Prismas

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.




Prismas


Paralelepípedo retângulo

d = 

At = 2(ab+ac+bc)

V = Ab . h

 

 

Cubo

d = a

At = 6a2

V = a3

 

 

Triangular regular

Ab = Aequilatero = l2 / 4
Aface = Aretângulo
Al = 3 Af
At = Al + 2Ab

V = Ab . h

 

 
Quadrangular regular

Ab = l2
Aface = Aretângulo

Al = 4 Aface

At = Al + 2 Ab

V = Ab . h

 

Hexagonal regular

Ab = 6 Aequilatero = 6 .  l2 / 4

Af = 6 Aretangulo

Al = 6Af
At = Al + 2Ab

V = Ab . h

 

Exemplos:

1)      Determinar a área total S e o volume V de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 2Ö29 m , sabendo que suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 4.

 

Resolução:

Sendo a, b e c as dimensões, temos:

a/2 = b/3 = c/4 = k -> a = 2k, b =3k, c =4k (I)

 

Com a diagonal d = 2Ö29, temos:

d  = 2Ö29 -> d2 = 116 -> a2 + b2 + c2 =116 (II)

 

Substituindo (I) em (II), resulta:

4k2 + 9k2 + 16k2 = 116 -> 29k2 = 116 -> k2 = 4 -> k = 2

 

Substituindo k = 2 em (I), temos a = 4, b = 6 e c = 8

 

A área S é dada por:

S = 2 (ab + ac + bc) -> S = 2 (4 . 6 + 4 . 8 + 6 . 8) -> S = 208

 

Para o volume V, temos:

V = a . b . c -> V = 4 . 6 . 8 -> V = 192

 

Resposta: S = 208 m2 e V = 192 m3

 

2)      Se um cubo tem 5 cm de aresta, qual sua área S, sua diagonal d e seu volume V?

 

Resolução:

S = 6 a2 -> S = 6 . 52 -> S = 150 cm2

 

d = a Ö3 -> d = 5Ö3 cm

 

V = a3 -> V = 53 -> V = 125 cm3

 

Resposta: S = 150 cm2 , d = 5Ö3 cm e V = 125 cm3

 

3)      Calcule a área da base Ab, a área lateral Al, a área total At e o volume V de um prisma regular hexagonal de 5cm de altura e 2Ö3 cm de apótema da base:

 

Cálculo do lado l da base:

O apótema é a altura de um dos 6 triângulos equiláteros em que  base pode ser dividida, daí:

aÖ3/2 = 2Ö3 -> a = 4

 

Área da base:

A área de um hexágono regular é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero cujamedida do lado é igual à do lado do hexágono.

Assim:

Ab = 6 a2 Ö3/4 -> Ab = 3 (4)2 Ö3/2 -> Ab = 24Ö3 cm 2

 

Área  lateral

Al = 6 . A face lateral -> Al = 6 . (l.h) -> Al = 6 . 4 . 5 -> Al = 120 cm2

 

Área total

At  = Al + 2Ab -> At = 120 + 2.(24Ö3) -> At = 24 (5 + 2Ö3) cm2

 

Volume

V = Ab . h -> V = 24 . Ö3 . 5 -> V = 120Ö3 cm3