MATh - CHiLL‎ > ‎

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง

2. ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอ

        ระบบสมการนี้ ก็คือสองสมการที่มีดีกรีสอง จำนวนพจน์ (term) จะเหลือเพียง 2 พจน์เท่านั้น อ่านดูแล้วน่าจะแก้ปัญหา
โจทย์ง่าย เพราะรูปมันสั้นกว่าแบบแรก แต่จริงๆแล้วหลักการแก้สมการก็เหมือนกับหลักการแก้สมการโดยทั่วไป คือ

1) ทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากัน โดยใช้หลักการของ ค.ร.น.

2) นำสมการทั้งสองมาลบหรือบวกกัน เพื่อกำจัดตัวแปรร่วมตัวใดตัวหนึ่งทิ้งไป ทำให้ได้สมการใหม่ที่เหลือตัวแปร
เพียงตัวเดียว

3) แก้สมการใหม่เพื่อหาค่าตัวแปรนั้น ๆ แล้วแทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง (ที่มีรูปแบบ
ง่ายๆ เลขไม่เยอะ) เพื่อหาค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
เพียงเท่านี้ก็เรียบร้อยแล้วครับ เมื่อหาค่าตัวแปรทั้งสองได้แล้ว อย่าลืมตรวจคำตอบด้วย








ตัวอย่างที่ 1         จงหาคำตอบของระบบสมการ    x2 + y2 = 5 ------- 1
                                                                2x2–3y2 = 5 ------- 2
วิธีทำ ขั้นที่ 1 ทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรให้เท่ากัน ในที่นี้เลือกทำกับตัวแปร x
            1 x 2 ; 2x2 + 2y2 = 10 ------- 3

        ขั้นที่ 2 กำจัดตัวแปร x ให้เหลือเพียงตัวแปร y
        32; 2x2 + 2y2 – (2y2 – 3y2) = 10 – 5
                    2x2 + 2y2 – 2x2 + 3y2 = 5
                    5y2 = 5
                    y2 = 1
                    y = ± 1
ขั้นที่ 3 แทนค่าตัวแปร y ที่ได้ เพื่อหาค่าตัวแปร x
แทนค่า y = ± 1 ใน 1; x2 + (1)2 = 5 หรือ x2 + (-1)2 = 5
                x2 + 1 = 5 หรือ x2 + 1 = 5
                x2 = 4 หรือ x2 = 4
                x = ± 2 หรือ x = ± 2 เช่นกัน

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการนี้ มีถึง 4 คำตอบ คือ (2, 1) (2, –1) (2–, 1) และ (–2, –1) ตอบ






ตัวอย่างที่ 2     จงหาค่า a ที่เป็นบวก เมื่อ a เป็นค่าคงตัว จากระบบสมการ x2 + y2 = a2
                                                                                            xx – y2 = –2a และ x2 = 4
วิธีทำ           เรากำหนดให้ x2 + y2 = a2 ------- 1
                                   xx – y2 = –2a ------- 2
                             และ x2 = 4 -------          3
                เรากำจัดตัวแปร y ให้เหลือเพียงตัวแปร x
                            1 + 2; x2 + y2 + x2 – y2 = a2 – 2a ------- 4
                                        2x2 = a2 – 2a
                แทนค่า x2 = 4 จาก 3 ใน 4; 2(4) = a2 – 2a
                                                        a2 – 2a – 8 = 0
                                                        (a – 4) (a + 2) = 0
                                                        a = 4, –2

ดังนั้น ค่า a ที่เป็นบวกที่เป็นคำตอบของระบบสมการข้อนี้ คือ a = 4 ตอบ
       



ตัวอย่างที่ 10        เมื่อผลคูณของเลขจำนวนบวกสองจำนวน รวมกับจำนวนที่น้อยกว่าเป็น 91 และผลคูณของเลขสองจำนวนนั้น
                         มากกว่าจำนวนที่น้อยกว่าอยู่ 77 แล้ว เลขสองจำนวนนั้นเป็นเท่าใด

วิธีทำ         จากโจทย์ เราสามารถเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังนี้

                    ให้เลขจำนวนบวกตัวแรกเป็นตัวแปร x xy + y = 91 ------- 1

                    ให้เลขจำนวนบวกตัวแรกเป็นตัวแปร y xy – y = 77 ------- 2
                    และให้ y เป็นจำนวนที่น้อยกว่า x

                    กำจัดตัวแปร xy ให้เหลือเพียงตัวแปร y เพียงตัวเดียว

                    12; xy + y – y (xy – y) = 91 – 77

                                xy + y – xy + y = 14

                                2y = 14

                                y = 7

แทนค่า y = 7 ใน 2 เพื่อหาค่า x

จาก                         2; x(7) – 7 = 77

                                    x(7) = 77 + 7

                                    x =24
                                         –
                                         7

                                    x = 12

ดังนั้น เลขสองจำนวนที่โจทย์ต้องการ คือเลข 12 และ 7 ตอบ




Comments