แนะนำ

ทำเนียบ..นักคิด

เธลิส (Thales)


สิ่งที่เป็นผลงานและเป็นที่กล่าวอ้างถึงเธลีส คือ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิต 5 ทฤษฎี คือ 
1. วงกลมใด ๆ ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดยเส้นผ่านศูนย์กลาง 
2. มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีค่าเท่ากัน 
3. เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามที่เกิดขึ้นย่อมเท่ากัน 
4. สามเหลี่ยมสองรูป ถ้ามีมุมเท่ากันสองมุม และด้านเท่ากันหนึ่งด้าน สามเหลี่ยมทั้งสอง
    คล้ายกัน 
5. มุมภายในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 
      จากทฤษฎีทางเรขาคณิตในเรื่องด้านและมุม เธลิสเสนอวิธีการ วัดระยะทางเรื่องที่อยู่ในทะเลว่าห่างจากฝั่งเท่าไร โดยมีผู้สังเกตวัดระยะอยู่บนฝั่ง 
       เธลิสได้เสนอความเชื่อของตนเองอย่างหนึ่งว่า "ทุกสิ่งทุกอย่างคือน้ำ" ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของความคิดและค้นหาคำตอบในเรื่องวิทยาศาสตร์ โดยมีสมมุติฐานที่ต้องการพิสูจน์ 
      เธลิสเชื่อว่า โลกลอยอยู่บนน้ำ และทุกสิ่งทุกอย่างมาจากน้ำ เขาเชื่อว่าโลกแบบเหมือนจานที่ลอยอยู่บนพื้นมหาสมุทรที่ไม่มีขอบเขตกำจัดเธลีสอธิบายการเกิดแผ่นดินไหว เหมือนจานที่ลอยอยู่บนน้ำและกระเพื่อมตามแรงน้ำ จากปริชญาของเธลิสพอสรุปได้เป็น 
1. มีวัตถุสิ่งของได้มากมาย 
2. มีเพียงชนิดเดียวคือ น้ำ 
3. คำว่ายูนิเวอร์ส (Universe) ไม่สามารถที่อธิบายได้ในเทอมของชิ้นส่วนที่ไม่ต่อเนือง แต่อยู่ในเทอมของของที่เชื่อมโยงถึงกันที่เรียกว่า Space อย่างไรก็ตามความคิดของเธลิสในส่วนข้อ 2 และ3 ได้รับการโต้แย้งอย่างมากในเวลาต่อมาในเรื่องความถูกต้องของหลักปรัชญา และทฤษฎี 

ปีทาโกรัส (Pythagoras)


สิ่งที่เป็นผลงานและเป็นที่กล่าวอ้างถึงปีทาโกรัส  
        1. สร้างสูตรคูณหรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)
        2. ทฤษฎีบทเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของ
ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก"
        3. สมบัติของแสง และการมองวัตถุ
        4. สมบัติของเสียง

ยูคลิด (Euclid)

ผลงาน The Elements แบ่งออกเป็นหนังสือได้ 13 เล่ม ใน 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเรขาคณิต เล่ม 7, 8 และ 9 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีตัวเลข เล่ม 10 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้วยจำนวนอตักยะ เล่ม 11, 12 และ 13 เกี่ยวข้องกับเรื่องราว รูปเรขาคณิตทรงตัน และปิดท้ายด้วยการกล่าวถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม และข้อพิสูจน์เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม 

      ผลงานของยูคลิดเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางมาก และกล่าวกันว่าผลงาน The Elements เป็นผลงานที่ต่อเนื่อง และดำเนินมาก่อนแล้วในเรื่องผลงานของนักคณิตศาสตร์ยุคก่อน เช่น ทาลีส (Thales), ฮิปโปเครตีส (Hippocrates) และพีธากอรัส อย่างไรก็ตาม หลายผลงานที่มีในหนังสือนี้เป็นที่เชื่อกันว่าเป็นบทพิสูจน์และผลงานของยูคลิดเอง ผลงานของยูคลิดที่ได้รับการนำมาจัดทำใหม่ และตีพิมพ์เผยแพร่ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1482 หลังจากนั้นมีผู้นำมาตีพิมพ์อีกมากมายนับจำนวนครั้งไม่ถ้วน
    หลักการหา ห.ร.ม.ที่ง่ายที่สุดและรู้จักกันดีจนถึงปัจจุบันคือ ให้นำตัวเลขจำนวนน้อยหารตัวเลขจำนวนมาก เศษที่เหลือมาเทียบกับเลขจำนวนน้อย จับหารกันไปเรื่อย ๆ ทำเช่นนี้จนลงตัว ได้ ห.ร.ม. เป็นเลขที่ลงตัวตัวสุดท้าย 
     ดังตัวอย่าง การหา ห.ร.ม. ของ 330 กับ 140 
   
a = bq1 + r2 ,    0  <  r2  <  b ;     330 = 140 . 2 + 50;  
b = r2q2 + r3 ,    0  <  r3  <  r2 ;     180 = 50 . 2 + 40;  
r2 = r3q3 + r4 ,    0  <  r4  <  r3 ;     50 = 40 . 1 + 10;  
..........    ..........     40 = 10 . 4  
rn-2 = rn-1qn-1 + rn ,    0  <  rn  <  rn-1 ;  
rn-1 = rnqn  
ห.ร.ม. ของ (330, 140) คือ 10
 

       ผลงานของยูคลิดยังมีอีกมากมาย โดยเฉพาะในเรื่องราวเกี่ยวกับตัวเลข ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ เรื่องของแสง ทางเดินของจุดบนเส้นโค้งและผิวโค้ง รูปกรวยและยังมีหลักการทางดนตรี อย่างไรก็ตาม หลักสูตรหลายอย่างได้สูญหายไป

อาร์คิมีดีส Archimedes



สิ่งที่เป็นผลงานและเป็นที่กล่าวอ้างถึง

 - กฎของอาร์คิมีดีส (Archimedes Principle) ที่กล่าวว่า "ปริมาตรของวัตถุส่วนที่จมลงในน้ำย่อมเท่ากับปริมาตร  ของน้ำที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ" ซึ่งกฎข้อนี้ได้นำใช้  ประโยชน์ในการหาความถ่วงจำเพาะของวัตถุ             
- ประดิษฐ์เครื่องทุ่นแรง ได้แก่ คานดีดคานงัด รอก ระหัดวิดน้ำ และล้อกับเพลา             
- อาวุธสงคราม ได้แก่ เครื่องเหวี่ยงหิน กระจกเว้ารวมแสง และเครื่องปล่อยท่อนไม้

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์


ผลงานเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน
         ผลงานสำคัญของเกาส์ในด้านทฤษฎีจำนวน คือหนังสือที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2344 (ค.ศ. 1801) ชื่อว่า Disquisitiones Arithmeticae เนื้อหาในหนังสือเล่มนี้ เกี่ยวกับการนำเสนอ เลขคณิตมอดุลาร์ (modular arithmetic) ที่เป็นระบบจำนวนภายใต้การหารแบบเหลือเศษ และบทพิสูจน์แรกของทฤษฎี ส่วนกลับกำลังสอง (quadratic reciprocity) ซึ่งในปัจจุบันมีบทพิสูจน์ที่แตกต่างกันหลายแบบ 
แต่เกาส์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ ในปี พ.ศ. 2339 (ค.ศ. 1796)

ผลงานเกี่ยวกับทฤษฎีแม่เหล็กและไฟฟ้า
          ในปี พ.ศ. 2374 (ค.ศ. 1831) เกาส์ได้ร่วมงานกับ วิลเฮล์ม เวเบอร์ ซึ่งเป็นนักฟิสิกส์ วิจัยเกี่ยวกับแม่เหล็ก สร้างสหพันธ์แม่เหล็ก (Magnetic Union) โดยร่วมมือกับประเทศต่างๆ ทั่วโลก เพื่อศึกษาเกี่ยวกับแม่เหล็กโลก งานเกี่ยวกับแม่เหล็กของเกาส์และเวเบอร์ ได้ถูกนำไปพัฒนาเป็นเครื่องโทรเลขในยุคแรกๆ นอกจากนี้ยังค้นพบ กฎของเกาส์ ในสนามไฟฟ้า ซึ่งนำไปสู่ กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์ (โดยรวมกับไดเวอร์เจนซ์ของ กฎของแอมแปร์) ที่เป็นหนึ่งในกฎพื้นฐานที่สุดของวงจรไฟฟ้า

วิธีกำลังสองต่ำสุด ความผิดพลาดในการวัด และการกระจายตัวแบบเกาส์
          ในปี ค.ศ. 1809 เกาส์ได้ทำงานวิจัยเกี่ยวกับเรื่องการเคลื่อนไหวของวัตถุท้องฟ้า และได้สร้างค่าคงที่ gaussian gravitational constant ขึ้นมา นอกจากนี้ในงานวิจัยชิ้นนี้ยังได้คิดค้น วิธีกำลังสองต่ำสุด (method of least squares) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้กันทั่วไปในวิทยาศาสตร์ปัจจุบันในการลดผลกระทบจากค่าความผิดพลาดจากการวัดให้เหลือน้อยที่สุด โดยเกาส์ได้พิสูจน์ถึงความถูกต้องของวิธีนี้ เมื่อมีสมมุติฐานว่าค่าความผิดพลาดที่เกิดจากการวัดมี การกระจายตัวแบบปกติ (normal distribution) (เป็นสาเหตุให้คนทั่วไปนิยมเรียกกันว่าการกระจายตัวแบบเกาส์(gaussian distribution)) (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมที่ ทฤษฎีบทเกาส์-มาร์คอฟ) 
          แม้ว่าวิธีกำลังสองต่ำสุดนี้มีนักคณิตศาสตร์ชื่อดังคือ เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ ได้นำเสนอไว้ก่อนแล้วในปี พ.ศ. 2348 (ค.ศ. 1805) แต่เกาส์อ้างว่าเขาคิดค้นและใช้วิธีนี้มาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2338 (ค.ศ. 1795)

เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด
          ที่ผ่านมาจะเห็นว่า งานที่ตีพิมพ์ของเกาส์แต่ละอย่างนั้น ส่งผลกระทบต่อวงการวิชาการมากมายมหาศาล แต่อย่างไรก็ตาม งานของเกาส์ที่ไม่ถูกตีพิมพ์ก็ยิ่งใหญ่ไม่แพ้กัน ยกตัวอย่างเช่น เกาส์ได้ค้นพบ เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด (non-Euclidean geometries) ซึ่งส่งผลกระทบสำคัญ ต่อจินตนาการของมนุษย์ต่อธรรมชาติและโครงสร้างจักรวาล เทียบเคียงได้กับการปฎิวัติของโคเปอร์นิคัส ในสาขาดาราศาสตร์เลยทีเดียว. เนื่องจากตั้งแต่สมัยยุคลิด จนกระทั่งถึงสมัยของเกาส์นั้น สัจพจน์ทั้งหลายในเรขาคณิตแบบยุคลิด ถือว่าเป็นความจริงที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ แต่อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์รุ่นถัดมาจนถึงเกาส์
ก็สงสัยการกำหนดสัจพจน์บางอย่างของยุคลิดมาตลอด โดยเฉพาะสัจพจน์เส้นขนาน ที่กล่าวว่ากำหนดเส้นตรงหนึ่งเส้น และกำหนดจุดหนึ่งจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงนั้น จะมีเพียงเส้นตรงเส้นเดียวที่ผ่านจุดนั้นและขนานกับเส้นตรงเส้นแรก นักคณิตศาสตร์ได้สงสัยมานานว่า ทำไมเรื่องเส้นขนานนี้ถึงต้องเป็นสัจพจน์ เนื่องจากสัจพจน์ควรจะเป็นอะไรที่เข้าใจได้ง่ายๆ เช่น สัจพจน์ของจุด เป็นต้น เรื่องเส้นขนานที่ค่อนข้างซับซ้อนนั้น ควรที่จะเป็นทฤษฎีบท คือสามารถพิสูจน์ได้ด้วยสัจพจน์ที่เป็นมูลฐานอื่นๆ  มากกว่าที่จะเป็นสัจพจน์เสียเอง ยุคลิดเองก็ดูลังเลกับสัจพจน์ข้อนี้ โดยได้ให้เป็นสัจพจน์ข้อสุดท้ายในระบบเรขาคณิตของเขา
    
ฟังก์ชันเชิงวงรี
           นอกจากนั้น ในงานที่ไม่ได้ตีพิมพ์อื่นๆ เกาส์ยังได้ค้นพบทฤษฎีของ ฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic functions) หลาย ๆ อย่าง ซึ่งสำคัญมากในสาขาคณิตวิเคราะห์ (mathematical analysis) ก่อนหน้า ปีเตอร์ กุสตาฟ ยาโคบี และ นีลส์ เฮนริก อาเบล ซึ่งได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบสองคนแรก ตั้งแต่ตอนที่สองคนนี้ยังไม่เกิดทุกครั้งที่ยาโคบีค้นพบสิ่งใหม่ ๆ ยาโคบีจะมาหาเกาส์ด้วยความดีใจ และในแทบทุกครั้ง ยาโคบีต้องถึงกับตะลึง เมื่อเกาส์ได้โชว์งานเก่า ๆ ของตัวเองในลังใบเดิมๆ ให้ดู ยาโคบีถึงกับพูดกับน้องชายของเขาว่า "วงการคณิตศาสตร์คงจะพัฒนาไปอีกไกลเป็นแน่แท้ ถ้าพวกดาราศาสตร์ปฏิบัติ ไม่ดึงตัวสุดยอดอัจฉริยะผู้นี้ ออกไปจากวิถีที่ยิ่งใหญ่ของเขา("Mathematics would be in a very different position if practical astronomy had not diverted this colossal genius from his glorious career")

อัลเบิร์ต ไอน์สไตล์ (Albert Einstein)


Comments