5º básico


Cuerpos Geométricos

Corresponde a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies.

Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. (Ver Elementos de un poliedro).

Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares.

Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro,Icosaedro.

Para los geómetras  griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del universo.  Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752.  Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares.


Tetraedro
Hexaedro (cubo)
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro

4 caras (triángulos equiláteros)

6 caras (cuadrados)
8 caras (triángulos equiláteros)
12 caras (pentágonos regulares)
20 caras (triángulos equiláteros)
N° de caras
4
6
8
12
20
N° de vértices
4
8
6
20
12
N° de aristas
6
12
12
30
30
N° de lados de cada cara
3
4
3
5
3
N° aristas concurrentes en un vértice
3
3
4
3
5

 

Tetraedro regular: está formado por 4 caras triangulares.

 

Hexaedro regular: (cubo): está formado por 6 cuadrados.
Octaedro regular: está formado por 8 triángulos equiláteros.

 

Dodecaedro regular: lo forman 12 caras pentagonales.

Icosaedro regular: está constituida por 20 triángulos equiláteros.

Poliedros irregulares: Son aquellos que no tienen sus caras como polígonos regulares ni sus ángulos poliedros iguales.

Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases, cuyos planos son paralelos.

 

Pirámide: Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera al que se llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamado vértice. 

 

Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvas; se llaman cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención especial y cuyas superficies y volúmenes estaban ya estudiados en la obra de Euclides.

Cuerpos redondos: Son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas.

Cono:

 

Esfera

 

Cilindro

 

Utilidad: La mayoría de los poliedros son figuras que existen en la realidad. Un ejemplo de ellos son las pirámides y los virus.

Gracias al microscopio electrónico ha sido posible visualizar la estructura de los virus.  El cuerpo geométrico que vemos a la derecha es la imagen, realizada por un ordenador, de un adenovirus a partir de la micrografía obtenida gracias a microscopio electrónico: se trata de un icosaedro, uno de los cinco cuerpos platónicos.


Elementos de un poliedro

Como veíamos, los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están limitados por superficies planas y de contorno poligonal.

En la imagen de la izquierda vemos algunos ejemplos de poliedros ya conocidos.

Ahora debemos averiguar ¿Cuales son los elementos de un poliedro?

Un poliedro cualquiera tiene: caras, aristas, vértices, ángulos.

 

Caras: Son los polígonos planos que limitan el poliedro. Hay caras basales y caras laterales.

Caras basales Caras laterales
rectángulo ABCD rectángulo ABFE
rectángulo EFGH rectángulo DCGH
a rectángulo ADHE
a rectángulo BCGF

Las caras laterales son regiones rectangulares y las caras basales son regiones poligonales cualesquiera, es decir, pueden ser un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono, etc.

 

Aristas: Son las intersecciones  de dos caras. Se puede decir también que son los lados de los polígonos que forman las caras del poliedro.

El poliedro tiene aristas laterales y aristas basales.

Aristas laterales: AE, BF, CG, DH; Aristas basales: AB, BC, CD, DA y EF, FG, GH, HE

 

Vértices: Son las intersecciones de tres o más caras. También se definen como los puntos en que se cortan las aristas.

Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H


Ángulos diedros: Es la abertura comprendida entre dos caras que se cortan.

Ángulos poliedros: Es la abertura que se forma en la intersección dos a dos de varias caras.

A es el vértice del ángulo poliedro.


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marcia sepulveda,
17 de jun. de 2011 11:07
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