Números Complexos

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.

 






Números Complexos - C


- Maior dos conjuntos -  engloba todos os outros e acrescenta recursos especiais como raiz quadrada de número negativo;
- Para darmos interpretação às raízes quadradas dos números negativos adotaremos uma unidade imaginária i , onde, por definição, i2 = -1

Exemplo: Resolva a equação algébrica x2  + 100 = 0, no campo dos complexos

Resolução:

x2  + 100 = 0

x = ±Ö-100

x = ±10i

S={-10i,10i}

 

  • Potências de i:
    - i0 = 1 ; 
    - i1 = i ; 
    - i2 = -1 ; 
    - i3 = -i ; 
    - i4 = 1     : (i2 . i2 ); 
    - i5 = i      : (i4 . i );
    - i6 = -1   : (i4 . i2 );
    - i7 = -i    : (i6 . i );
    Para calcularmos uma potência de i, divide-se o expoente por 4 e adota-se como novo expoente do i o resto dessa divisão.

Exemplo: i78 e (-2i)8:

a)      i78

Resolução:

78 : 4 = 19 + 2¬resto

Assim: i78 = i2 = -1

Resposta: i78 = -1

b)      (-2i)8

Resolução:

(-2i)8 =  (-2)8. i8 = 256 . i8

Como i8 = i0 = 1,

(-2i)8 = 256

Resposta: (-2i)8 = 256

  • Forma Algébrica de um Número Complexo:
    É uma das maneiras de representar um número complexo.
    Z = a + bi           Onde:
     - a e b pertence aos Reais;
     - a é a parte real do complexo. Indicamos: Re(Z) ; 
     - b é a parte imaginária do complexo. Indicamos IM(Z) ; 
    Exemplos:
     - Z1 = -10 + 4 i     (-10 = Re(Z1) , 4 = Im(Z1) ) - Número Imaginário;
     - Z2 = 11             (11  = Re(Z2) , 0 = Im(Z2) ) - Número real ;
     - Z3 = 3i              (  0 = Re(Z3) , 3 = Im(Z3) ) - Número Imaginário Puro ;
  • Operações com Complexos:
    • Adição: Para adicionarmos dois ou mais complexos, deveremos somar suas partes reais e imaginárias respectivamente; Ex: Z1+Z2 = (a + bi) + (c + di) = a +bi + c + di = (a+b) + (b+d)i
    • Subtração: Para subtrairmos dois ou mais complexos, devemos subtrair suas partes reais e imaginárias respectivamente; Ex: Z1- Z2 = (a + bi) – (c + di) = a+ bi – c - di =  (a-c) + (b-d)i
    • Multiplicação: Para multiplicarmos números complexos, aplicamos a propriedade distributiva; Ex: Z1. Z2 = (a+bi) (c+di) = ac + adi + bci + + bdi2 = ac +adi +bci +bd(-1) = (ac-bd) + (ad+bc)i 
    • Divisão: Para dividirmos 2 complexos basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador;
      • Observação: Conjugado de um número complexo:
         - Troca o sinal da parte imaginária; Ex: Z= a + bi, Z = a - bi

Exemplos:

1)                  Determinar x Î R e y Î R para que se tenha (x + yi).(3 – 2i) = -2 + 10i

Resolução:

Aplicando a distributiva, temos:

3x – 2xi +3yi - 2y i2= -2 + 10i

(3x + 2y) + (-2x + 3y)i = -2 + 10i

daí:

  • 3x + 2y = -2
  • -2x + 3y = 10

Cuja solução é x = -2 e y = 2

Resposta : x = -2 e y = 2

2)                  Efetue 

Resolução

 

         Plano de Gauss

         Dada a forma algébrica a+bi, uma outra forma de representá-la é escrevendo-a como par ordenado de números reais (a,b). Como por exemplo: z = 5 – 2i = (5, -2). Este número é representado em um sistema de coordenadas ortogonais, que é chamado plano complexo ou plano de Gauss, onde o eixo x é chamado de eixo real e o eixo y, eixo imaginário. O ponto, ou par ordenado, é chamado de afixo ou imagem.

 

Exemplo:

Vamos determinar a imagem geométrica dos números complexos:

Z1= 3 + 2i,

Z2=-1 + i

Z3= 4 – 3i

Z4= -2 - i

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Módulo de um número Complexo:
     Chamamos de módulo de um complexo a distância de seu afixo (complexo marcado no plano de Gauss - ponto) até a origem do plano de Gauss.
        ƒ = X2 + Y2
  • Argumento de um Número Complexo:
    É o angulo (Teta = q) formado entre o eixo real e o segmento que representa módulo do complexo, tomando sentido anti-horário.
    Cos q = X / ƒ 
    Sen q= Y / ƒ
    - Obs.: Representar em radianos e saber reduzir o ciclo trigonométrico ao 1º quadrante;

 

Exemplo :

Determine o argumento de Z = ½ + i Ö3/2

Resolução:

Primeiro calculamos o módulo:

ƒ=Ö[(½)2 + (Ö3/2)2]

ƒ=1

Cos q = X / ƒ =1/Ö2=Ö2/2                   logo,  q = 3p/4        
Sen
q= Y / ƒ = -1/Ö2=-Ö2/2

Resposta: q = 3p/4 rad

  • Forma Trigonométrica ou Polar: 
    Z = a + b i                          Cos Q = a / ƒ           Sen Q = b / ƒ
    Z = ƒ (cos Q + i sen Q )    ;

Exemplo:

Passe o número complexo do exemplo anterior para sua forma polar:

Resolução:

Z = ½ + i Ö3/2

ƒ=1

q = 3p/4

Z = (cos 3p/4 + i sen 3p/4)

  • Multiplicação de Complexos na forma Trigonométrica:
    Z1 =  ƒ1 (cos q1 + i sen q1 )            Z2 = ƒ2 (cos q2 + i sen q2 )   
    Z1 . Z2 = ƒ12 [ cos (q1 + q2) + i sen (q1 + q2)] ;

Exemplo

Sendo Z1 = 2 [cos(p/3) + i sen(p/3)] e Z2 = 3 [cos (p/6) + i sen(p/6)], calcule Z1.Z2.

Resolução:

Z1.Z2 = 2.3. [cos(p/3+p/6) + i sen(p/3+p/6)]

Z1.Z2 = 6.[cos(p/2) + i sen(p/2)]

Resposta : Z1.Z2 = 6.[cos(p/2) + i sen(p/2)]

 

  • Divisão de complexos na forma trigonométrica:     

Z1 =  ƒ1 (cos q1 + i sen q1 )            Z2 = ƒ2 (cos q2 + i sen q2 )   

Z1/ Z2 =  ƒ12 .[ cos(q1q2) = i sen (q1q2)]

Exemplo:

Sendo Z1 = 8 [cos(3p/2) + i sen(3p/2)] e Z2 = 2 [cos (p/6) + i sen(p/6)], calcule Z1/Z2.

Resolução:

Z1/Z2 = 8/2. [cos(3p/2-p/6) + i sen(3p/2-p/6)]

Z1/Z2 = 4.[cos(4p/3) + i sen(4p/3)]

Resposta : Z1/Z2 = 4.[cos(4p/3) + i sen(4p/3)]

  • Potenciação na forma Trigonométrica  (1º Formula de Moivre):
    Zn = Z.Z.Z.Z.....   (n vezes)
    Zn = ƒn . [cos(n. q) + i sen(n. q)]

 

Exemplo: Obter o valor de ( ½ + i ½ )12

Resolução:

Seja Z = ( ½ + i ½ ), cujo afixo é P( ½. ½ )

O módulo de z: é r = Ö[( ½ )2 + ( ½ )2] = Ö2/2

Daí temos que sen (q ) = Ö2/2 e  cos (q ) =  Ö2/2  Þq = p/4

Assim, a forma trigonométrica de Z é :

Z = Ö2/2 [ cos p/4 + i sen p/4]

Pela primeira fórmula de Moivre temos que :

Z12 = (Ö2/2 )12 [ cos (12.p/4) + i sen (12.p/4)]

Z12 = (1/2 )6 [ cos (3p) + i sen (3p)]

Como 3p é côngruo de p, temos:

Z12 = (1/2 )6 [ cos (p) + i sen (p)] = 1/64 . (-1 + i.0) = - 1/64

Reposta: Z12 = - 1/64