Estudo da Circunferência

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Estudo da Circunferência


 

·         Definição: É o conjunto de pontos em um plano que eqüidistam de um ponto fixo. Exemplo: Anel, Bambolê,...

·         Características: 
- Ponto Central e Raio; CP = r

·         Equação Reduzida da Circunferência:
(x-a)2 + (y-b)2 = r2

Se o centro da circunferência coincidir com a origem, temos: x2 + y2= r2

·         Equação Geral de Circunferência:
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

·         Identificação de uma Circunferência:
- Para identificar se existe, ela deve possuir raio e um ponto Central;
- Para fazer isso apenas compare a equação genérica Reduzida ou Geral com a dada. Na geral basta dividir o coeficiente do x por -2a ,  e o do y por -2b .
- Para achar o raio: a2 + b2  =  r2

Posições Relativas entre Ponto e Circunferência

·         Externo:
d > r ;
d - r > 0

·         Interno:
d < r
d - r < 0

·         Pertence a Circunferência:
d = r
d - r = 0

Posições entre Reta e Circunferência 

·         Tangente:
d = r

·         Secante:
d <  r

·         Externo:
d > r

·         Para resolver exercícios basta fazer um sistema (não linear) entra as equações da reta e da circunferência, que vai resultar em uma parábola onde: (A = delta)
- A > 0 : Secante ( 2 pontos comuns )
- A = 0 : Tangente ( 1 ponto comum )
- A < 0 : Externo ( nenhum ponto comum )

Posições Relativas Entre duas Circunferências

·         Não se interceptam:   (d = distância entre os Centros)

o        Externamente:
d > r1 + r2

o        Internamente:
d < |r1 - r2|

·         São Tangentes:

o        Externamente:
d = r1 + r2

o        Internamente:
d = |r1 - r2|

·         São Secantes:

|r1 - r2| < d < r1 + r2

·         Caso particular: Concêntricas:

d = 0

Exemplos:

1)      Dada o equação reduzida de uma circunferência (x – 1)2 + (y + 4)2 = 9, dizer qual a origem e o raio da circunferência:

Resolução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica reduzida de uma circunferência:

x0 = 1

y0 = -4

r2 = 9 Þ r = 3

Resposta: Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.

2) Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x – 2y +6 = 0, observar  posição relativa dos seguintes pontos

a)      P(2, 1)

b)      Q(5, 1)

c)      R(6, 2)

Resoluções:

a)      22 + 12 – 6.2 – 2.1 +6 = -3 <0

P é interno à circunferência

b)      52 + 12 – 6.5 – 2.1 +6 = 0

Q Percente à circunferência

c)      62 + 22 – 6.6 – 2.2 +6 = 6>0

R é externo à circunferência

Obs.: o modo utilizado é bastante prático, mas é preciso ter certeza que a equação trata-se se uma circunferência antes de usa-lo.

3)      Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y – 2 = 0 e a circunferência l: (x – 1)2 + (y – 5)2 = 5

Resolução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, isolando o y da reta e jogando na equação da circunferência teremos:

y  = 2 – 2x

x2 + (2 – 2x)2 – 2x – 10 . (2 – 2x) + 21 =0

x2 + 2x +1 =0

Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solução x = -1, o que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia a circunferência.

4)      Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 9, que sejam paralelas à reta s: 2x + y – 1 = 0

Resolução: Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja, como de fato está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo paralelas a s, manterão o coeficiente angular e poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 , bastando, então, encontrar os valores de c:

As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):

dC,t = |c|/Ö5 = 3

c =± 3Ö5

Portanto t1 : 2x + y + 3Ö5 = 0 e t2 : 2x + y - 3Ö5= 0