Estudo das Probabilidades

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.

 






Estudo das Probabilidades


 

·                     Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício (casos possíveis);

·                     Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis);

         EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas.

         Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}.

         Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas – {(PPV),(PVP),(VPP)}.

                                   2) três bolas tem a mesma cor – {(PPP),(VVV)}

·                     Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.
P(E) = n(E) / n(S)

n(E) = no de elementos do evento / n(S) = no de elementos do espaço amostral

Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:

a)      As duas cartas dão damas

b)      As duas cartas são de ouros

Resolução

a)      Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral:

1º possibilidade: 52

2º possibilidade: 51

Þ n(U) = 52. 51 = 2652

Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.

Temos duas damas; portanto: A4, 2 = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12

P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221

b)      Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A13 , 2 = 13 . 12 = 156

P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17

Respostas: a)1/221  b)1/17

 

Adição de probabilidades

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)

Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?

Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A  = {3} Þ n(A) = 1

                          ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3

A B = {3} Þ n(A B) = 1

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) – n(A B)/n(U)

P(AUB) = 1/6 + 3/6 –1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%

Resposta: 50%

Probabilidade do evento complementar

P(A) + P(Ac) = 1

Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo – se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a)      Ambas não estejam estragadas

b)      Pelo menos uma esteja estragada

Resolução:

a)      Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas:

n(U) = (102) = 10!/2!.8! = 45 maneiras

Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas:

n(A) = (72) = 7!/2!.5! = 21 maneiras

P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15

b)      Ac é o evento: pelo menso uma furta está estragada.

P(A) + P(Ac) = 1Þ 7/15 + P(Ac) = 1

P(Ac) = 1 – 7/15 Þ P(Ac) = 8/15

Respostas: a) 7/15   b) 8/15

 

Probabilidade condicional

P(A/B) = n(A B) / n(B)

Exemplo: Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 estudam física e matemática. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também estudar física.

Resolução: n(M F) = 5

n(M) = 45

P(F/M) = n(F M)/n(M) = 5/45 = 1/9

Resposta: 1/9

·                     Probabilidade esperada e probabilidade observada:
Lançamento de moeda
- cara = ½ = 0.5
- coroa = ½ = 0.5
(probabilidade esperada)

·                     Probabilidade de ocorrência de um outro evento:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - eventos mutuamente exclusivos.

·                     Regra do ou:
Ex: Em 1 dado qual a probabilidade de se obter os nº 2 ou 3?
      P(2 ou 3) = P(2) + P(3)
      = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33 = 33%

·                     Probabilidade de ocorrência de um e outro evento. (REGRA DO "E")
P(A e B) = P(A) x P(B) - "eventos independentes" ·
Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados?
      P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36