Nombres et calculs 
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 MathsPhysiC                                          Classe de troisième

Nombres et calcul



  • Développer ou factoriser une expression littérale

Les développements et les factorisations procèdent de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ou à la soustraction. L'égalité (1) exprime la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et l'égalité (2) la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction :

(1) k(a + b)= ka + kb

(2) k(a – b)= ka – kb

1. Développer une expression littérale

Développer une expression littérale consiste à transformer un produit en somme algébrique.

1.1. Le produit contient une seule paire de parenthèses

Exemples : on veut développer les expressions suivantes.

A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24 (on peut terminer le calcul en écrivant – 10x + 26)

B = a(a – 7) = a² – 7a

2.1. Le produit contient deux paires de parenthèses

On applique une « double distributivité », c'est-à-dire : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd,

Ou bien (a + b)(c - d) = ac – ad + bc – bd,

Ou bien (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd,

Ou bien encore (a – b)(c – d) = ac - ad – bc + bd.

Exemple : on veut développer les expressions suivantes.

A = (2x + 5)(x – 4) = 2x² – 8+ 5x – 20 ; on peut réduire l'expression trouvée et écrire :

A = 2x² – 3– 20

B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y ; on peut réduire l'expression trouvée et écrire :

B = 3y² – 11y + 10

Remarque : on peut aussi développer des expressions en utilisant les identités remarquables.

2. Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale consiste à transformer une somme algébrique en produit.

Par exemple, quand on écrit : ka + kb = k(a + b) ou ka – kb = k( b), on a factorisé les expressions ka + kb et ka  kb.

Dans les deux cas, on dit qu'on a mis k en facteur. Le nombre k est appelé un facteur commun.

Ce facteur commun peut être un nombre, une lettre, le produit d'un nombre par une lettre ou une expression entre parenthèses.

Un facteur commun peut être apparent ou caché. S'il est caché, il faudra le faire apparaître.

2.1. Le facteur commun est apparent

5x – 5a + 5b = 5(x – a + b) ; le facteur commun est 5.

X² – 3x = x( 3) ; le facteur commun est x.

(x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5+ 1)] ; le facteur commun est (x+2).

On peut réduire l'expression trouvée et écrire (+ 2)(9– 4).

(3x – 4)² – (3x – 4)(2x + 7) = (3x – 4)[(3x – 4) – (2x+7)] ; le facteur commun est (3x – 4).

On peut réduire l'expression trouvée et écrire (3x - 4)(x – 11).

2.2. Le facteur commun est caché

A = 10a – 8b = 2(5a – 4b)

B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)

B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2+ 3)(7+ 8) ; on a « fait apparaître » le facteur commun (2x + 3).

B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)] ; on peut réduire l'expression trouvée et écrire :

B = (2x + 3)(4– 3 – 14– 16) = (2x + 3)(–10x – 19)

Remarque : on peut aussi factoriser des expressions en utilisant les identités remarquables.


  • Utiliser les identités remarquables

Soit a et b deux nombres positifs. Le carré ABCD représenté sur la figure 1 a pour côté a + b. À l'intérieur, sont construits deux autres carrés de côtés respectifs a et b, et deux rectangles de mêmes dimensions a et b.

L'aire de ABCD peut se calculer par deux méthodes différentes :

Première méthode : c'est l'aire d'un carré de côté a + b, soit (a + b)².

Seconde méthode : c'est aussi l'aire du carré de côté a, plus les aires des deux rectangles, plus l'aire du carré de côté b, soit a² + ab + ab + b².

De ces deux calculs, on déduit l'égalité : (a + b)² = a² + 2ab + b². C'est une identité remarquable.

1. Les trois identités remarquables

1.1. Deux identités semblables

L'égalité écrite en introduction reste vraie quels que soient les signes des nombres a et b. On a ainsi, pour tous nombres a et b :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;

(b)2 = a2 - 2ab + b2.

Remarques :

A gauche du signe « = » figure la forme factorisée de l'identité ; à sa droite, on trouve la forme développée ;

Les expressions développées ne diffèrent que par le signe du terme 2ab, appelé « double-produit », ce qui permet de les retenir facilement ;

Pour retrouver la deuxième identité à partir de la première, on peut écrire (a - b)² = [a + (-b)]², donc (a - b)² = a² + 2a(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b².

2. Une autre identité

Soit a et b deux nombres positifs. On a ôté d'un grand carré de côté a un petit carré de côté b.

Calculons l'aire de la surface restante jaune par deux méthodes.

Première méthode : c'est la différence entre l'aire du grand carré et l'aire du petit carré, soit a² - b².

Seconde méthode : on fait un découpage de la surface restante, puis on recompose les morceaux. On obtient un rectangle dont les dimensions sont a + b et a - b. Son aire est égale à (a + b)(a - b).

On obtient ainsi : a2-b2 = (a + b)(a-b).

Cette égalité est vraie quels que soient les signes des nombres a et b.

2. Applications

2.1. Développer à l'aide des identités remarquables

Soit x un nombre. On veut développer les expressions suivantes : (2x + 3)² ; (3x – 4)² et (5x + 2)(5x – 2).

(2x + 3)² = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9

(3x – 4)² = (3x)² – 2 × 3x × 4 + 4² = 9x² – 24x + 16

(5x + 2)(5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4

2.2. Factoriser à l'aide des identités remarquables

Soit x un nombre.

Exemple 1 : on veut factoriser les expressions : 9x² – 12x + 4 ; 81 – 9x² et 16x² + 24x + 9

9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 × 3x × 2 + 2² = (3x – 2)²

81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)

16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2 × 4x × 3 + 3² = (4x + 3)²

Exemple 2 : on veut factoriser l'expression (2x + 1)² – (5x + 3)².

On reconnaît ici une expression de la forme a² – b², où le rôle de a est joué par la parenthèse (2+ 1) et celui de b par la parenthèse (5x + 3).

On a donc (2x + 1)² – (5x + 3)² = [(2x + 1) + (5x + 3)][(2x + 1) – (5x + 3)]

On termine en réduisant chaque crochet : (2x + 1 + 5x + 3)(2x + 1 – 5– 3) = (7x + 4)(–3x – 2)

2.3. Calculer mentalement à l'aide des identités remarquables

On veut calculer mentalement : 53² ; 79² et 41 × 39.

On transforme chaque écriture pour pouvoir utiliser une identité remarquable. Les étapes détaillées ci-dessous sont à effectuer mentalement dans la pratique :

53² = (50 + 3)² = 50² + 2 × 50 × 3 + 3² = 2 500 + 300 + 9 = 2 809

79² = (80 - 1)² = 80² - 2 × 80 × 1 +1² = 6 400 – 160 + 1 = 6 241

41 × 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40² – 1² = 1 600 – 1 = 1599


  • Utiliser l'écriture "racine carrée"

Les mathématiciens grecs ne connaissaient que les nombres rationnels (c'est-à-dire les quotients de nombres entiers) et ils avaient démontré qu'un carré de côté 1 a une diagonale qui n'est pas un nombre rationnel ! Cela les plongea dans une grande perplexité. On sait aujourd'hui qu'un carré de côté 1 a une diagonale dont la longueur exacte est . Le symbole , appelé radical, permet d'écrire certains nombres (les racines carrées) sous forme exacte et de calculer avec ces nombres. La notation actuelle, , date de la fin du xve siècle ; elle est due à l'Allemand Michel Stifel.

1. Définition

Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a.

Ce nombre est appelé racine carrée de a, et noté .

Exemples :, car 32 = 9 et 3 est positif, car 1,62 = 2,56 et 1,6 est positif.

Autrement dit, si a est positif, est l'unique nombre positif tel que .

Ainsi, .

2. Exemples d'application

2.1. Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

Soit RMP un triangle rectangle en R tel que MR = 3 m et RP = 2 m. On veut calculer la valeur exacte de la longueur MP.

Le triangle RMP est rectangle en R, donc d'après la propriété de Pythagore :

MP2 = MR2 + RP2, soit MP2 = 32 + 22, d'où MP2 = 13.

MP désigne une longueur, c'est donc un nombre positif. On en déduit que la valeur exacte de MP est  m.

2.2. Construire un segment de longueur √n (n étant un entier naturel donné)

On veut construire par exemple un segment de longueur  cm.

On construit d'abord un triangle ABC rectangle en B et isocèle, tel que AB = BC = 1 cm.

L'application de la propriété de Pythagore dans ce triangle donne immédiatement  cm.

On construit ensuite un triangle ACD rectangle en C tel que CD = 1 cm.

D'après la propriété de Pythagore : AD2 = AC2 + CD2, soit , d'où AD2 = 3.

AD désigne un nombre positif, donc  cm.

Remarque : en réitérant ce procédé, on peut construire un segment de longueur , où n est un entier naturel quelconque.

2.3. Utiliser les racines carrées en trigonométrie

Les racines carrées permettent d'exprimer les valeurs exactes du sinus, du cosinus ou de la tangente de certains angles particuliers.

Exemple :

2.4. Calculer la distance entre deux points du plan

Rappelons que si (O, I, J) est un repère orthonormé du plan et que A(x, y) et B(x', y') sont deux points du plan, la distance AB est donnée par la formule : .

Exemple : on veut connaître la distance EF avec E (1, –2) et F (3, 4) dans un repère orthonormal (O, I, J) du plan, l'unité étant le centimètre. On cherche la valeur exacte., soit , donc .

La valeur exacte de EF est donc  cm.

2.5. Résoudre une équation

On veut résoudre l'équation x² = 7. On peut montrer qu'elle admet deux solutions : et .

2.6. Factoriser une expression

Pour factoriser l'expression x² – 5, on utilise la définition de la racine carrée qui permet d'écrire : .

En utilisant l'identité a² – b² = (a – b)(a + b), on obtient donc .


  • Résoudre une équation du second degré (l'équation x 2 = a)

Étant donné un nombre a, existe-t-il un nombre x tel que x2 = ? S'il en existe, y en a-t-il plusieurs ?

Nous verrons que la réponse à ces questions dépend du nombre a.

1. Les trois cas possibles

1.1. Cas où a < 0

Considérons les deux membres de l'équation x2 = a. D'après la règle permettant de déterminer le signe d'une puissance, on sait qu'un carré est toujours positif. Donc pour tout nombre x, x2 est positif. Comme a est strictement négatif, il n'existe pas de nombre x vérifiant x2 = a. Autrement dit, l'équation n'a pas de solution.

Exemple : l'équation x2 = –7 n'a pas de solution.

1.2. Cas où a = 0

L'équation s'écrit x2 = 0. La solution est immédiate : il n'existe qu'un seul nombre x solution. C'est 0. Autrement dit, l'équation n'a qu'une solution : 0.

1.3. Cas où a > 0

L'équation x2 = a peut s'écrire sous la forme x2a = 0. Utilisons la définition de la racine carrée : pour tout nombre positif, ( )2 = a.

L'équation est donc équivalente à : x2 – ( )2 = 0.

En utilisant l'identité remarquable a2 – b2 = (a + b) (a –  b) cette équation est encore équivalente à :

(x +  ) (x –  ) = 0.

Il s'agit donc d'une équation-produit qui se résout ainsi : si un produit de facteurs est égal à 0, alors l'un au moins de ces facteurs est égal à 0. On obtient donc : x +   = 0 ou x –  = 0, soit = – ou .

On constate finalement que l'équation a deux solutions : et et que ces deux solutions sont des nombres opposés.

Exemples :


L'équation
x2 = 256 a deux solutions et – , c'est-à-dire 16 et –16 ;

l'équation
x2 = 19 a deux solutions et . On doit laisser les signes racine carrée si on veut garder les valeurs exactes.

1.4. Conclusion

L'équation x2 = a est une équation du deuxième degré (car on y trouve des x à la puissance 2). L'étude précédente a montré que cette équation peut avoir 0, 1 ou 2 solutions.

2. Un exemple d'application en géométrie

Après avoir effectué un agrandissement d'un triangle, on constate que son aire est multipliée par 3.

Quel est le rapport de cet agrandissement ?

Appelons k le rapport de l'agrandissement considéré. On sait que dans un agrandissement de rapport k, l'aire d'une figure est multipliée par k2. On a donc : k2 = 3. Cette équation a deux solutions qui sont et .

Par définition, un rapport d'agrandissement est un nombre positif. La seule solution acceptable est donc k =  . Le rapport de cet agrandissement est donc .


  • Effectuer des calculs sur des racines carrées

Deux formules permettent de transformer des expressions comportant plusieurs racines carrées.

Quelles sont les applications de ces formules en calcul numérique et en géométrie ?

1. Les formules

Pour tous nombres positifs a et b, on a les égalités suivantes :, avec .

Exemples : on veut simplifier et .

L'application directe des formules permet d'écrire : et

Ces exemples montrent que le produit ou le quotient de deux nombres irrationnels peut être un nombre rationnel.

2. Applications au calcul numérique

2.1. Simplifier une somme algébrique comportant des racines carrées

On veut simplifier l'expression .

On transforme l'expression de la manière suivante : ,

Puis , soit .

En réduisant, on obtient .

2.2. Développer une expression comportant des racines carrées

On veut développer l'expression . Le résultat sera donné sous la forme exacte la plus simple possible., soit , d'où .

La valeur exacte de B est donc : .

3. Application en géométrie

Énoncé : soit ABCD un rectangle tel que et , l'unité étant le centimètre. On veut calculer la valeur exacte de DC et en déduire l'aire et le périmètre du rectangle ABCD. On donnera les résultats sous la forme exacte la plus simple possible.

Résolution : ABCD est un rectangle, donc le triangle ADC est rectangle en D. Appliquons la propriété de Pythagore : AC² = AD² + DC², soit , donc DC² = 10 – 2 = 8. DC désigne une longueur, c'est donc un nombre positif ; on en déduit que la valeur exacte de DC est  cm. Le périmètre du rectangle ABCD est donc : 2(AD + DC), soit .

Simplifions comme dans le paragraphe 2.1 :

La valeur exacte du périmètre du rectangle est donc  cm.

L'aire du rectangle ABCD est : AD × DC, soit . Or .

La valeur exacte de l'aire du rectangle est donc 4 cm².


  • Résoudre une équation-produit

Une équation-produit est une équation dont le premier membre est mis sous la forme d'un produit de facteurs et dont le second membre est égal à zéro. La forme particulière de ces équations permet de les résoudre facilement. Seules les équations à une inconnue sont étudiées ici.

1. Définition

Une équation à une inconnue x est appelée équation-produit si elle est de la forme A × B = 0,A et B sont des facteurs du premier degré en x, c'est-à-dire de la forme ax + b (a et b étant des nombres donnés).

Exemple : l'équation (2x + 3)(–5x + 6) = 0 est une équation-produit.

Remarque : on peut généraliser cette définition en considérant que le premier membre de l'équation a un nombre quelconque de facteurs. Il existe donc des équations-produits du type : A × B × C = 0 ou A × B ×  C × D = 0, etc.

On se limite ici à deux facteurs pour simplifier l'étude de ces équations.

2. Résolution

La résolution des équations-produits utilise les propriétés suivantes :


Si un
produit de facteurs est nul, alors l'un au moins de ces facteurs est nul ;

si l'un des
facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.

On déduit de ces propriétés que si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0, et réciproquement, si A = 0 ou B = 0, alors A × B = 0.

En résumé, nous dirons que A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. La résolution de l'équation produit A ×B = 0 équivaut donc à la résolution de deux équations du premier degré en x : A = 0 ou B = 0.

3. Exemples numériques

Exemple 1 : résoudre l'équation (5x + 1)(2x – 4) = 0.

L'équation (5x + 1)(2x – 4) = 0 équivaut successivement à :

5x + 1 = 0 ou 2x – 4 = 0

5x = –1 ou 2x = 4ou x = 2

L'équation a donc deux solutions : et 2.

Remarque : alors qu'une équation à une inconnue du premier degré n'a qu'une solution, on a ici un exemple d'une équation admettant deux solutions.

Exemple 2 : résoudre l'équation (3x – 2)² = 0.

L'équation (3x – 2)² = 0 équivaut à :

3x – 2 = 0 (les deux facteurs A et B sont ici identiques)

3x = 2

L'équation a donc une solution : .

4. Exemple géométrique

La figure 1 représente un carré CEFH de côté x. On suppose que x est un nombre supérieur ou égal à 5. Les quadrilatères ABCD, GFED et GHBA sont des rectangles. On donne BC = 5 et DE = 3, l'unité du problème étant le centimètre. Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du rectangle GHBA est-elle nulle ?

On a : HB = x – 5 et AB = x + 3.

L'aire du rectangle GHBA est donc : (x – 5)(x + 3). Dire que cette aire est nulle équivaut à dire que (x – 5) (x + 3) = 0 : Il s'agit là d'une équation-produit.

L'équation (x – 5)(x + 3) = 0 équivaut successivement à :

X – 5 = 0 ou x + 3 = 0

X = 5 ou x = –3.

Cette équation a donc deux solutions : 5 et –3. Or x désigne une longueur, c'est donc un nombre positif, et par conséquent, la seule solution à notre problème est 5.

Conclusion : l'aire du rectangle GHBA est nulle pour x = 5, et seulement pour cette valeur de x.


  • Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

Les méthodes de résolution des équations et des inéquations se ressemblent ; cependant, contrairement aux équations qui n'ont le plus souvent qu'un nombre fini de solutions, une inéquation admet en général une infinité de solutions.

Comment déterminer et représenter ces solutions dans le cas d'une inéquation du premier degré à une inconnue ?

1. Définitions

1.1. Les inéquations

Une inéquation est une inégalité où figure une lettre appelée l'inconnue.

Rappel : les 4 symboles d'inégalité sont : qui se lit « inférieur ou égal à » ; qui se lit « supérieur ou égal à » ;

< qui se lit « strictement inférieur à » ;

> qui se lit « strictement supérieur à ».

Exemples : et 7x + 2,1 < 45 sont des inéquations d'inconnue x.

1.2. Les solutions d'une inéquation

On dit qu'un nombre est une solution d'une inéquation si on obtient une inégalité qui est vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre dans l'inéquation.

Exemple : considérons l'inéquation 2x + 3 > 5.

Est-ce que 2 est une solution ? Si on remplace x par 2 dans l'inéquation, on obtient : 2 × 2 + 3 > 5, soit 7 > 5.

Cette inégalité est vraie, donc 2 est une solution.

Est-ce que 1 est une solution ? Si on remplace x par 1 dans l'inéquation, on obtient : 2 × 1 + 3 > 5, soit 5 > 5.

Cette inégalité est fausse, donc 1 n'est pas une solution.

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes ses solutions.

2. Résolution d'une inéquation

2.1. Méthode

La méthode ressemble à celle utilisée pour les équations du premier degré à une inconnue, à une différence importante près. Rappelons en effet que dans une inégalité, on peut :


Ajouter ou soustraire un même nombre de part et d'autre du symbole d'inégalité ;

multiplier ou diviser par un même nombre différent de 0 de part et d'autre du symbole d'inégalité, mais si ce nombre est
négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

2.2. Exemples

Exemple 1 : on veut résoudre l'inéquation 2x + 3 > 5. Elle équivaut successivement à :

2x > 5 – 3

2x > 2

X > 1 : la résolution s'achève à cette étape.

On remarque que cette inéquation admet une infinité de solutions qui correspondent à tous les nombres strictement supérieurs à 1.

Exemple 2 : on veut résoudre l'inéquation .

Cette inéquation équivaut successivement à : : on notera le changement de sens de l'inégalité.

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -4.

3. Représentation graphique des solutions

Reprenons l'inéquation de l'exemple 1 (paragraphe 2.2), à l'étape finale : x > 1. Comme nous l'avons déjà remarqué, on ne peut pas énumérer toutes les solutions, car il y en a une infinité. Cependant, il est possible de les représenter sur une droite graduée, en hachurant l'ensemble des points qui ne représentent pas les solutions. La partie non hachurée représentera donc l'ensemble des solutions.

Enfin, il faut montrer sur le dessin que 1 n'est pas une solution. Pour cela, on utilise un crochet qui sera tourné de la manière suivante :


Si le nombre est solution, le crochet est tourné vers l'intérieur de l'ensemble des solutions ;

si le nombre n'est pas solution, le crochet est tourné vers l'extérieur de l'ensemble des solutions.

Exemples :

Pour l'inéquation de l'exemple 1 (x > 1), on obtient la représentation suivante :

Pour l'inéquation de l'exemple 2 ( ), on obtient la représentation suivante :


  • Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Un système d'équations est constitué de plusieurs équations que l'on doit résoudre en même temps, chaque équation pouvant avoir plusieurs inconnues.

Comment résoudre les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues ?

1. Définitions

1.1. Système de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est un système de la forme :x et y sont les inconnues de ce système.

A, b, c, d ,e, f sont des nombres donnés tels que l'on n'ait pas a = b =  0 et d = e = 0.

Exemple : le système est un système de deux équations à deux inconnues.

1.2. Solution d'un système d'équations à deux inconnues

On dit qu'un couple de nombres (uv) est solution d'un système de deux équations d'inconnues x et y si on obtient deux égalités qui sont vraies en remplaçant x par u et y par v dans chaque équation.

Exemple : le couple (2, –1) est-il une solution du système  ?

En remplaçant x par 2 et y par –1, on obtient : .

Ces deux égalités sont vraies, donc le couple (2, –1) est une solution de ce système.

Remarque : l'ordre des nombres dans le couple est important ; en effet, le couple (–1, 2) n'est pas solution de ce système.

2. Méthodes de résolution

2.1. Méthode de substitution

Expliquons cette méthode à l'aide d'un exemple.

Soit à résoudre le système .

À l'aide de l'une des deux équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre : exprimons par exemple x en fonction de y à l'aide de la première équation.

On obtient le système équivalent : .

Ensuite, on remplace x par 2y + 3 dans la deuxième équation, d'où le nom de « substitution » attribué à cette méthode (substituer est synonyme de remplacer).

On obtient le système : .

La deuxième équation est une équation du premier degré à une inconnue, y, que l'on résout tout en conservant la première équation. Le système équivaut successivement à : ;  ;  ; .

Ayant trouvé la valeur de y, on remplace y par cette valeur dans la première équation pour trouver celle de :, soit : .

La solution du système est donc le couple (1, –1).

2.2. Méthode d'élimination

Expliquons cette méthode à l'aide d'un exemple.

Soit à résoudre le système .

Multiplions les deux membres de la première équation par 2, de façon à avoir le même terme en y dans chaque équation.

On obtient le système équivalent : .

Nous allons maintenant soustraire les deux équations membre à membre : les termes en y vont ainsi s'éliminer (d'où le nom d'élimination).

On obtient le système : .

On remarquera qu'il faut conserver l'une (au choix) des deux équations de départ.

La première équation est ainsi devenue une équation à une inconnue x. Le système équivaut successivement à :  ; .

On termine, comme dans la méthode précédente, en remplaçant x par 3,5 dans la deuxième équation afin de trouver la valeur de : ;  ;  ;  ; .

La solution du système est donc le couple (3,5, 1,5).

Remarque : les deux méthodes, substitution et élimination, sont utilisables quel que soit le système à résoudre. Cependant, on aura intérêt à choisir, selon le système, la méthode qui fournit les calculs les plus simples.


  • Mettre un problème en équation (3e)

En mathématiques, et dans les sciences en général, beaucoup de problèmes peuvent être résolus à l'aide d'équations.

Comment « mettre un problème en équation » ?

Et une fois la ou les équation(s) résolue(s), comment interpréter le résultat pour répondre au problème ?

1. Choix de l'inconnue et mise en équation

La première étape de la mise en équation d'un problème est le choix de l'inconnue. Selon le problème, s'il y a plusieurs choix possibles pour l'inconnue, on choisira celle qui fournit l'équation la plus simple.

Exemple : deux frères ont 12 ans d'écart. L'aîné est 4 fois plus âgé que son cadet.

Quel est l'âge de chacun des deux frères ?

Appelons x l'âge du cadet ; l'âge de l'aîné est donc 4x.

En traduisant le fait que les deux frères ont 12 ans d'écart, on obtient l'équation : 4x – x = 12.

Le choix de l'âge de l'aîné comme inconnue x aurait été moins judicieux, car on aurait obtenu l'équation : , qui est moins simple que la précédente.

2. Résolution de l'équation et réponse au problème

Reprenons le problème précédent, où nous avons appelé x l'âge du frère cadet, et résolvons l'équation obtenue : 4x – x = 12, qui équivaut successivement à : 3x = 12 d'où x = 4.

L'équation est résolue, il faut maintenant répondre au problème. L'âge du frère cadet est 4 ans, car x = 4. L'aîné est 4 fois plus âgé que son cadet : l'âge de l'aîné est donc 16 ans, car 4 × 4 = 16.

On vérifie que cela répond au problème : 16 – 4 = 12, ce qui correspond bien à l'énoncé de départ, qui pose que les deux frères ont 12 ans d'écart.

3. Autres exemples

3.1. Exemple 1

Énoncé : trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 351.

Mise en équation : soit x le plus petit de ces trois nombres. Les deux autres nombres sont donc x + 1 et x + 2. En écrivant que la somme vaut 351, on obtient l'équation : x + (x +1) + (x + 2) = 351.

Résolution : cette équation équivaut successivement à :

3x + 3 = 351

3x = 351 – 3

3x = 348

X = 116

Réponse : le plus petit de ces trois nombres est 116 ; les deux autres sont donc 117 et 118. On vérifie en effectuant la somme de ces trois entiers : 116 + 117 + 118 = 351.

3.2. Exemple 2

Énoncé : un tapis rectangulaire est trois fois plus long que large et son aire est égale à 2,43 m². Calculer les dimensions en mètres de ce tapis.

Mise en équation : soit x la largeur en mètres de ce tapis. Sa longueur en mètres est donc 3x. En écrivant que son aire (en m²) est égale à 2,43, on obtient l'équation : x × 3x = 2,43.

Résolution : cette équation équivaut successivement à :

3x² = 2,43

X² = 0,81

Les solutions de cette équation sont : et , c'est-à-dire 0,9 et –0,9.

Réponse : dans notre problème, x désigne une longueur ; il s'agit donc d'un nombre positif et par suite, la seule solution acceptable pour ce problème est 0,9. La largeur du rectangle est donc égale à 0,9 m et sa longueur est égale à 2,7 m, car 3 × 0,9 = 2,7. Vérifions en calculant l'aire du rectangle : 0,9 × 2,7 = 2,43.

Cet exemple montre que les solutions de l'équation utilisée pour résoudre un problème ne sont pas toujours des solutions de ce problème.

3.3. Exemple 3

Énoncé : À la terrasse d'un café, un groupe d'amis a consommé 3 cafés et 2 chocolats pour un prix de 5,10 €. À la table voisine, d'autres clients ont consommé 2 cafés et 3 chocolats, et ils ont payé 5,40 €. Calculer le prix d'un café et celui d'un chocolat.

Mise en équation : appelons x le prix d'un café et y celui d'un chocolat, exprimés en €. Le prix payé à chaque table se traduit par le système suivant : .

Résolution : résolvons ce système par élimination en multipliant la première équation par 3 et la deuxième par 2. On obtient le système : .

On soustrait les deux équations membre à membre et on garde la deuxième équation de départ. Le système équivaut successivement à : ;  ;  ; .

Réponse : le prix d'un café est donc égal à 0,90 € et celui d'un chocolat est égal à 1,20 €.

On peut vérifier en calculant le prix payé à chaque table :

A la première table : 3 × 0,90 + 2 × 1,20 = 2,70 + 2,40 = 5,10, soit 5,10 € payés ;

A la deuxième table : 2 × 0,90 + 3 × 1,20 = 1,80 + 3,60 = 5,4050, soit 5,40 € payés.


  • Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers

On appelle division euclidienne, du nom du mathématicien grec Euclide, la division de deux nombres entiers naturels dont le quotient et donc le reste sont aussi des entiers.

Qu'est-ce qu'un diviseur dans le cadre de la division euclidienne ?

1. Diviseur et multiple

1.1. Définitions

Soit a et b deux nombres entiers.

On dit que b est un diviseur de a s'il existe un nombre entier q tel que a = b × q.

On dit aussi que a est un multiple de b, ou que a est divisible par b.

Remarques :

Dire que b est un diviseur de a revient à dire que la division euclidienne (donc à quotient entier) de a par b a pour reste 0. Dans ce cas, on peut donc écrire a = b × q, où q est le quotient de a par b ;

Certaines calculatrices ont une touche permettant d'effectuer les divisions euclidiennes ; on peut alors lire le quotient et le reste de la division à l'écran.

Exemple : 13 et 7 sont-ils des diviseurs de 221 ?

On effectue les divisions euclidiennes de 221 par 13, puis de 221 par 7 :

221 = 13 × 17, donc 13 est un diviseur de 221.

221 = 31 × 7 + 4, donc 7 n'est pas un diviseur de 221.

1.2. Rappel des critères de divisibilité

Il n'est pas toujours nécessaire de faire une division pour savoir si un nombre entier est divisible par un autre ; rappelons en effet les règles suivantes :

Un entier divisible par 2 est un entier dont le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un entier divisible par 3 est un entier dont la somme des chiffres est divisible par 3.

Un entier divisible par 5 est un entier dont le chiffre des unités est 0 ou 5 ;

Un entier divisible par 9 est un entier dont la somme des chiffres est divisible par 9.

Un entier divisible par 10 est un entier dont le chiffre des unités est 0.

Exemple : d'après ces critères, on peut dire que 975 est divisible par 3 et 5, mais ne l'est ni par 2, ni par 9 ni par 10.

2. Les diviseurs d'un nombre entier

2.1. Quelques règles

Si on considère un nombre entier a différent de 0 et de 1, ce nombre a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

En effet on a toujours a = a × 1.

Le nombre 1 n'a qu'un diviseur : lui-même.

Le nombre 0 admet tous les nombres entiers comme diviseurs.

Les diviseurs d'un nombre entier non nul peuvent être associés : par exemple, on dira que 8 et 9 sont deux diviseurs associés de 72, car 72 est divisible par 8 et par 9, et 72 = 8 × 9.

2.2. Méthode

Expliquons la méthode à l'aide d'un exemple : recherchons tous les diviseurs de 72. La manière de procéder est la suivante : on divise 72 par tous les nombres entiers successifs : 1, 2, 3, etc.

Lorsque le reste est nul, on écrit l'égalité correspondante et les diviseurs associés obtenus.

Le processus s'arrête car l'égalité suivante, 72 = 9 × 8, redonne les diviseurs 8 et 9 déjà obtenus.

Les diviseurs de 72 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.

3. Les diviseurs communs à deux nombres entiers

3.1. Exemple

On cherche les diviseurs communs à 72 et 54. Pour cela, on cherche les diviseurs de chacun de ces nombres en utilisant la méthode du paragraphe 3.2, puis on extrait les nombres qui figurent dans les deux listes à la fois :

Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.

Les diviseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27.

Les diviseurs communs à 72 et 54 sont donc : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

3.2. Définition du PGCD

Le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers est appelé en abrégé le PGCD de ces deux entiers.

Exemple : le PGCD de 72 et 54 est 18 (d'après l'exemple du paragraphe 3.1). On note : PGCD (72, 54) = 18.

En reprenant la liste des diviseurs communs à 72 et 54 : 1, 2, 3, 6, 9 et 18, on constate que ce sont tous les diviseurs de 18.

Propriété : les diviseurs communs à deux entiers sont les diviseurs de leur PGCD. Si on connaît le PGCD de deux entiers, il suffit donc de trouver tous ses diviseurs pour avoir les diviseurs communs à ces deux entiers.


  • Donner la forme irréductible d'un nombre en écriture fractionnaire (3e)

Une fraction irréductible est une fraction « qui ne peut pas être réduite » c'est-à-dire, en langage mathématique, que l'on ne peut pas simplifier.

Comment savoir si une fraction est irréductible ? Si une fraction n'est pas irréductible, comment la transformer en une fraction irréductible ?

C'est à ces deux questions que nous allons maintenant répondre.

1. Définitions et propriété

1.1. Définitions

Définition 1 : soit a et b deux entiers naturels, avec  ; on dit que l'on peut simplifier la fraction si a et b possèdent un diviseur commun k supérieur ou égal à 2.

Dans ce cas, il existe deux entiers naturels c et d tels que a = c × k et b = d × k et on peut écrire :  ; on dit qu'on a simplifié la fraction par k.

Par exemple, la fraction  peut être simplifiée par 2, en effet : .

Définition 2 : soit a et b deux entiers naturels avec . On dit que la fraction  est irréductible si elle ne peut pas être simplifiée.

1.2. Propriété

Dire que la fraction  est irréductible, c'est dire que a et b n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1, ou encore que PGCD (ab) = 1.

Remarque : on dit que deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Par exemple, la fraction est irréductible car 7 et 6 ont 1 pour seul diviseur commun.

D'après cette propriété, pour savoir si une fraction  est irréductible, il suffit de calculer le PGCD de a et b.

Deux cas sont alors possibles :


Si PGCD (
a, b) = 1, la fraction est irréductible ;

si PGCD (
ab 1, on rend la fraction irréductible en la simplifiant par PGCD (ab).

2. Le calcul du PGCD de deux entiers

2.1. La méthode des différences

Propriété : si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a > b, alors : PGCD (ab) = PGCD (ba – b).

Méthode : pour calculer le PGCD de deux entiers naturels, on applique cette propriété plusieurs fois de suite et, à chaque étape, on obtient des entiers de plus en plus petits. Les deux exemples ci-dessous montrent comment s'arrête le processus.

Exemple 1 : calcul du PGCD de 12 et 18. On a successivement : PGCD (18, 12) = PGCD (12, 6) = PGCD (6, 6) = 6.

Exemple 2 : calculer le PGCD de 45 et 32. On a successivement : PGCD (45, 32) = PGCD (32, 13) = PGCD (19, 13) = PGCD (13, 6) = PGCD (7, 6) = PGCD (6, 1) = 1.

L'étape finale du processus est :


Soit PGCD (
nn), avec , et, dans ce cas, le PGCD est ;

soit PGCD (
n, 1), avec , et, dans ce cas, le PGCD est 1.

2.2. L'algorithme d'Euclide

Propriété : si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a > b et si r désigne le reste de la division euclidienne de a par b, alors : PGCD (ab) = PGCD (b r). Cette propriété est appelée algorithme d'Euclide car elle met en jeu la division euclidienne.

Méthode : pour calculer le PGCD de deux entiers naturels, on applique cette propriété plusieurs fois de suite et on s'arrête à la première division euclidienne dont le reste est égal à 0. Le PGCD cherché est alors le dernier reste non nul de la suite des divisions effectuées. Il est commode de présenter les résultats sous la forme d'un tableau, comme le montre l'exemple qui suit.

Exemple : calcul du PGCD de 128 et 58.

Le PGCD de 128 et 58 est donc égal à 2.

3. Exemples d'application

3.1. Reconnaître une fraction irréductible

Exemple : on veut démontrer que la fraction  est irréductible.

Calculons le PGCD de 352 et 159, par l'algorithme d'Euclide. On obtient le tableau suivant.

On a donc : PGCD (352, 159) = 1, ce qui prouve que la fraction  est irréductible.

3.2. Transformer une fraction en une fraction irréductible

Exemple : on veut rendre la fraction  irréductible.

Calculons le PGCD de 1 612 et 1 519 par l'algorithme d'Euclide. On obtient le tableau suivant.

On a : PGCD (1 612, 1 519) = 31. On peut donc simplifier la fraction par 31 et la fraction obtenue alors est irréductible : .


  • Décrire différents ensembles de nombres

C'est avec les nombres entiers naturels que l'enfant apprend à compter. Cet ensemble de nombres se révèle bien vite trop petit pour résoudre certains problèmes de géométrie, par exemple. Il faut construire de nouveaux systèmes, ajouter aux chiffres de nouveaux signes : la virgule, la barre de fraction, le radical, etc.

Quels sont donc les différents ensembles de nombres ?

1. Une brève histoire des nombres

1.1. Les nombres entiers naturels

Ainsi que l'indique l'adjectif naturel, ces nombres sont ceux que l'on utilise le plus spontanément : comme l'enfant apprenant à compter sur ses doigts, l'homme a commencé à compter des objets ou des animaux. « Naturellement », on compte : 1, 2, 3, etc. Mais attention : pour les mathématiciens, les nombres entiers naturels commencent à 0, et non à 1 !

1.2. Les nombres rationnels

Avec les problèmes de partage ou de mesure de longueurs sont apparues les fractions de nombres entiers, ce que l'on appelle en mathématiques les nombres rationnels, comme par exemple. Les Grecs ne connaissaient que les nombres entiers naturels (mais pas le zéro) et les nombres rationnels que nous qualifions aujourd'hui de positifs.

1.3. Les nombres décimaux

La notion de nombre décimal est issue de la notion de fraction : les nombres décimaux correspondent, en effet, à des fractions particulières. Aujourd'hui, un nombre décimal désigne un nombre que l'on peut écrire à l'aide d'une virgule suivie d'un nombre fini de chiffres, 23,45 par exemple.

À l'origine, on parlait de fraction décimale d'un nombre entier. C'est le mathématicien flamand Simon Stevin qui publia le premier traité sur les nombres décimaux, la Disme, au xvie siècle. Sa notation n'était pas celle que nous utilisons aujourd'hui : le nombre que nous écrivons 6,19 se notait à l'époque « 6 plus 1 prime plus 9 sekondes », où les mots « prime » et « sekonde » désignaient respectivement ce que nous appelons aujourd'hui « dixième » et « centième ».

La notation actuelle des nombres décimaux date du début du xviie siècle.

1.4. Les nombres négatifs

On a trouvé des traces de l'utilisation des nombres négatifs en Inde au viie siècle de notre ère. Il faut noter que les Indiens utilisaient le zéro, condition nécessaire pour concevoir des nombres négatifs. Les nombres négatifs étaient appelés « nombres dettes », pour des raisons commerciales, exactement comme aujourd'hui un relevé de compte bancaire possède deux colonnes intitulées « crédit » (pour les recettes) et « débit » (pour les dépenses).

L'utilisation des nombres négatifs en Occident est bien plus tardive. Les mathématiciens italiens de la Renaissance, spécialistes de l'algèbre (science qui étudie la résolution des équations), concevaient bien que, sans les nombres négatifs, il leur était impossible de résoudre certaines équations (x + 7 = 0 par exemple). Cependant, ils hésitaient à considérer ces solutions comme des nombres à part entière. Au xviie siècle encore, le mathématicien français Descartes qualifiait les nombres négatifs de « nombres faux ».

Il faudra attendre le xixe siècle pour que les nombres négatifs accèdent enfin au titre de véritables nombres.

1.5. Les nombres irrationnels

Les disciples de Pythagore ont démontré que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 n'est pas un nombre rationnel. Ce nombre est aujourd'hui noté et ce type de nombre est appelé nombre irrationnel.

2. Les différents ensembles de nombres en mathématiques

Il existe des relations entre les différents ensembles de nombres.

2.1. Les nombres entiers naturels

Tous les nombres utilisés en mathématiques sont construits à partir des nombres entiers naturels dont l'ensemble est noté N.

Exemples : 12, 5 et 0 sont des entiers naturels.

2.2. Les nombres entiers relatifs

Ce sont les nombres entiers naturels auxquels on affecte un signe « + » pour les nombres positifs ou « - » pour les nombres négatifs. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z (de l'allemand Zahl, qui signifie nombre).

Exemples : +3, 0 et -72 sont des entiers relatifs.

Nous savons que les nombres positifs peuvent s'écrire sans leur signe « + », par exemple : +7 = 7.

Par conséquent, tout nombre entier naturel est un nombre entier relatif. En mathématiques, on dit que l'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z, ce que l'on note : .

2.3. Les nombres décimaux relatifs

Ce sont les nombres décimaux positifs ou négatifs dont l'ensemble est noté D.

Exemples : 12,258 et –45,6 sont des nombres décimaux relatifs.

Tout nombre entier relatif peut s'écrire à l'aide d'une virgule, par exemple : –2 = –2,0.

Par conséquent, tout nombre entier relatif est un nombre décimal relatif. Autrement dit : .

2.4. Les nombres rationnels

Ce sont les fractions de la forme , où a et b sont des nombres entiers relatifs et .

L'ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Exemples : et sont des nombres rationnels.

Tout nombre décimal relatif peut s'écrire sous la forme d'une fraction, par exemple : .

Par conséquent, tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel. Autrement dit : .

2.5. Les nombres réels

Comme nous l'avons déjà mentionné, il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, comme par exemple. Nous admettrons l'existence d'un ensemble de nombres appelés nombres réels, qui contient tous les nombres cités précédemment. Tous les nombres étudiés au collège sont des nombres réels. L'ensemble des nombres réels est noté R.

Exemples : 5 ; –29 ; –49,21 ;  ; et sont des nombres réels.

Nous disposons donc au collège de cinq ensembles de nombres inclus les uns dans les autres : .




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