6,238,626,641,379 & 6,238,626,641,380 & 8,822,750,406,821

[Math.]  The 17th square number that is the sum of squares of 2 consecutive numbers: 6,238,626,641,3792+6,238,626,641,3802= 8,822,750,406,8212. Each root number in the series is 6 times the previous root number minus the earlier root number: 1, 52, 292, 1692, 9852

Or in other words: (6,238,626,641,379, 6,238,626,641,380, 8,822,750,406,821) is the 17th Pythagorean triple (lengths of 3 sides of a right triangle), where 2 sides are consecutive integers.

 

6,666,666,666,666.33333333333332…

[Math.]  The square root of the number formed by n digits 4 followed by n digits 0 starts with n digits 6, decimal point, and n digits 3:

401/2 = 6.32…

44001/2 = 66.332…

4440001/2 = 666.3332…

444400001/2 = 6666.33332…

44444000001/2 = 66666.333332…

4444440000001/2 = 666666.3333332…

444444400000001/2 = 6666666.33333332…

44444444000000001/2 = 66666666.333333332…

4444444440000000001/2 = 666666666.3333333332…

44444444440000000001/2 = 6666666666.33333333332…

4444444444400000000001/2 = 66666666666.333333333332…

444444444444000000000001/2 = 666666666666.3333333333332…

44444444444440000000000001/2 = 6666666666666.33333333333332…

4444444444444400000000000001/2 = 66666666666666.333333333333332…

444444444444444000000000000001/2 = 666666666666666.3333333333333332…

44444444444444440000000000000001/2 = 6666666666666666.33333333333333332…

 

6,963,472,309,248

[Math.]  6,963,472,309,248 = 102003+180723 = 24213+190833 = 133223+166303 = 54363+189483, the smallest number of such property. 

...