Polinômios

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.

 






Polinômios


Denomina-se função polinomial ou polinômio toda função definida pela relação:
P(X) = an . Xn + an-1 . Xn-1 + an-2 . Xn-2 + ... + a2 . X2 + a1 . X + a0 
Onde an , an-1 , ... , a1 , a0 são os coeficientes do polinômio e cada parte (an . Xn ) é chamada monômio;

Grau de um polinômio:

É o máximo grau observado entre seus monômios. Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.

Ex: P(x) = x3 – 7x2 + 2x –15 Þ gr(P) = 3

Valor Numérico:

É o valor obtido substituindo X por um numero Z pertencente aos Complexos.
-Obs.: Quando P(z) = 0 dizemos que z é raiz do polinômio;

Ex: A Raiz do polinômio p(x) = x3 + 4x2 + mx – 3 é igual a –2. Podemos assim calcular o valor de m:

(-2)3 + 4(-2)2 + m(-2) – 3 = 0 Þ 5 – 2m = 0 Þ m = 2/5

Polinômios identicamente nulo

Um polinômio é identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a zero. P(x) = 0, para qualquer que seja x E R. Indicamos p(x)º0.

Ex.: Dado que p(x) = (a-1)x2 + (b+3)x + c é um polinômio nulo, podemos determinar a, b e c, impondo que todos os coeficientes de p(x) sejam iguais à zero:

a – 1 = 0
b + 3 = 0        donde a = 1, b = -3 e c = 0
c  = 0

Polinômios Idênticos:

Dois polinômios são idênticos quando os seus coeficientes forem ordenadamente iguais. 
- Indicamos:   p(x) º q(x).

Ex.: Os polinômios p(x) = ax2 + (b - 1)x + 3 e q(x) = -2x2 + 5x – c  são idênticos quando a = -2, b - 1 = 5 Û b = 6  e – c = 3 Û c = -3 . 

Adição, Subtração e Multiplicação de polinômios: 

o        Adição: Soma-se os coeficientes dos diversos monômios de mesmo grau;

o        Subtração: Subtrai-se os coeficientes dos diversos monômios de mesmo grau;

o        Multiplicação: Usa-se a propriedade distributiva para realizar a multiplicação.

Exemplos:

1) Dados os polinômios f(x)= 2x – 1, g(x) = 3x2 – 5x +1 e h(x) = -x2 – 3, vamos determinar g(x) – f(x).h(x):

Resolução:

g(x) – f(x).h(x) = 3x2 – 5x +1 -  (2x – 1)(-x2 – 3)

fazendo a multiplicação, vem:

3x2 – 5x +1 -  (-2x3 – 6x + x2 + 3) = 2x3 + 2x2 + x –2

Resposta: g(x) – f(x).h(x) = 2x3 + 2x2 + x –2

2) Os polinômios f(x)  = -2x +a e g(x) = x + b são tais que f(x) . g(x) º -2x2 – 3x –1. Determine a e b:

Resolução:

(-2x + a) (x + b) º -2x² - 3x –1 

            -2x² + ( -2b + a) x + ab º -2x² - 3x – 1

            Da identidade de polinômios seque que:

             -2b + a = -3 (I)
             ab = -1 Þ a = - 1/b (II) 

                          

           Substituindo (II) em (I):                        

           -2b – 1/b =  -3 Þ 2b² - 3b + 1 = 0 Þ    

 b = ½ Þ a = - 1/b = -2

  ou  
 b = 1 Þ a = - 1/b =-1