Progressões Geométricas

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.

 






Progressões Geométricas - P.G.


  Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

·         Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)
Observamos que:
        4 = 2 x 2
        8 = 4 x 2
        16 = 8 x 2       
- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q); 

·         Representação Matemática:
q = an / an-1

·         Classificação:

1.       (2,6,18,54,...)  -  P.G. Crescente ;

2.       (-2,-6,-18,-54,...)  -  P.G. Decrescente;

3.       (6,6,6,6,6,...)  -  P.G. Constante  -   q = 1 ;

4.       (-2, 6, -18, 54,...)  -  P.G. Alternante   -  q < 0 ;

·         Termo Geral da P.G.:
- a2 = a1 x q
- a3 = a2 x q  ou a3 = a1 x q2
an = a1 . qn-1

·         Três números em P.G.:
x/q , x , x.q

·         Interpolação Geométrica:
Exemplo:  1,__,__,__,__,243
  a6 = a1 .q5
  
243= 1.q5
   
q = 3
  Logo: (1,3,9,27,81,243);

·         Soma dos Termos de uma P.G. finita:
Sn = a1 . (qn - 1) / q-1

·         Soma dos Termos de uma P.G. infinita:
 - Se expressões do tipo qn quando: 0 <q<1 ou n ®¥ (tende a infinito);
     qn = 0  (Aproximadamente)
    Sn = a1 / 1-q

 

Exemplos:

1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG

Resolução:    n= 6

                     a1 = 2

                     a6 = 486

a6 = a1.q5

486 = 2 . q5

q = 3

 

Resposta: q = 3

 

2)                  Ache a progressão aritmética em que:

a1 + a2 + a3 = 7

a4 + a5 + a6 = 56

Resolução:

transformando, temos:

a1 + a1 .q + a1. q2 = 7     Þ a1 (1 + q + q2 ) = 7              I

a4 + a5 + a6 = 56             Þ a1.q3(1 + q + q2 ) = 56         II

Dividindo-se II por I :

q3 = 8 Þ q = 2

de I vem:

a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1

Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

 

3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

 

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:

a1 = 3

an = 48

n = 3 + 2 = 5

Devemos, então, calcular q:

an = a1.qn-1

48 = 3 . q4

q = ±2

Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)

Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)

 

 

4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

 

Resolução:

a1 = x                    
q = 3x/x= 3
an =  729x
Sn= 5465

 

Cálculo de n:

 

an= a1q  n-1

729x = x . 3 n-1 (veja que x ¹ 0)

729 = 3 -1

36 = 3 n-1

n = 7

 

Sn = a1 . (qn - 1) / q-

5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1)

x = 5

 

Resposta: x = 5

 

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

 

Resolução:

 

 0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ...   (uma PG)

a1 = 0,31

q = 0,01

 

Sn = a1 / 1-q

Sn = 0,31/1-0,01

Sn= 31/99

 

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99