Estudo da Hipérbole

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Estudo da Hipérbole


 

         Dados dois pontos F1 e F2 ( focos ) e um segmento de medida 2a, denomina-se hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano tais que:

êPF1 – PF2 ê=  2a

Equação reduzida

X2 / a2 – Y2 / b2 = 1

Y2 / a2 – X2 / b2 = 1

Relação entre os coeficientes

F1F2 = 2c

V1V2 = 2a         ®    c2 = a2 + b2

M1M2 = 2b

A excentricidade da hipérbole é dada por: e = c / a

Observações:

1)      Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x

    (x – h)2 / a2 + (y – k)2 / b2 = 1

2)      Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y

    (y – k)2 / a2 + (x – h)2 / b2 = 1

Assíntotas da hipérbole

As retas r1 e r2 que contém as diagonais do retângulo da figura são denominadas assíntotas da hipérbole.


Exemplos

 

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

 

Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
x2/16 – y2/25 = 1
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resp: 1,60.

 

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

 

Resolução:

Dividindo ambos os membros por 225, vem:

x2/9 – y2/25 = 1

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

 

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.


Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:
x2/a2 – y2/b2 =1

 

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo: