IV. CON LẮC ĐƠN (Phần 1)

1. Con lắc đơn gồm một vật có kích thước nhỏ (có khối lượng m) treo vào một sợi dây dài l (khối lượng không đáng kể và không giãn).

2. Phân tích lực tác dụng vào vật m của con lắc đơn
Mời bạn xem đoạn video mô phỏng sau đây:

Lực tác dụng lên vật m của con lắc đơn

Trong đoạn clip này:
  •   là trọng lực tác dụng lên vật m.
  •   là lực căng của dây treo.
  •   là thành phần tiếp tuyến với quỹ đạo của trọng lực   .(Chú ý rằng   không phải là hợp lực của   và  )
Ở đây ta chỉ xét lực tác dụng gây ra gia tốc tiếp tuyến (tức là gia tốc của vật m dọc theo quỹ đạo của nó).

Để có khảo sát đầy đủ về gia tốc của vật m của con lắc đơn, mời bạn xem đoạn video mô phỏng sau đây:

Gia tốc của vật m của con lắc đơn

.Trong đoạn clip này 
  •    là gia tốc tiếp tuyến gây ra bởi lực   nói trên.
  •    là gia tốc pháp tuyến (chính là gia tốc hướng tâm do vật m chuyển động tròn)
Vì    và  vuông góc nhau nên độ lớn gia tốc chuyển động của vật m  là 
3. Lực căng dây của con lắc đơn
Xét vật m tại vị trí mà dây treo hợp với phương thẳng đứng góc  . Mời bạn xem hình vẽ sau:
Trên hình vẽ:
  •    là thành phần tiếp tuyến của trọng lực  .
  •    là thành phần pháp tuyến của trọng lực  .
Độ lớn của  là:  .
Hợp lực của  và  đóng vai trò của lực hướng tâm trong chuyển động tròn có bán kính bằng chiều dài dây (r = l) nên:

Vì    (Xem công thức (5) ở đoạn dưới)
Nên:
Biện luận từ công thức này ta thấy:
  • Lực căng dây có độ lớn cực đại khi vật m qua vị trí cân bằng

Nếu góc lệch cực đại nhỏ hơn hoăc bằng 90o thì 

  • Lực căng dây có độ lớn cực tiểu khi vật m ở vị trí biên (vị trí cao nhất):

Nếu góc lệch cực đại nhỏ hơn hoặc bằng 90o thì

  • Lực căng dây có độ lớn bằng trọng lượng của vật (T = mg) tại vị trí có góc lệch  thỏa điều kiện sau:

4. Năng lượng dao động của con lắc đơn
Mời bạn xem đoạn video mô phỏng sau đây:

Năng lượng dao động của con lắc đơn

Trong đoạn clip này:
  • Cột màu đỏ ở bên trái của đồ thị cho biết mức độ trực quan của thế năng của con lắc đơn tại mỗi vị trí của vật m.
  • Cả động năng và thế năng đều có giá trị biến thiên điều hòa quanh giá trị trung bình bằng nửa cơ năng.
  • Năng lượng dao động của con lắc đơn luôn dương ( > 0).
  • Chu kỳ biến thiên của động năng và thế năng bằng nửa chu kỳ biến thiên của li độ (T' = T/2).
  • Cơ năng dao động của con lắc đơn (không có ma sát) là đại lượng không đổi.
a) Các công thức chung (Với mọi giá trị của góc lệch |  | nhỏ hơn hoặc bằng 90o)
Chọn gốc thế năng trọng trường là vị trí cân bằng (vị trí thấp nhất) của vật m. 
Tại vị trí của vật m sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng góc  thì vật m có độ cao là

Động năng của vật m là 
   (1)
Thế năng của vật m là
   (2)
Xét trường hợp không có ma sát và không có lực cản của môi trường.
Cơ năng của con lắc đơn là
W = Wđ + Wt  (không đổi theo thời gian)  (3)
Vì động năng và thế năng đều là các đại lượng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên khi động năng Wđ cực đại thì thế năng Wt triệt tiêu và ngược lại. Do đó:
    (4)
(W không đổi)
Từ đó suy ra: 
      (5)
Từ (1), (2) và (3) ta cũng suy được:
  (6)
b) Con lắc đơn dao động điều hòa (chỉ khi góc lệch cực đại nhỏ hơn hoặc bằng 10o)
Nếu      
thì
 
Do đó ta có các công thức gần đúng để tính năng lượng của con lắc đơn dao động điều hòa như sau:
Động năng:
  (1)
Thế năng:
   (7)
Cơ năng:
                                W = Wđ + Wt  (không đổi theo thời gian)   (3)

                               (8)  (W không đổi)


Từ (1), (3), (7), (8) ta được:
          (9)
  (10)

Trong các công thức (7), (8), (9), (10): Các góc o đều phải được tính bằng đơn vị radian

Ta chứng minh được rằng khi   thì dao động của con lắc đơn được coi là dao động điều  hòa (Xem bài Con lắc đơn Phần 2). Chính vì thế ta cũng có thể sử dụng các công thức li độ, vận tốc, năng lượng của con lắc đơn như đối với con lắc lò xo dao động điều hòa. Cụ thể là:
Động năng: 
  (1)
Thế năng:
  (11)
Cơ năng:
  (12)
Trong đó 
   (xem bài Con lắc đơn Phần 2)
Tương tự như trường hợp con lắc lò xo dao động diều hòa, khi thay phương trình li độ vào (11) ; thay phương trình vận tốc vào công thức (1) rồi dùng công thức hạ bậc đối với mỗi công thức, ta sẽ chứng minh được:
Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số f' gấp đôi tần số f của li độ, cũng có nghĩa là có chu kỳ T' bằng một nửa chu kỳ T của li độ.



Comments