Estudo da Parábola

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Estudo da Parábola


 

         Dado um ponto f (foco) e uma reta r (diretriz), denomina-se parábola o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de F e de r.

d(P,F) = d(p,r)



Equação reduzida


Y2 = 4px

( se p > 0 – concavidade p/ direita e se p < 0 – concavidade p/ esquerda)


X2 = 4py

( se p > 0 – concavidade p/ cima e se p < 0 – concavidade p/ baixo)

Observações:

1)      Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal



Equação: (y – k)2 = 4p(x – h)

Diretriz: x = h – p

Coordenadas do foco:  F(h + p, k)

2)      Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical


Equação: (x – h)2 = 4p(y – k)

Diretriz: y = k – p

Coordenadas do foco: F(h, k + p)

Exemplos:

1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

 

Resolução:  Temos p/2 = 2 p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

 

2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

 

Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

 

3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

 

Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

 

4)  Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

 

Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.