Mikroteori - Övningsuppgifter 2

Risk aversion

Med utgiftsminimering får vi ut den kompenserade efterfrågan
Med nyttomaximering får vi ut den okompenserade efterfrågan

Med den kompenserade efterfrågan kan vi få ut utgiftsfunktionen
Med den okompenserade efterfrågan kan man få ut den indirekta nyttan
U(y) = (y / (2Pa))0.5 * (y / (2Pb))0.5 

U(w) = w0.5 
Diagram med U vertikalt, w horisontellt.
Blir en stigande kurva som avtar. Konkav.
dU/dw stor i början men liten mot slutet.
Avtaganade marginalnytta.
En uteliggare blir gladare av 10 kr än Bill Gates

Risk aversion = Motvilja att ta risker. Väljer hellre säker avkastning än riskfylld, trots att de kanske ger samma genomsnittliga avkastning i längden. En möjlig förklaring är avtagande marginalnyttan, dvs att det är värre att förlora lite än att vinna lite, eftersom summan man förlorar är större i förhållande till ?

Konkav:
En kurva är konkav om dess andra derivata < 0:
U'' = (∂2U) / (∂w2) < 0

Absolut risk aversion = -U'' / U'

Exempel:
Vi har två nyttofunktioner, en för Eva (UE) och en för Jenny (UJ):
UE' = 1/2 * w-1/2 
UE'' = -1/4 * w-3/2 
UJ = w1/3 
UJ' = 1/3 * w-2/3 
UJ'' = -2/9 * w-5/3 

P(Eva) = -(-1/4 * w-3/2 ) / (1/2 * w-1/2 )
P(Eva) = 1/2w
P(Jenny) = - (-2/9 * w-5/3 ) / (1/3 * w-2/3 )
P(Jenny) = 2/3 w
Vi ser att Jenny är mer riskavert än Eva eftersom P(Jenny) > P(Eva)

Exempel 2:
U(w) = w1/3 
Är hon riskavert? Räcker att fråga sig är U konkav? U'' < 0?
U'' = -2/9 * w-5/3 
Vi ser att denna < 0, alltså är U konkav och Ja, hon är riskavert.

Exempel 3:
Mary ska spela på ett lotteri:
70% sannolikhet att hon får 27 000 kr
30% sannolikhet att hon förlorar 9000

Alla lotterier har ett väntevärde, dvs vad skulle jag i snitt få om jag spelar ett visst antal gånger?
Väntevärde E(w) = 0.7 * 27000 + 0.3 * 18000
E(w) = 24300
Hon kommer alltså få 24300 kr i snitt.
Hur mycket skulle hon vara villig att betala för att slippa utsättas för risken att förlora pengar?

Vad har hon för förväntad nytta (EU) om hon inte köper en försäkring?
EU = 0.7 * 270001/3 + 0.3 * 180001/3 
EU = 28.862

Vilken välfärd (w) gör så att U = 28.862?
w1/3 = 28.862
w = 28.8623 
w = 24043 
Om hon med all säkerhet får 24043 så skulle det vara lika bra som 24300 från det osäkra lotteriet.
Hon är alltså beredd att betala:
27000 - 24043 = 2957
2957 kr för att slippa risken.

När vi står inför osäkerhet så väljer vi det som har högst förväntad nytta (expected utility).

Kostnadsfunktion

Se
för min inlämningsuppgift. Se nedan för lösningar från lektionen.

Produktionsfunktionen:
q = K0,5 * L0,6 
w = 2.5
r = 5

a)
För att rita ut isokvanten behöver vi frigöra K från ekvationen. Vi sätter även in q = 5:
5 = K0.5 * L0.6
K0.5 = 5 * L-0.6 
Upphöjt i 2 i båda leden
K = 25 * L-1.2 

Samma sak för q = 6 ger oss:
K = 36 * L-1.2 

Isokostlinjen ser ut på följande sätt:
wL + rK = C
2.5L + 5K = C
Om vi löser ut K från denna:
K = C/5 - 0.5L 
Lutningen är alltså -0.5L, samma som -w/r

Villkoret för utgiftsminimum är:
- MPL / MPK = -w/r
Dvs:
Lutningen på isokvanten = Lutningen på isokosten

Detta kan ge oss den grafiska lösningen och är samma lösning vi når när vi räknar ut den med Lagrange.

b)

Eftersom K = 2.7 så kan man inte längre välja kapital fritt. Företaget inte längre något val. Produktionsfunktionen blir då:
q = 2.70.5 * L0.6 
Vi löser ut L:
L0.6 = q * 2.7-0.5 
Upphöjer båda leden i 1/0.6:
L = q1/0.6 * 2.7-0.5/0.6

För att rita in i grafen så dra en horisontell linje från 2.7, se var den korsar isokvanten. Den här mängden varor måste dom producera. Vi kan då rita ut isokostlinjen vid denna punkten (samma lutning som i a-uppgiften). Det är dock viktigt att komma ihåg att företaget inte kan röra sig längs med isokostlinjen/isokvanten eftersom kvantiteten är låst vid 2.7, därför väldigt abstrakt graf.


c)
Kostnadsminimering:
min. C = 2.5L + 5K
biv. q = K0.5 * L0.6

Vi ställer upp Lagrange-funktionen:
ℒ (λ, K, L) = 2.5L + 5K + λ(q - K0.5 * L0.6)

Deriverar med avseende på L:
∂ℒ / ∂L = 2.5 - λ * 0.6K0.5 * L-0.4 = 0 (1)

Deriverar med avseende på K:
∂ℒ / ∂K = r - λ * 0.5K-0.5 * L0.6 = 0 (2)

Deriverar med avseende på λ:
∂ℒ / ∂λ = q - K0.5 * L0.6 = 0 (3)

Delar (1) och (2) med varandra:
2.5 / 5 = (λ * 0.6 * K0.5 * 2-0.4) / (0.5K-0.5 * 20.6)
Förenklar:
1/2 = 6K/5L
Villkor för kostnadsminimering. Löser ut L:
L = 6/5 * 2K
L = 2.4K

Stoppar in i (3)
q - K0.5 * L0.6 = 0
q - K0.5(2.4K)0.6 = 0
q - K0.52.40.6 * K0.6 = 0
q - 2.40.6 * K1.1 = 0
2.40.6 * K1.1 = q
K1.1 = 2.4-0.6 * q
Upphöjer med 1/1.1 i båda leden:
K = (2.4-0.6 )1/1.1 * q1/1.1
K = 0.6703 * q0.909

Om vi gör samma uträkning för L:
L = 2.4 * 0.6703 * q0.909 (??)

Vi sätter nu in K i isokostfunktionen:
C = 2.5L + 5K
C(q) = 6.83 * q0.91

Om vi utgår ifrån att:
q = 6
C(6) = ca 34.8


Uppgift 6.29

q = L0.27 * K0.16 * M0.61
0.27 + 0.16 + 0.61 = 1.04 > 1
Vi ser att den har stigande skalavkastning

Vi kan även härleda detta genom att prova att öka alla tre variabler, t.ex. genom att fördubbla dem.
q(2L, 2K, 2M) = (2L)0.27 * (2K)0.16 * (2M)0.61
20.27 * 20.16 * 20.61 * L0.27 * K0.16 * M0.61 
= 21.04 * q(L, K, M)
Ökningen blir större än en fördubbling.

Marginalprodukten av M:
MPM = ∂q / ∂M
MPM = 0.61 (L0.27 * K0.16 * M0.61 ) / M
MPM = 0.61 * q/M


Uppgift 7.35

Amerikanskt företag:
q = L0.7 * K0.3
Lön och kapitalkostnader i USA: w = 7
r = 3
Lön och kapitalkostnader i Asien:
w = 3.5
r = 4.5

Vad är kostnaden för att producera q = 100 i båda länderna?

Vi vill kostnadsminimera via Lagrange för båda länderna:

USA:
Vi ställer upp Lagrange-funktionen:
ℒ (λ, K, L) = 7L + 3K + λ(q - 20.7 * K0.3)

Deriverar med avseende på L:
∂ℒ / ∂L = 7 - λ * 0.7L-0.3 * L-0.3 = 0 (1)

Deriverar med avseende på K:
∂ℒ / ∂K = 3 - λ * 0.3L-0.7 * L-0.7 = 0 (2)

Deriverar med avseende på λ:
∂ℒ / ∂λ = q - 20.7 * K0.3 = 0 (3)

Delar på 1/2:
7/3 = (0.7L-0.3 * L-0.3 ) / (3 - λ * 0.3L-0.7 * L-0.7 )
Förenklat:
7/3 = 0.7K/0.3L
Vi ser att K = L, special fall

Stoppar in i lambda: q - 20.7 * K0.3 = 0
q - K0.7 * K0.3 = 0
q = K
L = q
K = q

Kostnadsfunktionen
C = 7q + 3q = 10q
C(100) = 10 * 100 = 1000

Asien:
Vi ställer upp Lagrange-funktionen:
ℒ (λ, K, L) = 3.5L + 4.5K + λ(q - 20.7 * K0.3)

Deriverar med avseende på L:
∂ℒ / ∂L = 3.5 - λ * 0.7L-0.3 * L-0.3 = 0 (1)

Deriverar med avseende på K:
∂ℒ / ∂K = 4.5 - λ * 0.3L-0.7 * L-0.7 = 0 (2)

Deriverar med avseende på λ:
∂ℒ / ∂λ = q - 20.7 * K0.3 = 0 (3)

Delar på 1/2:
3.5/4.5 = (0.7L-0.3 * L-0.3 ) / (3 - λ * 0.3L-0.7 * L-0.7 )
Förenklat:
3.5/4.5 = 0.7K/0.3L

Vi får ut ett annat svar...


Uppgift: Prisdiskriminering:

Ett vinstmaximerande monopolföretag med följande kostnadsfunktion
C(Q) = 100Q
möter en efterfråga för sin vara som ges av följande inverterade efterfrågefunktion:
p = 250 - 10Q0.5

a) Beräkna monopolets utbjudna kvantitet, pris och vinst om monpolet endast kan ta ut ett pris.

Svar
MC = dC(Q) / dQ
MC = 100

R = p * Q
R = (250 - 10Q0.5 ) * Q
R = 250Q - 10Q1.5

MR = dR / dQ
MR = 250 - 15Q0.5

Vinstmax vid:
MR = MC
250 - 15Q0.5 = 100
150 = 15Q0.5
Q0.5 = 10
Upphöjer båda leden i 2 (eller 1/0.5):
Q = 100

Vid Q = 100 vinstmaximerar företaget.

För priset, sätt in i inverterade efterfrågefunktionen
p = 250 - 10Q0.5
p = 250 - 10 * 1000.5
p = 150

Priset är p = 150

Vinsten blir:
π = R - C
π = pQ - 100Q
π = 150 * 100 - 100 * 100
π = 5000

Eftersom fasta kostnader (F) = 0 så vet vi att PÖ och KÖ är sammasak, och π = PÖ.




b) Beräkna monopolets utbjudna kvantitet och vinst om monopolet kan genomföra en perfekt prisdiskriminering.

Svar:
Vid perfekt prisdiskriminering är MR = D, så vi tar vår inverterade efterfrågefunktion:
p = 250 - 10Q0.5
Och sätter marginalintäkten till denna:
MR = 250 - 10Q0.5

Vi använder uppgifterna från innan för att finna vinstmaximerande kvantitet:
MR = MC
250 - 10Q0.5 = 100
150 = 10Q0.5
Q0.5 = 15
Upphöjer båda leden i två (1/0.5):
Q = 225

Vid Q = 225 vinstmaximerar företaget vid perfekt prisdiskriminering.

Vi har många olika priser nu, så vi kan inte räkna fram ett konkret pris. Men för att räkna ut vinsten så ska vi räkna ut PÖ, dvs arean mellan D och MC.
π = PÖ

     225
π = ∫ * MR(Q) * dQ - C(Q)
     0

     225
π = ∫ * (250 - 10Q0.5) * dQ - 100 * 225
     0

                                     225
π = [250 - 10 * Q0.5/1.5] - 22500
                                        0

π = 250 * 225 - 10 * 2251.5/1.5 - 22500

π = 11 250

Perfekt prisdiskriminering ger alltid högre vinst än vid en gemensam prissättning, vilket även är fallet här. Ju fler priser vi har, desto närmare perfekt prisdiskriminering.


c) Beräkna monopolets utbjudna kvantiteter, priser och vinst om monopolet använder mängdrabatt (quantity discrimination) med två priser.

Svar:
Vi har två olika priser, och konsumenterna kommer att konsumera olika mycket för de båda priserna.

Vi ska maximera vinsten av de sammanlagda intäkterna av båda kvantiteterna:
max π = R(Q1) + R(Q2) - C(Q2)
Q2 är total kvantitet

R(Q1) = p * Q1
Vi sätter in efterfrågefunktionen:
R(Q1) = (250 - 10Q10.5 ) * Q1
R(Q1) = 250Q1 - 10Q11.5
Vi vill ha ut de resterande intäkterna, dvs vi drar av Q1 från Q2:
R(Q2) = p(Q2 - Q1)
R(Q2) = (250 - 10Q20.5 )(Q2 - Q1)
R(Q2) = 250Q2 - 10Q21.5 - 250Q1 + 10Q20.5 * Q1
Kostnaderna är för den totala kvantiteten:
C(Q2) = 100Q2

Vinsten:
max π = R(Q1) + R(Q2) - C(Q2)
Q1 Q2

π = 250Q1 - 10Q11.5 + 250Q2 - 10Q21.5 - 250Q1 -+ 10Q20.5 * Q1 - 100Q2
π = 150Q2 - 10Q11.5 - 10Q21.5 10Q20.5 * Q1

Vi partialderiverar denna för båda variablerna och söker derivatan = 0 för båda dessa:
(1) ∂π/∂Q1 = -15Q10.5 + 10Q20.5 = 0
(2) ∂π/∂Q2 = 150 - 15Q20.5 + 5Q2-0.5 * Q1 = 0

Vi löser ut Q2 ur (1):
-15Q10.5 + 10Q20.5 = 0
 10Q20.5 = 15Q10.5
Q20.5 = 1.5Q10.5
(3) Q2 = 2.25Q1

Vi sätter in Q2 i (2)
150 - 15Q20.5 + 5Q2-0.5 * Q1 = 0
150 - 15 * (2.25Q1)0.5 + 5 * (2.25Q1)-0.5 * Q1 = 0
Vi kan fortsätta förenkla genom att t.ex. omvandla 5 * (2.25Q1)-0.5 till 5 * 1/(1.5 * Q10.5) och sedan 5 * (Q1 / (1.5 * Q10.5)) vilket är detsamma som 5/1.5 * Q10.5
150 - 15 * 1.5 * Q10.5 + (5 / 1.5) * Q10.5 = 0
Vi kan flytta över:
22.5Q10.5 - (5 / 1.5) * Q10.5 = 150
(22.5 - 5 / 1.5) Q10.5 = 150
Q10.5 = 150 / (22.5 - 5 / 1.5)
Q1 = (150 / (22.5 - 5 / 1.5))2
Q1 ≈ 61.25

Stoppa in Q1 i Q2, (3):
Q2 = 2.25Q1
Q2 = 2.25 * 61.25
Q2 ≈ 137.81

Vilka två priser handlade det om och vad blir vinsten?
Vi stoppar in Q1 och Q2 i efterfrågefunktionen:
p1 = 250 - 10Q10.5
p1 = 250 - 10 * 61.250.5
p1 = 171.74
p2 = 250 - 10Q20.5
p2 = 250 - 10 * 137.810.5
p2 = 132.61

För att detta ska stämma måste p1 > p2 och Q2 > Q1, vilket stämmer.

Vinst:
π = p1 * Q1 + p2 * (Q2 - Q1) - C(Q2)
π = 171.74 * 61.25 + 132.61 * (137.81 - 61.25) - 100 * 137.81
π = 6890.70

Vi ser att värdet är lägre än perfekt prisdiskriminering, men högre än monopolet vid ett pris. Detta stämmer eftersom ju fler pris vi har, desto närmare perfekt prisdiskriminering kommer vi.


Inlämningsuppgift 3

Se min lösning här:

Inlämningsuppgift 4

Se min lösning här:

Engelkurva:

"An Engel curve shows how the quantity demanded of a good or service changes as the consumer's income level changes" (Efterfrågans inkomstelasticitet?)

För en nyttofunktion: u = q1 * q2 så ställ upp en Lagrange som maximerar nyttan u.b. av den okompenserade efterfrågan



Comments