Conjectura de Collatz

Una activitat d'escola...

Aquests tipus de problemes poden inspirar activitats de classe molt riques tant per Primària com per Secundària.

Un exemple

Per a alumnes de vuit anys, es pot presentar una versió modificada com aquesta: "Triar un nombre entre 0 i 100. Si és parell, es divideix per 2. Si és senar, li sumem 1" (s'ha anul·lat la multiplicació per 3 i acotat a 100).

Repetim aquest procés fins a arribar a 1.

Amb quin nombre aconsegueixo fer la seqüència més llarga?

L'Ana va portar aquest problema a la seva classe de 3r de primària de l'escola "Can Sorts" de Sentmenat. Per explicar les instruccions va partir d'un cuc en el que el primer nombre era el 24 plantejant que el cuc "s'acabaria" quan arribessin al nombre 1.

La primera discussió ja va ser com calcular la meitat de 24, cosa no elemental a 3r. Les intervencions varen ser moltes i en destaquem una que mai haguéssim imaginat.

Alumna: 12

Mestra: Com ho has calculat?

Alumna: Doncs com que un dia té 24 hores però els rellotges en tenen dotze i han de donar dues voltes, la meitat de 24 és 12.

Poc a poc es va arribar a completar el cuc i a comptar que tenia 7 anelles

Arribats aquí i un cop més familiaritzats amb el càlcul de meitats, en una altra sessió la mestra va plantejar trobar un cuc més llarg, amb la condició que el primer nombre no podia ser més gran de 40. Molts alumnes van pensar que seria el 40, es va dibuixar a la pissarra: tenia 9 anelles.

Es va començar a discutir a partir de preguntes de la mestra si realment era el més llarg. Hem triat dues intervencions d'alumnes d'aquelles que sorprenen per la seva "qualitat matemàtica":

Mestra: El cuc té 9 anelles. Es el més llarg? Serà el més llarg perquè el 40 és el nombre més gran?

La resposta majoritària va ser si, fins que...

Alumna: jo no hi estic d'acord ja que si el nombre és més gran quan li fas meitat aleshores n'hi treus més que no si el nombre és més petit

Mestra: Voleu provar a veure si en en trobeu un de 10 anelles?

Gairebé immediatament un alumne va aixecar la ma i va dir: El 39 ja que si li sumo 1 vaig al 40, i aleshores com que el de 40 en té 9 el de 39 en tindrà 10

A partir d'aquí van anar fabricant cucs en grup fins que van trobar el més llarg, però això es feina que us deixem per vosaltres. I és que una bona activitat i unes bones preguntes, uns alumnes educats en el repte, i una mestra que els estiri poden fer meravelles.