Démonstrations

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La démonstration mathématique

Publié par CASNAV de l'académie de Grenoble -  le vendredi 15 octobre 2010

    Au sommaire :

- Le raisonnement 
- Qu’est-ce qu’une démonstration ? 
- Un exemple 
- Présenter la démonstration : 3 possibilités
Le raisonnement

Dans un problème l’élève est face à un exercice lui demandant d’utiliser ses connaissances pour démontrer une vérité mathématique dans un contexte précis. Cette démarche exige le respect d’une logique rigoureuse dans un raisonnement impliquant des connaissances mathématiques, ainsi qu’une manière de les articuler pour construire une preuve mathématique. « La spécificité des preuves mathématiques est de produire une évidence interne qui peut, qui doit, et qui est communément partagée par tous ceux qui en refont la démarche. » (Barbin, É et al. 2001. p.1). Pour que cette preuve puisse être refaite par d’autres, il convient  qu’un raisonnement type soit élaboré.
L’articulation des connaissances suit un modèle préétabli qui guidera le raisonnement de l’élève qui doit  exprimer clairement la manière de raisonner qu’il a suivie pour arriver à cette preuve mathématique.

L’élève doit  :

► être capable de retrouver les informations importantes dans une consigne
► organiser correctement ces informations pour construire son raisonnement mathématique.

Selon  le niveau de classe et de maturité des élèves,  le type de raisonnement demandé devient de plus en plus complexe.
Voici la progression des objectifs visés aux différents niveaux de classe du collège.

Progression de la démonstration au collège (P. Legrand, 1997. p. 98)

Sixième

Cinquième

Quatrième

Troisième

1. Reconnaître la vérité d’une phrase, en français et en langage mathématique, formulée à partir d’un schéma, d’un tableau ou dans un texte descriptif.

2. Produire des phrases vraies (sans justification) en français ou en langage mathématique, en passant d’un langage à l’autre.

1.Reconnaître et produire des phrases vraies, à partir d’un schéma, d’un tableau ou d’un texte.

1. Reconnaître, produire et justifier des phrases vraies à partir d’un schéma, d’un tableau ou d’un texte.

 

3 Justifier des phrases vraies (ou fausses), par différentes preuves.

2. Justifier : idée de preuve fiable valide ; lexique de la justification.

3. Déduire des phrases vraies à partir d’une situation reconnue par tous en utilisant les théorèmes ; lexique de la déduction.

2. Déduire des phrases vraies et les justifier :

  ► Repérer des déductions / justifications dans un texte ;
►  Produire des déductions / justifications.

1. Déduire les phrases vraies à partir d’une situation donnée (texte, schéma, tableau)

 

 

3. Démontrer la vérité d’une phrase relative à une situation donnée ; l’écrire en français.

2. Démontrer la vérité d’une phrase relative à une situation donnée ; l’écrire en français.

4.Conjecturer :
énoncer des phrases qui « semblent » être vraies.

4.Conjecturer 
idem, mais avec preuve (non rigoureuse).

4. Conjecturer : idem, avec preuve.

3.Conjecturer :proposer une réponse et prouver sa vérité.

 

Qu’est ce qu’une démonstration ? 

Tout au long de l’histoire des mathématiques, la démonstration géométrique s’est établie de différentes manières. Quatre grandes étapes peuvent ainsi être présentées, différenciées selon quatre critères :

► la signification : qui correspond à l’objectif visé par la démonstration

► la conception des objets : c’est la façon dont on prend en compte les objets sur lesquels s’appuie la démonstration

► le critère de vérité : ce qui permet d’appuyer la vérité de la preuve mathématique

► le discours : la manière dont la démonstration doit être exposée

Nous représenterons ainsi les étapes de la démonstration, selon les mathématiciens auxquels elles se réfèrent.

Étape

►Signification

►Conception des objets

►Critère de vérité

►Discours

600 av J-C.

Thalès

Expliquer

Schéma

Figure

Rationnel

300 av J-C.

Euclide

Convaincre

Idéalité

Logique

Logique

1637

Descartes

Eclairer

Déconstruction

Evidence

Algébrique

1899

Hilbert

Décider

Nom

Non-contradiction

formel

Les quatre grandes étapes historiques de la démonstration géométrique (P. Legrand, 1997. p.351).
Un exemple : la démonstration en géométrie

La démonstration sur laquelle nous avons travaillé est la démonstration Euclidienne, genre d’écrit spécifique. La définition suivante est donnée sur le site educastream dans la rubrique « cours maths 4ème » représentative des définitions données à des élèves de collège.

Nous pouvons dire qu’une démonstration (ou preuve) mathématique est un raisonnement logique qui utilise des résultats théoriques (propriétés, théorèmes, formules,…) déjà établis pour parvenir à une conclusion que personne ne pourra contester.

Nous remarquons que la démonstration est la retranscription d’un raisonnement logique qui reprend des résultats théoriques pour établir une conclusion qui ne pourra être invalidée. Ces caractéristiques de la démonstration nous indiquent ce qu’ il faut travailler en amont de la démonstration pour faciliter sa rédaction. En effet, si un élève  ne maîtrise pas suffisamment les théorèmes et les propriétés, sur lesquels se base le raisonnement permettant d’établir la conclusion demandée, il n’arrive pas à structurer sa démonstration. L’apprentissage des propriétés et des théorèmes sera donc le point de départ de l’approche de la démonstration.Théorèmes et propriétés acquis, l’élève peut se confronter à la formulation de démonstration.

Si nous décomposons la démonstration en étapes à suivre pour la résolution, nous relevons trois phases :

► 1ère étape : L’élève rappelle les hypothèses (soit les informations « évidentes ») qu’il utilisera. Ces informations se trouvent en général dans l’énoncé, ou encore sur la figure accompagnant celui-ci à partir d’un codage géométrique.

► 2ème étape : L’élève indique la propriété (ou le théorème) utilisée. Il retrouvera celle-ci dans son cours, s’il ne s’en souvient plus.

► 3ème étape : La conclusion : l’élève retrouvera dans la question de départ la conclusion demandée : soit sous la forme d’une question (ex : les droites (AB) et (CD) sont elles parallèles ?) soit sous la forme d’une injonction (ex : démontrez que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.).

Ces trois étapes sont essentielles dans la rédaction d’une démonstration. Néanmoins, l’élève peut la présenter de différentes façons : sous forme de tableau, de diagramme ou en utilisant des mots de liaisons. Il est important de noter que les enseignants privilégient les démonstrations utilisant des mots de liaisons. Par ailleurs, l’utilisation du tableau puis du diagramme aidera les élèves à mieux se rendre compte des étapes à suivre pour leur raisonnement.

 

Présenter la démonstration

Illustrons à l’aide d’un exemple les trois façons de présenter la démonstration :

L’utilisation du code couleur pourra être faite lors d’un exercice d’appropriation. Dans cet exemple nous utilisons les couleurs suivantes  :

Vert pour les hypothèses,

Rouge pour la partie du cours : les propriétés et théorèmes utilisés

Bleu pour la conclusion.

Exemple d’exercice de démonstration :

bea-demo5_1_.jpgMontrez que RSTU est un parallélogramme.

 

 


Hypothèses

Propriété ou théorème utilisé

Conclusion

A milieu de [RT]

A milieu de [US]

Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

RSTU est un parallélogramme.


►Si l’élève répond sous la forme d’un diagramme :

RSTU1_1_.jpg

► Si l’élève répond avec des mots de liaisons :

Je sais que : A milieu de [RT] et  A milieu de [US].

Or

SelectionFile type iconFile nameDescriptionSizeRevisionTimeUser