Estudo da Elipse

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Estudo da Elipse


 

         Dados dois pontos F1 e F2 ( focos ) e um segmento de medida 2a, denomina-se elipse o lugar geométrico (LG) dos pontos do plano tais que:

PF1 + PF2 = 2a

Equação reduzida

X2/a2 + Y2/b2 = 1 , com a > b

X2/b2 + Y2/a2 = 1, com a > b

Relação entre os coeficientes

Eixo maior: V1V2 = 2a

Eixo menor: M1M2 = 2b            ®    a2 = b2 + c2

Distância focal: F1F2 = 2c

A excentricidade da elipse é o número e, tal que: e = c / a

Observações:

1)      Se eixo maior da elipse paralelo ao eixo x

      (x – h)2 / a2 + (y – k)2 / b2 = 1 , a > b

2)      Se eixo maior da elipse paralelo ao eixo y

      (y – k)2 / a2 + (x – h)2 / b2 = 1 , a > b

Exemplos:

1 ) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.

Resolução:

Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
x2/25 + y2/16 =1
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resp: 3/5 ou 0,60.

 

2 ) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225.

 

Resolução:  dividindo ambos os membros por 225, vem:

x2/25 + y2/9 =1

Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).

 

3 ) Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2 – 400 =0.

 

Resolução: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia entre os focos será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).