Poliedros

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Poliedros


 

         Denomina-se poliedros o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. Os polígonos são denominados faces do poliedro, já os lados e vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro.

 

         Os poliedros são classificados de acordo com o número de faces, assim temos:

Tetraedro: poliedro convexo com 4 faces

Pentaedro: poliedro convexo com 5 faces

Hexaedro: poliedro convexo com seis faces

Heptaedro: poliedro convexo com 7 lados

Icosaedro:  poliedro convexo com 20 lados

 

Relação de Euler: V – A + F = 2

onde: V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

 

Soma dos ângulos: S = (V – 2)360o

 

Poliedros regulares

         O poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são polígonos regulares, todas com o mesmo número de lados , e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de arestas. Há somente cinco poliedros regulares, que são:

 

     Nome

        M

        N

        V

        A

         F

         S

Tetraedro

         3

        3

        4

        6

         4

       720o

Hexaedro

         3

        4

        8

       12

         6

      2160o

Octaedro

         4

        3

        6

       12

         8

      1440o

Dodecaedro

         3

        5

       20

       30

        12

      6480o

Icosaedro

         5

        3

       12

       30

        20

      3600o

 

Onde, temos que:

M = número de arestas concorrentes em cada vértice

N = número de lados de cada face

V = número de vértice do poliedro

A = número de arestas do poliedro

F = número de faces do poliedro

S = soma dos ângulos de todas as faces do poliedro

 

Exemplos:

1)      Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

 

Resolução:

6 faces quadrangulares -> 6 . 4 = 24 arestas

4 faces triangulares       -> 4 . 3 = 12 arestas

 

Número total de arestas = 36

 

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 36 -> A = 18

Aplicando a relação de Euler, temos:

A + 2 = V + F -> 18 + 2 = V + 10 -> V = 10

 

Resposta: O poliedro tem 10 faces, 18 arestas e 10 vértices.

 

2)      Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

 

Resolução:

A + 2 = V + F -> A + 2 = 12 + 8 -> A + 2 = 20 -> A = 18

 

Resposta: O poliedro possui 18 arestas.