Numerical Analysis


수치해석 그룹은 과학 및 공학 분야에서 대두되는 문제를 다루기 위한 새로운 수학적 기법과 계산 알고리즘의 개발을 그 연구목표로 한다.

특히, 다중스케일다중물리(multiphysics)현상이 있는 유체/고체와 관련된 수학모델을 설정하고 이에 대한 수치해석적 이론을 정립한다

또한 수치 모델에 대한 해석적 이론을 연구하여 새로운 수치해법을 고안·분석하고수치실험을 통하여 효율적인 계산 알고리즘을 개발한다.

 



  • Multi-scale methods 연구는 주어진 문제의 fine scale (unresolved) 정보를 upscaling하여 coarse scale (resolved)에서 macroscopic 정보를 효율적으로 계산하는 방법이다. Multi-scale method에 대한 기존의 결과는 스케일분리나 주기성의 가정 하에 연구가 진행되었으며최근 비선형성과 이질성을 지닌 일반적인 경우의 연구가 진행되고 있다. T. Hou의 multiscale FEM은 oversampling 방법을 통하여 먼저 기저함수를 구한 후 macroscale의 FEM을 통하여 문제를 푸는 방법이다최근에는 부분 문제에 대한 고유값 문제를 풀어서 한 단계 발전된 결과를 도출하였다한편, T. Hughes의 Variational multiscale method (VMS)는 멀티스케일 기저함수를 fine-scale component와 coarse-scale component로 decompose한다이를 통하여 fine-scale variational problem과 coarse-scale problem을 생성하고 이를 통하여 멀티스케일 문제의 특성을 파악하고 upscaling 하는 접근 방법으로 난류문제의 연구에 적용가능하다다공매체의 수치모사에서 많이 쓰이는 mass conservative class의 scheme을 MsFEM, VMS에 적용하고자 한다또한 local mass conservation property는 nonconforming element의 경우mixed formulation 또는 불연속 방법을 통하여 얻어질 수 있는데이와 연관된 upscaling method 연구가 요구되어진다최근 본 연구진에서 Nonconforming element와 연관된 SDG (Staggered DG) method에 대한 괄목한 연구결과들을 내고 있고 멀티스케일 수치해법에 적용하기 시작하여 그 의미가 크다이러한 관점에서 본 연구에서는 Staggered DG method를 실제로 사용하여 MsFEM, VMS 등을 개발 연구한다.

 

  • FOSLL*를 이용한 비선형 편미분 방정식의 근사해 연구는 편미분 방정식의 근사 해를 찾는 방법 중 하나인 FOSLL* 방법은 least-squares(LS) 방법에 근간을 두고 있다통상적으로 방정식의 해는 계산공간과계수데이터 등의 적절한 smoothness 가정 하에서 Sobolev 공간에 속해 있다따라서 주어진 선형 편미분 방정식에서불연속 계수가 있던지계산공간에 singularity가 있으면 그 해 또한 singularity를 가지게 되고 이로 인해 LS방법뿐만 아니라 통상적인 유한요소법의 모든 방법의 이용이 어렵게 된다이를 극복하기 위해 FOSLL*방법이 개발 되었다. FOSLL* 방법은 그 dual 시스템을 고려하여 얻은 근사 해를 일종의 corrector역할을 하는 인자로써 이용하여 regularity가 낮은 근사 해를 찾아 주게 된다이미 선형 편미분 방정식에서 성공적인 결과를 보여준 FOSLL*방법을 비선형 편미분 방정식에도 적용시키고자 Newton의 방법에 접목시키는 방법을 연구한다. Newton의 방법은 비선형 편미분 방정식을 푸는데 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다. Newton의 방법은 Frechet 미분형태를 이용하여 비선형 방정식을 선형화 하게 되고 이렇게 선형화된 방정식을 FOSLL*를 이용해서 푼다다만Newton의 방법의 계속을 위해서 요구되는 조건을 FOSLL*의 근사 해는 만족하지 못하기 때문에 이를 극복하기 위한 연구가 필요하다또한 그 근사해의 존재성과 수렴성에 대한 이론적 증명을 한다.

 

  • Eddy-viscosity방법과 유한요소법을 병합한 난류모델 근사해 연구는 난류는 무질서하고 확률적인 성질의 변화예를 들어 압력과 속도의 시간과 공간에 대한 다양하고 빠른 변화 등에 의해서 특성지어진다난류 모델은 큰 Reynolds 상수를 가지는 Navier-Stokes 방정식으로 묘사 된다난류모델의 변형 중에서 가장 광범위하게 쓰이고 있는 모델중 하나가 Smagorinsky 모델이다하지만 Smagorinsky모델에서 단순히 eddy-viscosity를 첨가하는 방법은 유체에 있어 큰 스케일의 흐름 (large-scale structure in the fluid)을 과도하게 손상시키는 결과를 초래 하게 되는 것을 수치적 분석을 통해 쉽게 관찰 되어 지기 때문에 이러한 결점을 보완하기 위해서 eddy-viscosity를 오직 subgrid 구조에만 적용하는 방법이 대두하게 된다. Spectral viscosity 방법은 푸리에 변환에 그 바탕을 두고 있는데 푸리에 변환에서는 함수들이 주파수 영역으로 표현이 되어 지기 때문에 낮은 주파수 부분을 거르고 높은 주파수 부분들만 남기는 여과 장치를 이용함으로써 작은 스케일의 유체 체계를 충실하게 풀면서 큰 스케일의 유체 체계를 손상시키지 않는 아이디어에 적합하게 작용되게 된다푸리에 변형에 기반을 둔 spectral viscosity방법을 multi-scale이라는 면에서 푸리에 기저함수들과 비슷한 성질을 가지는 유한요소법을 이용해 Navier-Stokes 방정식의 근사해를 찾으려 한다전형적인 유한요소법은 공간을 요소로 나누는 크기가 정해지면 그에 바탕을 두고 기저함수가 생성된다하지만 1980년대 후반부터 활발히 연구되어지기 시작한 계층(hierarchical) 기저함수들은 그 기저함수들의 메시 크기가 각 레벨에 따라서 다르다근사해를 찾고자 구축하는 이산체계에 사용되는 근사해 유한공간이 각기 다른 mesh 크기를 가지는 기저함수들의 작은 집합체들로 이루어져 있다이은정교수는 이미 spectral viscosity 방법에 계층 유한요소법을 적용 시켰을 때 이의 근사해가 존재하는지 그리고 그 해가 유일한지를 증명하였다또한 이러한 접근방법을 이용해서 찾은 근사해의 난류 모델의 해로의 근접성을 밝혔으며 그 근접성의 속도를 찾았다이를 바탕으로 3차 공간에서의 계산으로의 이론 확장과 그 수치 시뮬레이션의 완성이 목표이다.

 

  • 고해상도 전기 임피던스 단층촬영법 알고리즘의 개발 및 이론적 증명에 관해, 인체조직의 전기적 특성을 나타내는 생체 임피던스를 영상화하는 전기임피던스 단층촬영기법은 의료계의 전기 생리학적 연구와 관련되어 수많은 의용공학자 및 수학자들의 중요한 연구 대상이 되어왔다생체 조직의 도전율과 유전율은 분자 수준의 성분이온의 농도와 이동도체액을 구성하는 용매의 양과 상태 등에 따라 변하며모두 생체 조직의 기능과 대사에 따라 그 값이 큰 폭으로 변하고 있다따라서EIT 의료영상 기법들은 기존의 기술로는 얻을 수 없는 전혀 다른 유용한 정보를 제공하며내부의 구조 뿐 아니라 기능 및 대사의 영상화와 영상 정보를 이용한 생리 현상의 실시간 모니터링을 가능하게 한다인체 내부 단면에서의 해당 물성의 분포를 영상으로 복원하기 위해서 EIT 기법은 인체에 적절한 저주파 전류를 인가한 뒤인가한 물리량이 인체내부의 해당 물성에 의해 변조되는 현상을 인체 표면 또는 외부에서 측정하고이렇게 측정한 데이터로부터 인체 내부의 물성을 영상의 형태로 추출하는 방법을 사용된다여기에는 인가한 물리량과 물성에 관한 물리적 현상에 대한 수학적인 해석 및 모델링에 해당하는 순문제(forward problem)와 외부에서 측정한 데이터로부터 내부에서의 물성의 분포를 영상으로 복원하는 문제인 역문제(inverse problem)에 대한 해를 구하는 기술이 필요하게 된다이 역문제의 수학적 이론에 관해서는 지난 30년간 수많은 수학자들에 의해 micro-local analysis, 편미분방정식복소 해석 이론은 동원하여 그 해법에 관한 많은 결과가 있었다그러나 비선형성(nonlinearity), 낮은 민감도(instability) 등에 기인하는 근본적인 기술적인 난제 및 직문제(forward model)의 영역에 관한 미세한 오차 등 여전히 많은 문제점들이 있고 그를 극복하기 위해 또한 수없이 많은 연구들이 이루어져 왔다이 연구에서도 이러한 문제점을 극복하기 위하여 다주파 전기임피던스 단층촬영기법 (multi-frequency EIT, mfEIT)을 이용한 새로운 알고리즘을 개발하고자 한다외부에서 물리량을 인가한 후 측정한 데이터로부터 내부에서의 물성 변화를 엄밀하게 정량화 하기 위해서는 미분방정식의 수학적 분석이 필요하다. Multi-frequency EIT의 조화해석적 접근은 복소수 해에 대한 직관력을 높이는데 가장 효과적인 도구이다이 방식은 Laplace operator의 fundamental solution의 활용을 극대화하여 anomaly와 외부 측정 데이터 간의 연결고리를 layer potential이라는 형태로 명확하게 표현해 주기에 풍요로운 통찰력을 제공해 준다전형적인 전기 임피던스 단층촬영법은 주로 고정된 주파수에서의 absolute admittivity 복원에 쓰이고 있는데 반해 mfEIT는 다른 주파수에서 얻은 데이터를 이용한다예를 들어 유방암 조직의 발견이나 기타 신체 내에서의anomaly 발견을 위한 전기 임피던스 단층촬영법을 이용한 이미지 복원은 그 참고가 되는 데이터 (다른 시간대에서 얻은 데이터를 이용한 이미지 복원에서 쓰이는)가 주어지지 않기 때문에 시간차 데이터를 이용한 전형적인 전기 임피던스 단층촬영법의 적용은 불가능 하다이를 극복하기 위해 제안된 방법이 바로 다른 주파수대의 데이터를 이용한 전기 임피던스 단층촬영법이다이 연구에서는 몇가지 간단화와 가정을 통하여 수학적으로 경계면에서의 측정 데이터와 몸 안에서의admittivity 변화량의 관계를 이론적으로 증명하고 이를 바탕으로 기존의 mfEIT에서 얻어지던 이미지에 비해 상대적으로 고해상도의 영상을 제공하는 새로운 알고리즘을 개발하고자 한다시도하고자 하는 방법은 기존의 EIT기법의 수학적 분석과는 완전히 다른 접근 방법이다기존의 EIT알고리즘이 제안하는 수학 알고리즘은 역문제의 불안정성을 극복해야하는 어려움이 있는 반면에 이 연구를 통해서 제안하고자 하는 알고리즘은 복소포텐셜의 representation을 분석하여 이로부터 내부 전도율 분포도를 유추함으로써 역문제로부터 오는 어려움을 극복할 수 있다알고리즘의 개발이 완성되면 수치 시뮬레이션을 통하여 이론을 검증 하고자 한다. Multi-frequencyEITstroke진단,비침습유방영상술등의 의료 영상뿐만 아니라 콘크리트 내벽의 crack detection, 지하매립 오염물 감지 등 많은 영역으로응용 가능할 것으로 예상된다.