(هسته هندسه-کاشیکاری (خانه ریاضیات اصفهان

مقداد قاری: تبریک به مناسبت کسب مقام نخست مسابقه ریاضیات و هنر فرانسه در بخش بین الملل توسط فاطمه توانگریان، عارفه طاهری و دل آرام طغرایی از دانش آموزان هسته هندسه خانه ریاضیات اصفهان با روزنامه

Isfahan; Paradise of Tiling

Concours 2012 : Maths et Architecture :اطلاعات بیشتر

مقداد قاری: بنابر نظر افلاطون فرمولهای ریاضی می­توانند علت آلی پدیده­های عالم باشند. در اینجا نمونه­ای از علت آلی ارایه می­دهیم. به نظر می­رسد که فرمول معروف و پرکاربرد اویلر V-E+R=2 در شاخه­های مختلف ریاضی تجلی می­کند. در زیر مثالهایی می­آوریم.

نظریه گراف: فرض کنید که G یک گراف همبند و مسطح با V راس و E یال باشد. اگر R تعداد ناحیه­های تعریف شده بوسیله G (شامل ناحیه نامتناهی بیرونی) باشد آنگاه V-E+R=2.

با استفاده از قضیه بالا فرمول اویلر را برای نشان دادن اینکه گرافی غیر مسطح است می­توان به کار برد.

منبع: جی. آ. باندی، یو. اس. آر. مورتی، "نظریه گراف و کاربردهای آن"، ترجمه حمید صرابی زاده، موسسه فرهنگی هنری دیباگران تهران، تهران 1378، صفحه 191.

هندسه فضایی: در هر چند وجهی با V راس، E یال و R وجه داریم V-E+R=2.

منبع: استفن بار، "سرگرمیهای توپولوژی"، ترجمه پرویز شهریاری، نشر نی، تهران 1365، صفحه 14.

توپولوژی: اگر سطح یک کره را به R ناحیه تقسیم کنیم و E تعداد یالها و V تعداد راسها (که دست کم سه ناحیه با هم اشتراک دارند) باشد آنگاه V-E+R=2.

با استفاده از قضیه بالا می­توان ثابت کرد که سطح یک کره را نمی­توان با شش ضلعیهای منتظم پوشاند. چرا؟

منبع:

Hermann Weyl, "Symmetry", Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952, page 89

همچنین با استفاده از فرمول اویلر می­توان نشان داد که برای n بزرگتر از 6 هیچ کاشیکاری از صفحه با n ضلعیها وجود ندارد. چرا؟

سمیه اسلامدوست: اگر اضلاع یک چند ضلعی منتظم را امتداد دهیم تا یکدیگر را قطع کنند یک چند ضلعی ستاره ای منتظم ایجاد می شود.

کاشیکاری تک شکلی با استفاده ازچند ضلعی ستاره ای منتظم وجود ندارد.چرا؟

منبع:

Grunbaum, B. Shephard, G. C., "Tilings and Patterns", W. H. Freeman and company, 1987

عارفه طاهری: در سایت زیر به 95 روش قضیه فیثاغورس اثبات شده است:

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

دل آرام طغرایی: با پنج ضلعی منتظم نمی­توان صفحه را پوشاند، ولی با 12 تا پنج ضلعی منتظم می­توان سطح یک کره را پوشاند!!!

چرا؟

مقداد قاری: اقلیدس در کتاب "اصول" صورت کلی قضیه فیثاغورس را به صورت زیر بیان و ثابت کرده است:

صورت کلی قضیه فیثاغورس: اگر یک منحنی دلخواه روی وتر مثلثی قایم الزاویه رسم کرده و منحنیهایی متشابه با آن روی ضلعهای آن ترسیم کنیم، آنگاه رابطه زیر بین مساحتهای ناحیه­های بوجود آمده برقرار است: S = S1 + S2.

آیا می توانید صورت کلی قضیه فیثاغورس را ثابت کنید.

منبع:

William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvea, “Math through the Ages, A Gentle History for Teachers and Others”, Oxton House Publishers and The Mathematical Association of America, 2004, page 143.