Singularités et diviseurs dicritiques

* Contexte

La notion de singularité dicritique est apparue au tournant du 20ème siècle, dans l’étude des singularités isolées d’équations différentielles de dimension 2 complexe [Dul06]. Étant donné un germe ω de 1-forme différentielle holomorphe singulière en 0∈C², la singularité est dite dicritique s’il existe une infinité de (germes de) courbes invariantes irréductibles deux à deux distinctes passant par elle. La résolution des singularités [Sei68] conduit dans ce cas à la notion suivante (voir [MM80]) : un diviseur dicritique - s’il existe - est une composante irréductible du diviseur exceptionnel qui est transverse au feuilletage défini par ω. Un exemple important est celui où ω a une intégrale première qui est une fonction méromorphe f/g, au voisinage d’un g de ses pôles. Le feuilletage est alors donné par le pinceau de courbes {λf + µg = 0, λ,µ ∈ C}.

Ce cas est connecté au problème jacobien en dimension 2 : toute application polynomiale de C² se prolonge en une fonction rationnelle de P₂(C) au-dessus de certains points à l’infini (cf [uTW94]).

Dans [AL11], en lien avec le problème jacobien, S.S. Abhyankar et I. Luengo introduisent une version algébrique des diviseurs dicritiques dans les conditions les plus générales possibles.

Notre contribution consiste à simplifier et généraliser les résultats de [AL11].

** Résultat : le résidu le long d’un diviseur dicritique peut être polynomial

Soient R un anneau local noethérien régulier de dimension 2, QF(R) son corps de fraction, m son idéal maximal et K := R/m son corps résiduel. On désigne par R_v un anneau de valuation discrète dominant R tel que QF(R_v) = QF(R). Autrement dit, Rv est diviseur premier de R au sens de [Abh56]. On note v : QF(R) → Z∪{∞} la valuation correspondante et m_v son idéal maximal. L’application résiduelle est notée Res_v : R_v → K_v , où K_v := R_v /m_v et K est identifié à R/(R ∩ m_v ).

Définition (diviseur dicritique). Soit z∈QF(R) non nul. On appelle diviseur dicritique de z tout diviseur premier Rv de R tel que z ∈ R_v et Res_v (f ) est transcendant sur K.

D’après [Abh56] par exemple, on sait que par une suite finie d’éclatements R = R₀ ⊊ · · · ⊊ R_n ⊊ R_n+1 = Rv le long de v, on peut monomialiser l’idéal m. Plus précisément, soit (x_n ,y_n ) un système régulier de paramètres de m_n. Alors la valuation v est la valuation m_n -adique, bien sûr monomiale en (x_n ,y_n), et R_ν = R_n [x_n]_(xn).

Remarque. Si on note K_v = K'(t) où K' = R_n /m_n est la clôture algébrique relative de K dans K_v et t∈K_v est transcendant sur K, alors [K' : K] < ∞.

Nous montrons que :

Théorème. Soit z∈QF(R) non nul. Soit R_v un diviseur dicritique de z. Supposons qu’il existe (x,y) système régulier de paramètres de m et a₀,b₀∈N tels que f = zx^a0y^b0 ∈R.

1. Si v n’est pas monomiale en (x,y), alors l’élément t de (5.2) peut être choisi de sorte que Res_v (z) ∈ K [t].

2. Si v est monomiale en (x,y), on note v(x) = α, v(y) = β (α,β ∈ N∗ ), γ := a0 α + b0 β = v(f ) et :

f = ∑_aα+bβ≥γ λa,b xa y b , avec λa,b ∈ R

et B_f := {b ∈ N | λa,b ∈ R \ m, aα + bβ = γ} = ∅.

(a) Si Card(Bf ) ≥ 2, alors l’élément t de (5.2) peut être choisi de sorte que Resv (z) ∈K [t] si et seulement si b0 ≤ min(Bf ) ou b0 ≥ max(Bf ).

(b) Si Bf = {b1 }, alors on a b0 = b1 et l’élément t de (5.2) peut être choisi de sorte que Resv (z) ∈ K [t].

Dans notre preuve, nous procédons par induction sur la longueur ν de la suite d’éclatements le long de v.