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Razones, proporciones y porcentajes

Razones
 
 
Razón: Resultado de comparar dos cantidades.
 
          Dos cantidades se pueden comparar de dos maneras: Hallando en cuando excede uno del otro, restándolos, o hallando cuántas veces contiene uno al otro, es decir dividiendolas.
 
  • Razón aritmética: Es la diferencia entre dos cantidades.
  • Razón geométrica: Es el cociente de dos cantidades.
 
           Por ejemplo, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe 6-4 y la razón geometrica de 8 a 4 se escribe 8/4. En términos de razón geométrica 8 se le llama antecedente y al 4 consecuente.
 
 
Propiedades de la razón aritmética
 
            Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantridades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma y resta.
 
PRIMERA PROPIEDAD: Si al antecedente de le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida en dicha cantidad.
 
Sea la razón aritmética 15 -  5= 10, si le sumamos al antecedente el número 3 entonces tendríamos (15+3)-5=13. Como se observa el resultado aumento 3.
Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al antecendente el número 4 entonces tendríamos (54-4)-27=23. Como se observa el resultado disminuyo 4.
 
SEGUNDA PROPIEDAD: Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.
 
Sea la razón aritmética 15 -  5= 10, si le sumamos al consecuente el número 3 entonces tendríamos 15 - (5+3)=7. Como se observa el resultado disminuyo 3.
Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al consecuente el número 4 entonces tendríamos 54 - (27-4)=23. Como se observa el resultado aumento 4.
 
TERCERA PROPIEDAD: Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se le suma o se le resta un mismo número, la razón no varia.
 
Sea la razón aritmética 15 -  5= 10, si le sumamos al antecedente y consecuente el número 3 entonces tendríamos (15+3) - (5+3)=10. Como se observa el resultado no cambia.
Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al antecedente y consecuente el número 4 entonces tendríamos (54-4) - (27-4)=27. Como se observa el resultado no cambia.
 
 
Propiedades de la razón geométrica
 
        Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados.
 
PRIMERA PROPIEDAD: Si al antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
 
Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al antecedente el número 3 entonces tendríamos (15*3)/5=9. Como se observa el resultado quedo multiplicado por 3. (3*3)=9
Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al antecendente el número 4 entonces tendríamos (54/4)/27=0.5. Como se observa el resultado quedo dividido por 4. (2/4)=0.5
 
SEGUNDA PROPIEDAD: Si al conseceunte de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número. 
 
Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al consecuente el número 3 entonces tendríamos 15/(5*3)=1. Como se observa el resultado quedo dividido por 3. (3/3)=1
Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al consecuente el número 4 entonces tendríamos 54/(27/4)=8. Como se observa el resultado quedo multiplicado por 4. (2*4)=8
 
TERCERA PROPIEDAD: Si al antecedente y conseceunte de una razón geometrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varia.
 
Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al antecendente y consecuente el número 3 entonces tendríamos (15*3)/(5*3)=3. Como se observa el resultado no cambio.
Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al antecendente y consecuente el número 4 entonces tendríamos (54/4)/(27/4)=2. Como se observa el resultado no cambio.
 
 
NOTA: Una razón es una relación entre dos números, que dan un coceinte abstracto, es decir, no especifica unidades de referencia . Una fracción especifica un número concreto, es decir, su cociente expresa las partes de una unidad. Por ejemplo, no es lo mismo una naranja/dos naranjas a 1/2 naranja.
 
 
 
Proporciones
 
Proporción: Igualdad de dos razones.
  • Proporción aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas.
  • Proporción geométrica: Esla igualdad de dos razones geométricas.
        Por ejemplo a-b=c-d y a/b=c/d, donde sus elementos son a,c antecedentes, b,d consecuentes o b,c medios y a,d extremos. Cuando los extremos o los medios de una proporción son iguales decimos que la proporción es contínua y las que no, ordinarias.
 
Propiedades de las proporciones aritméticas
 
PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios a-b=c-d.
 
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8+7=9+6 o sea 15=15.
 
SEGUNDA  PROPIEDAD: En toda proporción aritmética, la suma o la diferencia de antecedentes es la suma o la diferencia de consecuentes, como un antecendente es a su consecuente (a-b)=(c-d)=(a+/-c)-(b+/-d)
 
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8- 6=9-7=(8+9)-(6+7)=(17-13)
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8- 6=9-7=(8-9)-(6-7)=(2-2)
 
Corolarios de las proporciones aritméticas
 
1) En toda proporción aritmética, un extremo es igual a la diferencia de sus medios, menos el otro extremo. a-b=c-d, a=c-d+b.
 
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8=9-7+6.
 
2) En toda proporción aritmética, un medio es igual a la suma de sus extremos, menos el medio. a-b=c-d, b=a+d-c.
 
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 6=8+7-9.
 
3) Media aritmética, es cada uno de los términos medios de una proporción aritmética continua. a-b=b-c, la media arimética es b. La media aritmética es igual a la semisuma de los extremos b=(a+c)/2.
 
Sea la proporción aritmética 8- 6=6-4, la media aritmética es 6, 6=(8+4)/2.
 
 
Propiedades de las proporciones geométricas
 
PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, a/b=c/d, axd=cxb. 
 
Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6x2=3x4 o sea 12=12.
 
SEGUNDA  PROPIEDAD: En toda proporción geométrica, la suma o la diferencia de antecedentes es la suma o la diferencia de consecuentes, como un antecendente es a su consecuente a/b=c/d=(a+/-c)/b+/-d)
 
Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6/4=3/2=(6+3)/(4+2)=11/6
Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6/4=3/2=(6-3)/(4-2)=3/2
 
Corolarios de las proporciones geométricas
 
1) En toda proporción geométrica, un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo a/b=c/d, a=(b*c)/d.
 
Sea la proporción geométrica 6/4=3/2, tenemos: 6=(4*3)/2.
 
2) En toda proporción geométrica, un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio a/b=c/d, b=(a*d)c.
 
Sea la proporción geométrica 6/4=3/2, tenemos: 4=(6*2)/3.
 
3) Media geométrica, es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua. a/b=b/c, la media geomértica es b. La media geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.  b=RAIZ((a*c),2).
 
Sea la proporción geométrica 9/6=6/4, la media geométrica es 6, 6=RAIZ((9*6),2).
 
4) Cuarta proporcional, al cálculo de un término cualquiera de una proporción ordinaria, conocidos los otros tres se le llama cuarta proporcional.
 
Sea la proporción geométrica 8/b=4/5, la cuarta proporcional es b=10.
 
5) Tercera proporcional, al cálculo de uno cualquiera de lops términos que no se repiten en una proporción continua.
 
Sea la proporción geomértica a/8=8/4, la tercera proporcional es a=16
 
 
 
 
 
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