     

                                            ได้พจน์กลางเป็น (–9x) + 2x  =  –7x

                         จะเห็นว่า   เมื่อถึงกรณี 3)   จะได้พจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลคูณเท่ากับ  –7x
                          ดังนั้นไม่ต้องพิจารณากรณีอื่น ๆ อีก  นั่นคือ  แยกตัวประกอบของพหุนาม  6x2 – 7x – 3  ได้ดังนี้

                          6x2 – 7x – 3   =   (2x – 3)(3x + 1) 

               ตัวอย่างที่ 11     จงแยกตัวประกอบของ  8x2 – 26x + 15

               วิธีทำ       เนื่องจาก   (2x)(4x)    =    8x2  และ  (– 5)(– 3)  =  15

                               (2x)(–3) + (–5)(4x)    =  –6x + (–20x)    =   –26x

                                       8x2 – 26x + 15   =   (2x – 5)(4x – 3) 

              ตัวอย่างที่ 12     จงแยกตัวประกอบของ  4x2 + 13x + 10

              วิธีทำ        4x2 + 13x + 10   =   (4x + 5)(x + 2) 

 
                                 

              ตัวอย่างที่ 13    จงแยกตัวประกอบของ  12x2 + 5x – 2

              วิธีทำ        12x2 + 5x – 2   =   (4x – 1)(3x + 2)

             

                ตัวอย่างที่ 14    จงแยกตัวประกอบของ  6x2 – 10x – 4

                วิธีทำ
                    วิธีที่ 1             6x2 – 10x – 4   =   2(3x2 – 5x – 2)

                             ดังนั้น    6x2 – 10x – 4    =   2(3x + 1)(x – 2)

                      วิธีที่ 2           6x2 – 10x – 4    =   (3x + 1)(2x – 4)

                            ดังนั้น     6x2 – 10x – 4    =   2(3x + 1)(x – 2)

                      วิธีที่ 3           6x2 – 10x – 4   =   (6x + 2)(x – 2)

                            ดังนั้น      6x2 – 10x – 4   =   2(3x + 1)(x – 2)

             

                ตัวอย่างที่ 15    จงแยกตัวประกอบของ –3x2 + 10x + 8

              วิธีทำ
                    วิธีที่ 1              –3x2 + 10x + 8     =   (3x + 2)(– x + 4)

                                หรือ     –3x2 + 10x + 8     =   (–3x – 2)(x – 4)

                     วิธีที่ 2  เนื่องจาก   –3x2 + 10x + 8   =   (–1)(3x2 – 10x – 8)

                                                                                =  (–1)(3x + 2)(x – 4)

                                     ดังนั้น    –3x2 + 10x + 8   =   (3x + 2)(– x + 4)

                                      หรือ     –3x2 + 10x + 8    =   (–3x + 2)(x – 4) 


   


 

 
Comments