Progressões Aritméticas

Lembretes dicas e truques para alunos e professores.

 






Progressões Aritméticas - PA


         Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.

 

Sejam as seqüências:

(2, 6, 10, 14, 18, 22, ...)

(30, 25, 20, 15, 10, 5, ...)

 

6 = 2+ 4

25 = 30+ (-5)

 

10 = 6+ 4

20 = 25+ (-5)

 

14 = 10+ 4

15 = 20+ (-5)

 

18 = 14+ 4

10 = 15+ (-5)

 

- Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo anterior somado de um número fixo.
- Toda seqüência que tiver lei de formação chama-se Progressão Aritmética (PA).
- A esse número fixo damos o nome de razão (r).

  • Representação matemática:
    (a1, a2, a3, a4, a5, ... an-1, an, an+1, ...)
    r = a2 – a3
    r = a3 – a2
     
    r = an – an-1
    r = an+1 – an
  • Classificação:
    Uma PA pode ser:

a.      crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2

b.      decrescente: (r < 0) - (7, 5, 3, 1, -1, -3, ...)_ r = -2

c.      constante: (r = 0) - (9, 9, 9, 9, ...)

·         Fórmula do termo geral de uma PA:
(a1, a2, a3, ....., an-1, an)

      a2 = a1 + r

       a3 = a2 + r = a1 + 2r

      .....

     an = a1 + (n-1)r

     an = termo geral n = n-ésimo termo

     a1 = primeiro termo

     = razão

 

 

         Expressões Gerais:

1)      “n-ésimo”número par positivo: an = 2n   (n > 1)

2)      “n-ésimo número ímpar positivo: an = 2n – 1   ( n > 1)

3)      soma dos ‘n”primeiros números pares positivos – PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)

4)        soma dos “n”primeiros números ímpares positivos – PA = (1,3,5,...,2n-1): Sn = n2

5)      Três números em PA
x - r, x, x + r

6)      Cinco números em PA
x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r

7)      Quatro números em PA
x - 3r, x - r, x + r, x + 3r

·         Interpolação Aritmética:
Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .
X , __ , __ , __ , Y
- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

·         Propriedades da P.A.:

1.       Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; an = an-1 + an-1  /  2 

2.       Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...

·         Soma dos termos de uma P.A. Finita:

Sn = (a1 + an ) n / 2

Onde a1 é o primeiro termo, an o último termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.

 

Exemplos:

 

1)   Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

 

Resolução: Observamos que o primeiro termo da PA é 25 e o último é 620, daí:

 

an = a1 + (n-1)r

620 = 25 + (n-1)5

n = 120

 

2)   Três números estão em PA, de tal forma qu a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular  os três números.

 

Indiquemos (a1, a2, a3) = (x-r ,x ,x+r)

1º número =  x – r

2º número =  x

3º número =  x + r

 

Façamos um sistema com duas variáveis (x e r):

  • (x - r) + x + (x + r) = 18
  • (x - r).x.(x + r) = 66

Daí, x = 6, r = ± 5

Fazendo r = 5 teríamos (1 , 6 , 11)

Fazendo r = -5 teríamos (11 , 6 , 1)

Os números pedidos são 1, 6 e 11.

 

3)   Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

 

Resolução:

an = a1 + (n-1)r

124 = 100 +4n –4

n = 7

 

Como 7 é o número total de termos, devemos interpolar 7 – 2 = 5 meios.

Resposta: 5 meios

 

4)   Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos do 1 termo formam uma PA.

 

Resolução: Na PA temos

a1 = 1

an = x

Sn = 280

r = 6

 

Calculemos n usando a forma geral:

an = a1 + (n-1)r

x = 1 + (n-1)6

n = (x +5)/6

 

Vamos substituir na fórmula da soma

Sn = (a1 + an ) n / 2

280= (1 + x ) (x + 5) (1/6) (1/2)

x2 + 6x – 3355 = 0

daí,

x´=55

x´´=-61

Como a PA é crescente, x = 55

Resposta x = {55}