MATh - CHiLL‎ > ‎

สมการดีกรี 2 และเชิงเส้น

1. ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง และสมการเชิงเส้น

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง และสมการเชิงเส้น มีรูปทั่วไปดังนี้


                                                                   AX2 + BY2 + CXY + DX + EY + F = 0

                                                                   PX + 2Y + R = 0

เมื่อ x และ y เป็นตัวแปร และ A, B, C, D, E, F, P, Q และ R เป็นจำนวนจริง โดยที่ A, B และ C ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน
และ P, Q ก็ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันด้วย โดยที่สมการเชิงเส้นจะมีกราฟเป็นเส้นตรง ส่วนสมการดีกรีสองจะเป็นกราฟรูปวงกลม
พาราโบลา วงรี หรือไฮเพอโบลา

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นมีดังนี้

x + 2y = 0
3x – y = 12
12x = 3y เป็นต้น

ตัวอย่างของสมการกำลังสองมีดังนี้

3x2 + 2y2 = –10
–x2 + xy + y2 = –1 เป็นต้น

ถามว่า เราหาคำตอบของระบบสมการเพื่ออะไรครับ ?
ตอบว่า คำตอบของระบบสมการที่เราหานั้น คือจุดตัดของกราฟเส้นตรงกับกราฟเส้นโค้ง ซึ่งจุดตัดหรือคำตอบนี้ อาจมีเพียงจุดเดียว
มีสองจุด หรือไม่มีเลยก็ได้

ขั้นตอนการหาคำตอบของระบบสมการ มีดังนี้

1) ทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากัน โดยใช้หลักการของ ค.ร.น.
2) นำสมการทั้งสองมาลบหรือบวกกัน เพื่อกำจัดตัวแปรร่วมตัวใดตัวหนึ่งทิ้งไป ทำให้ได้สมการใหม่ที่เหลือตัวแปร
เพียงตัวเดียว
3) แก้สมการใหม่เพื่อหาค่าตัวแปรนั้น ๆ แล้วแทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง (ที่มีรูปแบบง่าย ๆ
เลขไม่เยอะ) เพื่อหาค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4) เมื่อหาค่าตัวแปรทั้งสองได้แล้ว อย่าลืมตรวจคำตอบ





ลองมาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาโจทย์ต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1   จงแก้ระบบสมการ x2 + y2 = 25 ------- 1
                                            x + y = 1 ------- 2
วิธีทำ     จากสมการที่ 2 x + y = 1
            หาค่า x ได้ x = 1 – y ------- 3
            แทนค่า x จาก 3 ใน 1(1 – y)2 + y2 = 25
            1 – 2y + y2 + y2 = 25
            y2–2y+1–25 = 0
            2 y2 – 2y – 24 = 0
            (2y + 6) (y – 4) = 0
            y =−6  
, 4 หรือ –3, 4
                  −
                       2
            แล้วแทนค่า y = –3 กับ 4 ใน 2
            จะได้ x – (–3) = 1 หรือ x + 4 = 1
            x = 4 หรือ x = –3
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ พิกัด (4, –3) และ (–3, 4) ตอบ







ตัวอย่างที่ 2         จงแก้ระบบสมการ     x – 2y = 8 ------- 1
                                                       xy = 24 ------- 2
วิธีทำ     หาค่า x จากสมการที่ 1 x = 2y+8 ------- 3
            แทนค่า x จาก 3 ใน 2 (2y + 8) y = 24
            เพื่อหาค่า y 2y2 + 8 – 24 = 0
            (2y + 12) (y – 2) = 0
            y = 2, –6
แทนค่า y = 2 และ –6 ใน 1 เพื่อหาค่า x
จะได้ x – 2(2) = 8 หรือ x – 26(–6) = 8
            x = 8 + 4 หรือ x = 8 –12
            x = 12 หรือ x = –4
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ พิกัด (12, 2) และ (–4, –6) ตอบ        
    



 


ตัวอย่างที่ 3     ผลต่างของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปเท่ากับ 24 ตารางเซนติเมตร ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่
น้อยกว่าสองเท่าของความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กอยู่ 3 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้านของ
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูป

วิธีทำ จากโจทย์




จัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่ = x2 ตารางเซนติเมตร จัตุรัสรูปเล็กมีพื้นที่ y2 ตารางเซนติเมตร

เราสามารถแปลงโจทย์ให้เป็นสมการได้ดังนี้
ผลต่างของพื้นที่ของ 􀂅 จัตุรัสทั้งสองรูป คือ                     x2 – y2 = 24 -------     1
ผลต่างของความยาวของด้าน ของ 􀂅 จัตุรัสทั้งสองรูป คือ     2y – x = 3 -------       2
หาค่า x จากสมการที่ 2   จะได้                                     x = 2y - 3 -------        3
แทนค่า x จาก 3 ใน 1 เพื่อหาค่า y (2y – 3)2 – y2 = 24
4y2 – 2(2y) (3) + 9 – y2 – 24 = 0
3y2 – 12y – 15 = 0
(3y – 3) (y – 5) = 0
y = 5, -1
แต่ไม่มีระยะทาง หรือความยาวใดที่เป็นจำนวนติดลบ ดังนั้น y = 5
แทนค่า             y = 5 ใน 2 2(5) – x = 3
                      10 – 3 = x
            หรือ     x = 10 – 3 = 7
ทำให้เราทราบว่า ความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ คือ 7 เซนติเมตร
และ ความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก คือ 5 เซนติเมตร                                 ตอบ










Comments