Dérivations dans les corps de séries généralisées

* Contexte

Les travaux suivants avec S. Kuhlmann concernent les corps de séries généralisées avec groupe de valeur Γ de rang infini quelconque. Le théorème de plongement de Kaplansky [Kap42a, Kap42b, MR93] nous dit que ces corps constituent un domaine universel pour les corps réels clos ayant une infinité de classes de comparabilités. Une approche consiste alors à enrichir la structure de ces corps de séries généralisées. D’une part, on cherche à munir ces corps d’opérateurs de dérivations naturels. Ce travail s’inscrit dans le domaine que M.

Aschenbrenner et L. van den Dries appellent "algèbre différentielle asymptotique" [AvdD05a], avec notamment leurs travaux [AvdD02, AvdD05b] sur les H-corps, axiomatisation des corps de Hardy [Ros83a]. Une des motivation est d’essayer de montrer que les séries généralisées munies de dérivations forment un domaine universel pour les corps valués différentiels (théorie de Kaplansky différentielle).

D’autre part, notamment à la suite de [Wil96], on cherche à munir les corps de séries généralisées d’une fonction exponentielle (i.e. un isomorphisme de groupes ordonnés : (K, + , ≤) → (K^>0 ,., ≤)). Mais ce n’est pas possible directement [KKS97] : il faut passer par une procédure de clôture exponentielle de ces corps [vdDMM97, séries log-exp][vdH06, transséries][Kuh00, séries exp-log]. Les corps de séries log-exp et de transséries possèdent en sus de leur une structure exponentielle, une structure différentielle, ce qui manquait jusqu’à maintenant à la version plus générale que sont les séries EL.

** Dérivations de type Hardy dans les corps de séries généralisées

Dans [KM09], nous considérons un corps de séries ∏ généralisées (Définition 5.5) K := R((tΓ )) où Γ est vu comme sous-groupe d’un groupe de Hahn I R via un plongement de Hahn [Hah07] (I est la chaîne des classes archimédiennes de Γ). Nous cherchons à munir K d’une "bonne" dérivation (du point de vue des séries généralisées). Plus précisément nous demandons à la dérivation de commuter avec les sommes infinies (forte linéarité), de vérifier une généralisation de la règle de Leibniz et d’être triviale sur le corps de coefficients R de K. Dans [Mat10], nous avions déjà traité le cas "facile" de rang fini. Nous supposons donc directement dans [KM09] que I est infini. Notre premier résultat consiste alors à donner une condition nécessaire et suffisante sur certains monômes fondamentaux (une famille de représentants des classes archimédiennes de Γ) de sorte qu’une telle "bonne" dérivation soit bien définie. La difficulté principale à ce niveau consiste à garder le contrôle des supports des dérivées lorsqu’on étend la dérivation d’abord à Γ, puis à K, de sorte que les familles infinies de séries mises en jeu soient sommables.

Nous spécialisons ensuite ce résultat au cas que nous appelons d’une dérivation de type Hardy (voir Section 5.2.3 ci-dessus). Ainsi, nous généralisons [AvdD05b, Section 11] en montrant que tout corps de séries généralisées peut être muni d’une structure de H-corps [KM10, Remark 4.5].

Enfin, nous étudions les propriétés d’intégration asymptotique et d’intégration pour K muni d’une dérivation de type Hardy.

*** Dérivations de type Hardy dans les corps Exponentiel-Logarithmiques

Dans [KM10], nous munissons les corps de séries exp-log de dérivations de type Hardy. Plus précisément, nous y reprenons l’approche précédente (bonne dérivation, dérivation de type Hardy) dans le cadre des corps munis d’un logarithme non surjectif. Nous nous intéressons aux dérivations vérifiant la formule usuelle log(a) = a /a, avec en particulier celles de type Hardy.

Nous démontrons alors 2 résultats principaux :

- ces dérivations s’étendent au corps de séries exp-log correspondant, via le procédé de clôture exponentielle ;

– étant donné un corps de séries généralisées muni d’une dérivation de Hardy comme dans la section précédente, nous décrivons une condition nécessaire et suffisante d’existence et unicité d’un logarithme associé (i.e. tel que l(a) soit une primitive de a/a).

Nous concluons notre article [KM10] en étudiant les propriétés d’intégration asymptotique et d’intégration pour les corps de séries exp-log munis d’une dérivation de type Hardy.