mPractice‎ > ‎Logika‎ > ‎

Tabel Kebenaran


Anggap kamu memiliki seorang teman bernama Burhan. Dia seorang dokter, dan kamu juga tahu dia kader PDIP. Jika seseorang mengatakan padamu, "Burhan seorang dokter dan kader partai golkar." Kamu akan mengatakan bahwa pernyataan orang tersebut salah. Di sisi lain, bila dikatakan padamu, "Burhan seorang dokter atau kader partai golkar." Maka kamu akan membenarkan pernyataan tersebut. Kalimat-kalimat tersebut merupakan kalimat majemuk - gabungan dari kalimat-kalimat sederhana dengan kata hubung logika. Sebenarnya, kapankah suatu pernyataan dapat bernilai benar? kapan pula kita katakan salah? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus mengetahui nilai kebenaran kalimat-kalimat sederhana yang menyusunnya. Setelah itu baru nilai kebenaran kalimat majemuk dapat di ketahui dari nilai kebenaran kalimat sederhana yang menyusunnya dan bagaimana mereka digabungkan. 

Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan adalah klasifikasi pernyataan apakah benar atau salah, yang bisa dinotasikan dengan B atau S. Dalam pembahasan elektronik, terutama gerbang digital, notasi yang digunakan adalah 1 untuk B dan 0 untuk S. Contoh pernyataan yang bernilai benar adalah 'Semarang merupakan ibukota propinsi Jawa Tengah.' Maka pernyataan tersebut bernilai T. Tentu kalimat yang mengatakan bahwa Kediri merupakan ibukota propinsi Jawa Tengah adalah kalimat yang salah, bernilai F. 

Cara sederhana yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran suatu kalimat majemuk adalah dengan membuat tabel kebenarannya. Tabel kebenaran membuat semua kemungkinan nilai kebenaran dari kombinasi nilai kebenaran pernyataan sederhana yang diberikan. Tabel kebenaran juga memberikan perbedaan argumen yang valid dan tidak valid.

Negasi ~p

Pernyataan negasi merupakan pernyataan yang menyangkal pernyataan awal, atau lawan dari pernyataan awal. Untuk membuat tabel kebenaran dari pernyataan negasi, terlebih dahulu kita buat tabel kebenaran untuk nilai kebenaran pernyataan asalnya. Pernyataan asal (p) dapat bernilai salah atau benar. Maka tabel nilai kebenaran dari pernyataan p adalah:

p
B
S

Bila p bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah, karena ~p menyangkal kebenaran di p. Jika p salah, ~p bernilai benar. Tabel kebenaran untuk negasi mendeskripsikan nilai kebenaran yang diberikan oleh ~p. Baris pertama pada tabel kebenaran dibaca "~p salah bila p benar", sedang baris kedua dibaca "~p benar saat p salah."

p~p
B

Konjungsi p^q

Konjungsi menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung logika 'dan.' Kalimat majemuk "Burhan seorang dokter dan kader partai golkar" adalah sebuah konjungsi dengan representasi simbol sebagia berikut.

p : Burhan seorang dokter
q : Burhan kader partai demokrat
p^q : Burhan seorang dokter dan kader partai demokrat.

Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk bergantung dari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang menyusunnya. Berapa banyak baris yang dibutuhkan dalam tabel kebenaran konjungsi p^q? Karena p memiliki dua kemungkinan, demikian pula dengan q, kombinasi kemungkinan-kemungkinan itu ada 4 (2.2).


Suatu konjungsi p^q benar bila masing-masing pernyataan-pernyataan yang menyusunnya benar, kombinasi selain itu bernilai salah. Simbol p maupun q dapat merepresentasikan pernyataan apa saja. Pernyataan majemuk p dan q bergantung pada nilai kebenaran masing-masing p dan q. Misalnya konjungsi p^q salah ketika p salah dan q benar. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi p^q selengkapnya.

p^q 

Disjungsi pvq

Disjungsi menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung logika 'atau'. Pernyataan majemuk "Burhan adalah seorang dokter atau kader partai golkar" merupakan disjungsi (atau inklusif) dengan presentasi simbolisnya:

p : Burhan seorang dokter
q : Burhan kader partai golkar
pvq : Burhan seorang dokter atau kader partai golkar.

Walaupun dalam kenyataan Burhan yang seorang dokter bukan kader partai golkar, disjungsi pvq diatas tetap bernilai benar. Disjungsi bernilai benar bila paling tidak terdapat satu pernyataan penyusunnya yang bernilai benar. Disjungsi salah bila nilai kebenaran setiap penyusunnya salah. 

pvq 

Kondisional p -> q

Kondisional merupakan pernyataan majemuk dalam bentuk 'jika p maka q' yang disimbolkan p -> q. Bagaimanakah kebenaran kondisional? Perhatikan kalimat 'Jika kamu memberi Rp. 20.000,- padaku, akan kubelikan tiket konser untukmu.' Representasi simbolis dari kalimat tersebut adalah sebagai berikut:
p : Kamu memberiku Rp. 20.000,-
q : Aku membelikan tiket konser untukmu.
p -> q : Jika kamu memberiku Rp 20.000,-, Aku akan membelikan tiket konser untukmu.

Kondisional dapat dipandang sebagai sebuah janji. Anggap kamu benar-benar memberiku 20 ribu, maka aku akan mempunyai dua opsi, apakah membelikan atau tidak. Bila aku membelikan (q = B) maka pernyataan tersebut benar. Tetapi bila aku tidak membelikan (q = S) maka kalimat tersebut salah. Situasi ini dapat digambarkan sebagai berikut.

p->q 


Lalu bagaimana bila kamu tak memberiku 20 ribu? p = S? Tentu apakah aku akan memberimu tiket atau tidak, p -> q tidak salah. Karena janji hanya dipenuhi bila p benar. Karena p -> q tidak salah, maka bila p salah secara langsung membuat nilai kebenaran p -> q benar. Tabel kondisional yang lengkap adalah sebagai berikut.

p->q 
B

Ekspresi yang ekuivalen

Saat kamu membeli mobil, mobil tersebut bisa baru maupun lama. Sales akan mengatakan "Tentu tidak benar mobil ini bukan mobil baru."  Kalimat majemuk ini memiliki satu kalimat pernyataan (Mobil ini baru) dan dua negasi.

"Tentu tidak benar"   "Mobil ini bukan mobil baru"
            ~                                ~p

Apakah ini berarti mobil tersebut baru? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat mengkonstruksikan tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~(~p) dan membandingkannya dengan p. Karena hanya ada satu pernyataan tunggal, maka kita hanya perlu 2 baris dalam tabel. Kita akan memiliki kolom p, ~p dan ~(~p). ~p memberikan nilai berkebalikan dengan p. Sedang ~(~p) memberikan nilai berkebalikan dengan ~p. Maka tabelnya akan menjadi seperti berikut.

~p ~(~p) 

Perhatikan bahwa kolom ketiga ~(~p) memiliki nilai kebenaran identik dengan p. Bila seperti ini, maka ~(~p) dikatakan ekuivalen dengan p. Artinya, makna pernyataan keduanya sama. Ekspresi yang ekuivalen adlaah ekspresi simbolik yang memiliki nilai kebenaran yang identik satu sama lain. Ekspresi p  q dibaca p ekuivalen dengan q atau p dan q ekuivalen. Dari tabel diatas kita dapatkan bahwa ~(~p) ekuivalen dengan p, dapat kita tuliskan p  ~(~p).

CONTOH
Apakah pernyataan "Jika saya pemilik rumah, saya yang membayar pajak bumi dan bangunan" dan pernyataan "Saya pemilik rumah dan saya tidak membayar pajak bumi dan bangunan" ekuivalen?

PENYELESAIAN
Kita mulai dengan memberikan representasi simbolis dari pernyataan-pernyataan diatas.
p : Saya pemilik rumah
q : Saya membayar pajak bumi dan bangunan
p -> q : jika saya pemilik rumah, saya membayar pajak bumi dan bangunan.
p ^ ~p : Saya pemilik rumah dan saya tidak membayar pajak bumi dan bangunan.
Tabel kebenaran untuk kasus ini akan memuat empat baris. Tabel yang akan kita gunakan seperti dibawah ini.

~q p^~q p -> q 
   
   
   
   

Sekarang kita tinggal memberikan nilai kebenaran yang sesuai pada masing-masing kolom. Kolom ~q, akan kita isi dengan nilai kebenaran kebalikan dari kolom q. Kolom berikutnya isi B di baris kedua dan S di baris lain, karena konjungsi mensyaratkan nilai kebenaran B untuk setiap faktornya. Sedang pada kolom terakhir, karena kondisional hanya salah bila p benar dan q salah, maka isikan baris kedua dengan S dan B pada baris lain.

~q p^~q p -> q

Karena nilai-nilai kebenaran di kolom p^~q tidak sama dengan p -> q, kedua pernyataan tersebut tidak ekuivalen. Perhatikan bahwa p^~q dan p -> q memiliki nilai-nilai kebenaran yang tepat berkebalikan. Bila hal ini terjadi pada dua pernyataan, pernyataan majemuk yang satu merupakan negasi dari pernyataan majemuk yang lain. Konsekuensinya, p^~q merupakan negasi dari p -> q. Hubungan ini dapat diekspresikan dengan p^~q  ~(p -> q). Negasi dari sebuah kondisional ekuivalen dengan konjungsi premis dan negasi konklusinya.

Pernyataan yang terlihat berbeda dalam kenyataan mungkin memiliki maksud yang sama. Ketika kita memiliki dua pernyataan yang ekuivalen, kita dapat mengganti satu sama lain tanpa mengubah maknanya. Faktor emosi yang mempengaruhi pemilihan pernyataan kita pada prakteknya. Bukan pada maknanya.

Aturan De Morgan

Sebelumnya, kita mendapatkan bahwa p  ~(~p). Aturan negasi yang lain yang sudah kita ketahui adalah p^~q  ~(p -> q), yang merupakan negasi dari sebuah kondisional. Apakah kita dapat menemukan formula yang identik, yakni negasi, pada pernyataan majemuk lain, yakni disjungsi dan konjungsi? Jawabannya adalah iya, yakni yang dikemukakan oleh matematikawan logika asal Inggris Augustus de Morgan.

Aturan de Morgan, begitu formula-formula negasi konjungsi dan disjungsi disebut, adalah sebagai berikut.
  • Negasi dari sebuah konjungsi diberikan oleh ~(p ^ q)  ~p v ~q
  • Negasi dari sebuah disjungsi diberikan oleh ~(p v q)  ~p ^ ~q

Summary

Pernyataan-pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran bergantung pada nilai kebenaran penyusunnya, yakni sebagai berikut.

Negasi

~p 

Konjungsi

p ^ q 
S

Disjungsi

p v q 

Kondisional

  q   p -> q 












Pernyataan yang ekuivalen adalah pernyataan yang memiliki makna sama. Ekuivalensi negasi pernyataan sederhana dapat dilihat dibawah.

  • ~(~p)  p                        Negasi dari negasi
  • ~(p ^ q)  ~p v ~q            Negasi konjungsi
  • ~(p v q)  ~p ^ ~q            Negasi disjungsi
  • ~(p -> q)  p ^ ~q            Negasi kondisional
Comments