1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento.

Tipos de Errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por: 

E   =   P*   -   P

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

  • Error absoluto. 
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:

EA      =   |  P*  -   P  |
  • Error relativo.
 Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Y el error relativo como
         ER   =   | P* - P| / P ,  si  P =/ 0

El error relativo también  se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

ERP   =   ER   x  100
Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniendose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución: a) El error de medicion del puente es:

EA = 10 000 - 9 999 = 1cm

y para el remache es de

EA = 10 - 9 = 1cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

y para el remache es de 

ERP = 1/10 x 100% = 10%


por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo procentual del remache es mucho m´s grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Errores de Redondeo

Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólose guardan siete cifras significativas, la computadora puede alamcenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:

    1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
    1. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

    Reglas de Redondeo                     


    Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano.

      1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.
      2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas.
      3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.
      4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.
      (Multiplicación o División)  +/-  (multiplicación o división)

      o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.

      Ejemplos:

      Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo.

      5.6723 --------------------------  5.67´   3 Cifras Significativas
      10.406 ---------------------------- 7.4     4 Cifras Significativas
      10.406 ---------------------------- 7.4     2 Cifras Significativas
      88.21650 ------------------- 88.216     5 Cifras Significativas
      1.25001 -------------------------- 1.3     2 Cifras Significativas

      Errores de Truncamiento

      Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimineto de las características  de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor

      Por ejemplo:

      La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

      Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por: 



      La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimoorden.

      Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

      El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

      ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

      La ecuación para el término residual se puede expresar como:


      Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.


      Otros Tipos de Errores

      Otros tipos de errores son el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades de los compuestos o resultados de un experimentos. Cuando se desarrollan modelos matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin embargo el error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.






      Bibliografia:
      1.Analisis Numerico
        Richard L. Burden
        J. Douglas Faires

      2.Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Dominguez Sanchez
         Metodos Numericos
         3ra ed; CESA.




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