Função Logarítmica


Lembretes dicas e truques para alunos e professores.



Função Logarítmica


         Logarítmos

         Definição:  log b a = c Û bc = a, com a > 0 e 1 b>0. Onde a é o logaritmando ou antilogarítmo, b é a base e c é o logaritmo.

Exemplo 1: log6 36 = x Û 6x = 36 Û 62 = 6xÛ x = 2

Exemplo 2: O domínio da função f(x) = log3 (x – 5) é restrito pela sua condição de existência. A base (3) já é positiva e diferente de 1, devemos então ver a restrição imposta ao logaritmando, oou seja:

x – 5 > 0 -> x > 5, assim: D = {x Î R| x > 5}

         Conseqüências da definição:

o        log a1 = 0

o        log aa = 1

o        log aan = n

o        aloga b = b

o        log ba = log bc <-> b = c

Exemplos:

1) Calcular o valor da expressão:

Resolução:

Resposta: 5

2) Calcular x na igualdade log5 (x –1 ) = log5 7

Resolução:

CE: x –1 > 0 -> x > 1

Como as bases são iguais , os logaritmandos devem ser iguais, logo:

log5 (x –1 ) = log5 7 -> x – 1 = 7 -> x = 8

Resposta:

x = 8

   Propriedades operatórias:

o        log a(M . N) = log aM + log aN

o        log a(M / N) = log aM – log na

o        log aMN = N . log aM

o        Cologarítmo: log a1/b = - log ab = colog ab

o        Mudança de base: log ab = log cb / log ca

                                     log ab . log ca = log cb

                                            log ab = 1 / log ba

Exemplo

1) Calcular o valor de log3 (9 . 27)

Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos:

log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5

Resposta: 5

2) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular:

a)      log 24

b)      log 9Ö8

Resolução:

a)      log 24 = log (23 . 3) = log 23 + log 3 = 3 log 2 + log 3 = 3x +  y

b)      log 9Ö8 = log 9 + log Ö8 = log 32 + log Ö(23) = 2 log 3 + 3/2 . log 2 = 2y + 3x/2 = (4y + 3x)/2

Respostas: a) 3x + y, b) (4y + 3x)/2

3) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6

Resolução:

Como log 2 e log 3 estão na base 10, vamos passar log2 6 para a base 10:

log­26 = log 6/log 2 = log (2.3)/log 2 = (log 2 + log 3)/log 2 = (0,3 +0,4 )/0,3 = 7/3

Resposta:7/3

         Função logarítmica

         Toda função f : R -> R definida por f (x) = log ax, com a E R, 0 < a 1 e x E R, é denominada função exponencial de base a.

         Gráfico

  • o       Quando a > 1 -> crescente                                                                             
    Quando 0 < a < 1 -> decrescente

   Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos:

                           x > 0  ,   a > 0   e   a 1


f(x) = log x

f(x) = log x

         Equação logarítmica

         Resolução de uma equação:

1) Observar a condição de existência (CE);

2) Resolver a equação;

3) Verificar se as soluções satisfazem a condição de existência:

Log ab = x ->b = ax 

Exemplo:

1) Resolver a equação log4 x = 2

Resolução: CE: x > 0

Log4 x = 2 -> x = 42 -> x = 16

Verificação: x > 0 -> 16 > 0 (verdadeiro)

Resposta: S = { 16 }

2) Determinar o conjunto solução da equação logx(3x2 – x) = 2

Resolução: CE  

  • 3x2 – x > 0
    x>0 e x 1
              

logx (3x2 – x) = 2    ->  

  • 3x2 – x = x2
  • 2x2 – x = 0
  • x (2x – 1) = 0

 x´= 0

x´´=1/2

Verificação:

Para x = 0
0 – 0 > 0 (F)
para x = ½
3.1/4 – ½ > 0 (V)
½ > 0  e ½ ¹1 (V)
Resposta: S = {1/2}

         Estudo do sinal

Quando a > 1  ->  log a x > 0  «  x > 1                 Quando 0 < a < 1 -> log a x < 0  «  x > 1

                             log a x = 0  «  x = 1                                                   log a x = 0  «  x = 1

                             log a x < 0  «  0 < x <1                                              log a x > 0 «  0 < x < 1

         Inequação logarítmica

         Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:

o        Quando a > 1 -> x2 > x1  «  log a x2 > log a x (conserva o sentido da desigualdade)

             Quando 0 < a < 1  ->  x2 > x1  «  log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)

Exemplos:

1) Resolver a inequação log3(5x – 1) > log3 4

Resolução: Devemos inicialmente resolver a condição de existência:

5x – 1 > 0 -> x > 1/5 (I)

Como a base é maior que 1, a função é crescente (conserva o sinal)

5x – 1>4

x > 1 (II)

Tomando a intersecção entre os intercalos (I) e (II): x>1

Resposta: {x Î R| x > 1}

2) Resolver a inequação log1/2 (x – 3) ³ log1/24

Resolução:

CE: x – 3 > 0 -> x > 3 (I)

Como a base é menor que 1 , temos que a função é decrescente.

4 ³ x – 3

3 + 4 ³ x

7 ³ x (II)

tomando a intersecção de (I) e (II), 7 ³ x > 3.

Resposta: S ={x Î R| 7 ³ x > 3.}