Divisão de Polinômios

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.

 






Divisão de Polinômios


Quando queremos dividir um polinômio f(x) por um g(x), buscamos um quociente q(x) e um resto r(x) (o grau de r tem que ser menor que o grau de g(x) ou r(x)º0) de modo que f(x) = g(x).q(x) + r(x)

O método básico da divisão de polinômios (método das chaves) se parece bastante com a divisão algébrica usada normalmente por todos nós. Este método consiste em :

1) dividir o termo de maior grau de f(x) pelo de maior grau de g(x): 2x2/2x = x, obtendo assim o primeiro termo do quociente q(x).

2) multiplicamos o quociente obtido, x, por g(x): x.(2x – 1) = 2x2 – x. O resultado é colocado com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de f(x).

3) Somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x) que não tem semelhantes devem ser copiados. Obtemos um resto parcial.

4) Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o grau de r se torne menor que  grau de g.

Veja esse exemplo:

Teorema do Resto:


Válido para divisões de polinômios p(x) (de grau maior que um) por binômios do tipo q(x) = x - a (a pertencente aos C). Procede-se da seguinte forma: 

1)                  Calcular a raiz do divisor ( no caso );

2)                  O resto da divisão será p(a).

Exemplo: Determinar a divisão de f(x)  = 3x4 – x3 + 2 por g(x) = x – 1 sem efetuar a divisão

Resolução:

1)                 x –1 = 0 Þ x = 1

2)                 r = f (1) = 4

            Resposta: O resto é 4.

Teorema de D’Alembert

Um polinômio f(x) é divisível por x – a  se , e somente se, a é raiz de f(x).

Exemplo: Determinar m de modo que f(x) = x3 – 4x2 + mx – 5 seja divisível por x – 3

Resolução:

Pelo teorema de D´Alembert, x = 3 é raiz de f(x), isto é , f(3)  = 0. Daí:

0 = 33 – 4.32 + m.3 – 5 Þ m = 14/3

Resposta: m = 14/3

Dispositivo de Briot - Ruffini :

É um método pratico que serve apenas para casos em que o divisor é de grau 1. Os Passos são os seguintes:

Primeiro se coloca os coeficientes e a raiz nos seus devidos lugares (ver exemplo);

Desce o  primeiro coeficiente, o qual multiplicará a raiz e somará com o segundo coeficiente;

Assim segue o processo, quando ele terminar os números que aparecem na parte de baixo são os coeficientes de um polinômio de um grau abaixo do dividendo com exceção do último número que é o resto;

Exemplo: Dividir f(x) = 3x3 - 4x2 - x + 1 por g(x) = x – 2:

Resolução:

 Resposta: q(x) = 3x2 + 2x + 3 e r = 7