Założenia teoretyczne modelu Sharpe'a


Za pioniera metod ilościowych w analizie giełdowej uważany jest Harry Markowitz, którego model opiera się na korelacji składników portfela inwestycyjnego. Model ten teoretycznie jest bardzo atrakcyjny, jednak w czasach, kiedy został stworzony był trudny do zastosowania, gdyż wiąże się z ogromną (jak na tamte czasy) liczbą obliczeń.[1] Model Markowitza należało uprościć, czego dokonał William Sharpe, który wykorzystał zjawisko korelacji w odmienny sposób. Dla opisania jego modelu spotyka się trzy nazwy: model jednowskaźnikowy, model jednoczynnikowy, model jednoindeksowy.

            Formułując hipotezę jednowskaźnikowego modelu rynku, Sharpe przyjął następujące założenia:

1.      Inwestorzy mają awersję do ryzyka i maksymalizują swoją stopę zwrotu w dłuższym horyzoncie czasowym.

2.      Inwestorzy są w swoich decyzjach racjonalni i dokonują wyboru sposobu pomnażania bogactwa, korzystając z informacji o ryzyku (odchylenie standardowe od stopy zwrotu) i spodziewanej stopie zwrotu.

3.      Zwiększenie aktywów inwestora jest oddzielone od podatków i kosztów transakcji, które w analizie są równe zeru.

4.      Wszystkie aktywa mogą być kupowane i sprzedawane bez ograniczeń.

5.      Dla kapitałów na rynku nie ma barier wejścia i wyjścia, a informacja jest jednakowo dostępna dla wszystkich uczestników rynku.

6.      W tym samym czasie wszyscy inwestorzy kierują się tymi samymi zasadami dotyczącymi spodziewanej stopy zwrotu, ryzyka i kowariancji. Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko są jedyną podstawą do podejmowania decyzji inwestycyjnych.

7.      Transakcje pojedynczego inwestora nie mogą mieć wpływu na cenę instrumentu fianansowego.

8.      Na rynku są nieograniczone możliwości udzielania i zaciągania kredytu przy stopie wolnej od ryzyka.[2]

 

Dosyć łatwo można udowodnić, że walory giełdowe przeważnie są wobec siebie dodatnio skorelowane. Na podstawie tego wnioskuje się, że są one poddane działaniu niewidzialnej siły. Tą siłą oczywiście jest rynek. Papiery wartościowe notowane na giełdzie, najprościej mówiąc, naśladują swoje otoczenie. Gdy w gospodarce występuje okres dobrej koniunktury, kurs większości spółek wzrasta. W okresach bessy zdecydowana ilość akcji podąża za rynkiem i przynosi straty. Doskonale widać to na przykładzie zachowań giełd światowych w okresie panującego kryzysu finansowego. Ponieważ do oceny zachowania rynku nie stosuje się jednego i globalnego wskaźnika, który obrazowałby jego stan, w modelu Sharpe’a za wystarczający substytut rynku giełdowego przyjęto indeks giełdowy. Indeks jest więc czynnikiem objaśniającym.[3]

            Wykres 2.1 przedstawia zależność pomiędzy dzienną stopą zwrotu z akcji spółki PKNORLEN a dzienną stopą zwrotu z indeksu WIG20.[4] Dane ukazane  na wykresie pochodzą z lat 2006-2008. Analizując wykres można zuważyć, że większość punktów jest skupiona w I i w III ćwiartce, a tylko niewiele znajduje się w II i w IV ćwiartce. Śwaidczy to o tym, że dla danej spółki w większości przypadków wzrost indeksu  prowadzi do wzrostu kursu akcji, a spadek wartości indeksu do spadku kursu waloru. Rozmieszczenie punktów charakteryzuje się widocznym rozrzutem ale można zauważyć pewne uporządkowanie. To uporządkowanie informuje nas o występującej dodatniej korelacji pomiędzy cenami akcji danej spółki, a wartością indeksu.[5]

Wykres 2.1. Zależność pomiędzy stopami zwrotu z indeksu i akcji.

Źródło: Opracowanie własne        


Zależność między stopą zwrotu akcji a stopą zwrotu indeksu giełdowego można przedstawić następującym równaniem regresji (2.11):

    

gdzie:

Ri - stopa zwrotu z i-tej akcji,

Rm - stopa zwrotu indeksu giełdowego,

αi , βi, - parametry strukturalne równania,

εi - składnik losowy równania.

            Równanie (2.11) generuje linię charakterystyczną papieru wartościowego, która w naszym przypadku pokrywa się dokładnie z prostą ukazaną na wykresie. W równaniu tym stopa zwrotu akcji objaśniania jest przez stopę zwrotu rynku czyli tak, jak założył Sharpe w swoim modelu. Ponieważ wyjaśnienie to jest tylko przybliżone (na zmianę stopy zwrotu wpływ ma jeszcze wiele innych czynników), konieczne jest zastosowanie w równaniu składnika losowego. Opisuje on wszystkie odchylenia od linii prostej. Jednak najważniejszym elementem równania dla inwestorów jest parametr β, który często bywa nazywany współczynnikiem agresywności akcji lub współczynnikiem beta.

            Przy założeniu, że parametry równania (2.11) są stabilne w czasie, wówczas to samo równanie obowiązuje dla każdego okresu. W takim przypadku istnieje prosta metoda oszacowania wartości β przy użyciu danych historycznych, polegająca na zastosowaniu wzoru (2.12):

                                

            Współczynnik ten ukazuje w jakim stopniu stopa zwrotu z akcji dla danej spółki reaguje na zmiany stopy zwrotu wskaźnika rynku, czyli na zmiany zachodzące na rynku.[6] W zależności od wartości bezwzględnej beta, można rozróżnić następujące rodzaje wzajemnych relacji:

  •          β ≤ -1 - stopa zwrotu z waloru reaguje przeciwnie niż indeks i ponad proporcjonalnie; np. gdy indeks wzrasta – kurs waloru spada z większą siła; gdy indeks spada – kurs waloru wzrasta ze zwiększoną siłą,
  •          β = -1 - stopa zwrotu z waloru reaguje przeciwnie niż indeks, a skala reakcji jest taka sama jak indeksu,
  •          -1 < β < 0 - stopa zwrotu z waloru reaguje przeciwnie niż indeks, ale skala reakcji jest mniejsza,
  •          β = 0 - stopa zwrotu waloru jest całkowicie niezależna od rynku, tzn. zmiana wartości indeksu w żaden sposób nie wpływa na zmianę kursu waloru,
  •          0 < β < 1 - stopa zwrotu z waloru zaczyna naśladować zmiany indeksu, ale czyni to w mniejszej skali,
  •          β  = 1 - stopa zwrotu idealnie kopiuje zachowanie stopy zwrotu indeksu,
  •          β > 1 - stopa zwrotu z waloru reaguje w tym samym kierunku co indeks w sposób ponad proporcjonalny.[7]

            Drugim parametrem potrzebnym do oszacowania stopy zwrotu z waloru jest α. Jest to tzw. baza stopy zwrotu i odpowiada za przesunięcie prostej w górę lub w dół. Określa stopę zwrotu, która nie zależy od ruchów cen na rynku kapitałowym, czyli jest niezależna od portfela rynkowego Ocenę parametru α  wyznacza się na podstawie wzoru (2.13):


            Składnik losowy uwzględnia wpływ innych czynników niż rynek, które oddziałują na wysokość stopy zwrotu z aktywów. W modelu Sharpe’a składnik losowy pomija się, ponieważ uznaje się, że czynniki pozarynkowe mają nieistotny wpływ na kształtowanie się stopy zwrotu.

            Dla zależności ukazanej na wykresie 2.1 oszacowane równanie (2.11) ma następującą postać:

            Wartości współczynników zostały wyznaczone przy pomocy klasycznej metody najmniejszych kwadratów. KMNK to najpopularniejsza z metod statystycznych estymacji parametrów modeli regresji. Polega ona na takim oszacowaniu parametrów, dla których suma kwadratów odchyleń wartości zaobserwowanych od wartości wyznaczonych przez równanie jest najmniejsza.[8]

            Otrzymany współczynnik beta równy 0,9647 oznacza, że wartość stopy zwrotu akcji wzrasta w przybliżeniu tak samo jak  stopa zwrotu na rynku.[9]

 



[1] W czasach powszechnej komputeryzacji nie jest to już tak istotna wada.

[2] W. Tarczyński, 2002, op. cit., s. 83.

[3] A. Dembny, op. cit., s. 95.

[4] Oprogramowanie: Microsoft Office Excel 2003.

[5] Por. A. Dembny, op. cit., s. 97.

[6]W. Tarczyński, 1997, Vol. 2, op. cit., s. 105-106.

[7] A. Dembny, op. cit., s. 103.

[8] M. Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 2008, s. 257.

[9] W. Tarczyński, 1997, Vol.2, op. cit., s. 107.


Comments