Estudo da Reta

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Estudo da Reta


 

·         Inclinação da reta (T):      - 0º<T<180º
É o ângulo formado pela reta e o eixo X, do eixo para a reta (no sentido ANTI-HORÁRIO);

·         Coeficiente Angular (m) ou declividade da reta:
m = tg(T)
- T < 90º : m > 0 ;
- T > 90º : m < 0 ;
- T = 90º : m não existe ;
- T = 0º   : m = 0 ;

·         Cálculo do coeficiente Angular:
 m = Yb - Ya / Xb - Xa = -a / b

·         Equação Fundamental da Reta:
Y - Yo = m (X - Xo)     Onde:
- P(Xo,Yo) é o Ponto conhecido a ser substituído na fórmula;  
- m é o Coeficiente Angular;

·         Equação Geral da Reta:
aX + bY + c = 0

·         Equação Reduzida da Reta:
Y = mX + q        Onde:
- m = -a / b  (Coeficiente Angular)
- q = -c / b   (coeficiente Linear - ponto onde a reta toca o Eixo Y);

·         Equação Segmentaria da Reta:
       m = -q / p
X/p + Y/q = 1

·         Retas Especiais:

Posições Relativas entre Duas Retas no Plano

         Dadas as retas: r = mx + q e s = mx + q

·         Paralelas : m(r) = m(s) e q(r) ¹ q(s)
     r // s

·        Concorrentes:  m(r) ¹ m(s)

 

·        Retas Perpendiculares


m(r) . m(s) = -1
m(r) = -1 / m(s)

·        Coincidentes

m(r) = m(s) e q(r) = q(s)

 

Mediatriz de um Segmento

·         É uma reta que passa no ponto médio e perpendicularmente ao segmento:

m(AB) = -1 / m(M)

Ponto Simétrico


- P' é simétrico de P;
- r e s formam um ângulo de 90º;

Ângulo entre Duas Retas


Distância de um ponto a uma reta

Temos: P(Xo,Yo)      r: aX + bY + c = 0
    Logo:
                              

- Os coeficientes a, b e c vem da equação da reta enquanto que as coordenadas x0 e y0 vem do ponto dado;

Bissetrizes entre duas Retas

·         Qualquer ponto da bissetriz é eqüidistante das retas;

d P,r = d P,s


- Bissetriz é o conjunto de pontos que eqüidistam das retas

Exemplos:

1)      Dado os pontos A(2, 3) e B(3, 5) de uma reta r, determinar sua equação reduzida:

Resolução:

m = (5 – 3)/(3 –2) = 2

y – y0 = m (x – x0)

y – 3 = 2 (x – 2)

y = 2x – 1

Resposta: r: y = 2x – 1

2)      Obter a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(2, -1) e B(1, 3)

Resolução:

Obter a equação geral de r eqüivale a resolver a equação:

  = 0

Pois ela é condição de alinhamento para os pontos de uma reta.

Resolvendo, por Sarrus o determinante, chegamos a s: 4x + y – 7 = 0

Resposta: s: 4x + y – 7 = 0

3)      Qual a equação segmentária da reta r: y = 3x – 2?

Resolução:

Fazendo x = 0, temos y = 3 . 0 – 2 Þ y = -2.

Fazendo y = 0, temos 0 = 3 . x – 2 Þ x = 2/3.

Assim P(0 , -2) e Q(2/3, 0) são os pontos onde a reta corta os eixos coordenados, a equação segmentária da reta é assim:

Reposta: r:

4)      Achar o ponto de interseção das retas r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0 .

Resolução: Para a achar o ponto de interseção basta resolver o sistema:

 

2x + 5y – 3 = 0

x – y + 2 = 0

cuja solução é x = -1 e y = 1

Reposta: o ponto de interseção é (-1, 1)

5)      Determinar a posição relativa entre as retas r: y = 3x + 1 e s: 9x – 3y – 8 = 0

Resolução:

Isolando o y na equação de s temos: y = 3x – 8/3

Assim m(r) = m(s) = 3

Vemos também que q(r) ¹q(s) (1 ¹ -8/3)

O que significa que as retas são paralelas.

Resposta: as retas são paralelas.

6)      Qual o ângulo entre as retas r: 3x – y + 5 = 0 e s: 2x + 3y – 3 = 0.

Resolução:

Isolando o y de ambas as retas temos que m(r) = 3 e m(s) = -2/3

Resposta: q = arctg 11/3.

7)      Calcule a distancia entre o  ponto P(2 , 3) e a reta r dada pela equação 3x – 4y +1 = 0

Resolução:

Basta usarmos a  fórmula:

Resposta: dP,r = 1

8)      Encontrar as equações das bissetrizes entre r: 3x + 4y – 12  = 0 e s: 8x + 6y – 5 = 0

Resolução:

Þ(3x + 4y – 12)/5 ±(8x + 6y – 5)/10 = 0 Þ 6x + 8y - 24±(8x + 6y – 5) = 0

 

6x + 8y – 24 + 8x + 6y – 5 = 0 Þ 14x + 14y – 29 = 0

6x + 8y – 24 - 8x - 6y + 5 = 0 Þ 2x – 2y + 19 = 0

Resposta: b1 = 14x + 14y – 29 = 0 e b2 = 2x – 2y + 19 = 0