HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

      

Historia de la matemática

Página del Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (820 d.C.)

La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz sólo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son el Plimpton 322 (matemática babilónica c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (matemáticas en el Antiguo Egipto c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (Matemáticas en Egipto c. 1650 a. C.), y el Shulba Sutras (Matemáticas en la India c. 800 a. C.). Todos estos textos tratan sobre el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.[cita requerida]

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.1 Las matemáticas en el Islam, a su vez, desarrollaron y extendieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

Contenido

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[editar] Los inicios de la matemática

El hueso de Ishango, del 20000 al 18 000 a. C.

[editar] Prehistoria

Sistema chino de numeración con varillas.

Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos.2 También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C.,3 que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.4

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.5 6 El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida3 de una secuencia de números primos y de la Multiplicación por duplicación (aunque esto no ha sido probado).

[editar] Primeras civilizaciones

En el periodo predinástico de Egipto del 5º milenio a.C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del 3er milenio a.C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.7


Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C., en la Cultura del Valle del Indo, (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegación. La escritura hindú no ha sido descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.8 9

Por su parte, las primeras matemáticas en China datan de la Dinastía Shang (1600 - 1046 a.C ) y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga [2] [3]. Estos números fueron representados mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se escribía, de arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego el símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para el 3. Este era el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía hacer cálculos para usarlos con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de invención del suanpan no se conoce con certeza, pero la mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.

[editar] Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C.–500 a. C.)

Tablilla de arcilla YBC 7289.

[editar] Mesopotamia

Artículo principal: Matemática babilónica

Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas de la gente de Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio Árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.

En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850. Labradas en escritura cuneiforme, las tablillas fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.

Las evidencias más tempranas de matemáticas escritas datan de los antiguos sumerios, que constituyeron la civilización primigenia en Mesopotamia. Los sumerios desarrollaron un sistema complejo de metrología desde el 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios geométricos y problemas de división. Las señales más tempranas de los numerales babilónicos también datan de ese periodo.10

La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan del 1800 al 1600 a. C. y abarcan tópicos que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el cálculo de primos gemelos regulares recíprocos (véase Plimpton 322).11 Las tablillas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √2 con una exactitud de cinco posiciones decimales.

Las matemáticas babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, así como la de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta unidad de medida de ángulos en minutos y segundos. Los avances babilónicos en matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene muchos divisores. También, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de numeración posicional, donde los dígitos escritos a la izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de numeración. Carecían, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el verdadero valor de un símbolo debía deducirse del contexto.

[editar] Egipto

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el influjo árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."

El papiro de Rhind (hacia 1650 a. C. [4]) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,12 incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6)[5]. El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden[6], así como series aritméticas y series geométricas[7].

Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: (1) primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; (2) segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y (3) tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.

Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C. [8] [9]) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática [10].

[editar] Matemáticas en la antigua India (del 900 a. C. al 200 d. C.)

Artículo principal: Matemáticas en la India
Numerales Brahmi en el siglo I.

Las matemáticas védicas comenzaron en la temprana Edad del Hierro, con el Shatapatha Brahmana (hacia el siglo IX a. C.), donde se aproxima el valor de π con dos decimales.[11] y el Sulba Sutras (hacia el 800–500 a. C.) que eran textos de geometría que usaban números irracionales, números primos, regla de tres y raíces cúbicas; cálculo de la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales; un método para cuadrar el círculo; resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas; desarrollo algebraico de ternas pitagóricas y enunciado y demostración numérica del teorema de Pitágoras.

Pāṇini (hacia el siglo V a.C.) formuló las reglas gramaticales para el sánscrito. Su notación fue similar a la notación matemática moderna y usaba "metarreglas", transformaciones y recursiones con tal sofisticación que su gramática tenía el poder de cálculo equivalente a una máquina de Turing. Pingala (aproximadamente de los siglos III al I a.C.) en su tratado de prosodia usa un dispositivo correspondiente a un sistema binario de numeración. Su discusión sobre la combinatoria de métricas musicales corresponde al teorema binomial. La obra de Pingala también contiene ideas básicas sobre los números de Fibonacci, llamados mātrāmeru. La escritura Brāhmī se desarrolló al menos desde la dinastía Maurya, en el siglo IV a. C., con evidencias arqueológicas recientes que hicieron retroceder la fecha hacia el 600 a. C. Los numerales brahmi datan del siglo III a. C.

Entre el 400 a. C. y el 200 a. C., los matemáticos Jaina comienzan el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas. Ellos fueron los primeros en desarrollar los números transfinitos, la teoría de conjuntos, los logaritmos, leyes fundamentales de los índices, ecuaciones cúbicas y cuárticas, sucesiones y progresiones, permutaciones y combinaciones, cuadrados y extracción de la raíz cuadrada y potencias finitas e infinitas. El Manuscrito Bakhshali, escrito entre el 200 a.C y el 200 d. C., incluía soluciones de ecuaciones lineales con más de cinco incógnitas, la solución de la ecuación cuadrática, progresiones aritméticas y geométricas, series compuestas, ecuaciones cuadráticas indeterminadas, ecuaciones simultáneas y el uso del cero y los números negativos. También pudieron encontrarse cálculos exactos de números irracionales, que incluían raíces cuadradas de números tan grandes como un millón y con once decimales.

[editar] Matemáticas griegas en la Antigüedad (hasta el 300 d. C.)

Artículo principal: Matemática helénica

Las matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.13 Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.

Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.14 La idea de las matemáticas como un entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.).

Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Tales (hacia 624 a.C – 546 a.C) y Pitágoras (hacia 582 a. C. - 507 a. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.

Tales usó la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia.13 En su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas algebraicamente antes que de forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema "Que no pase nadie que no sepa Geometría".

Los Pitagóricos probaron la existencia de números irracionales. Eudoxio (408 al 355 a. C.) desarrolló el método de exhausción, un precursor de la moderna integración. Aristóteles (384 al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides (hacia el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. También estudió las cónicas. Su libro Elementos fue conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX.13 Además de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras, "Los elementos" incluye una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia 230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos.

Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.) usó el método de exhausción para calcular el área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita y dio una aproximación notablemente exacta de pi.15 También estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para el volumen de superficies de revolución y un ingenioso sistema para la expresión de números muy grandes.

[editar] Matemáticas en la China clásica (c. 500 AC – 1300 DC)

Las Nueve Lecciones del Arte Matemático.
Artículo principal: Matemáticas chinas

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en 212 AC que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral.

Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 AC, el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase Secuencia del Rey Wen).

La obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el 330 a. C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas.

Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Las nueve lecciones sobre arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.

En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 d. C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.); mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator.

Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 d. C.).

Zhang Heng (78–139 d. C.)

Zu Chongzhi (siglo V) de las Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años.

Incluso después de que las matemáticas europeas comenzasen a florecer durante el Renacimiento, las matemáticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con un significativo declive de las chinas, hasta que misioneros jesuitas como Matteo Ricci intercambiaron las ideas matemáticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII.

[editar] Matemáticas en la India clásica (hacia 400–1600)

Artículo principal: Matemáticas indias

El Surya Siddhanta (hacia el año 400) introdujo las funciones trigonométricas de seno, coseno y arcoseno y estableció reglas para determinar las trayectorias de los astros que son conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos explicados en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores, correspondían a un año sideral medio de 365.2563627 días, lo que sólo es 1,4 segundos mayor que el valor aceptado actualmente de 365.25636305 días. Este trabajo fue traducido del árabe al latín durante la Edad Media.16 17

Aryabhata, en 499, introdujo la función verseno, produjo las primeras tablas trigonométricas del seno, desarrolló técnicas y algoritmos de álgebra, infinitesimales, ecuaciones diferenciales y obtuvo la solución completa de ecuaciones lineales por un método equivalente al actual, además de cálculos astronómicos basados en un sistema heliocéntrico de gravitación. Desde el siglo VIII estuvo disponible una traducción al árabe de su Aryabhatiya, seguida de una traducción al latín en el siglo XIII. También calculó el valor de π con once decimales (3,14159265359).

En el siglo VII Brahmagupta identificó el Teorema de Brahamagupta, la Identidad de Brahmagupta y la Fórmula de Brahmagupta y, por primera vez en Brahma-sphuta-siddhanta, explicó claramente los dos usos del número 0: como un símbolo para rellenar un hueco en el sistema posicional y como una cifra y explicó el sistema de numeración hindo-arábigo. Fue a raíz de una traducción de su texto sobre matemáticas (hacia el 770) cuando las matemáticas islámicas tuvieron acceso a este sistema de numeración, que posteriormente adaptaron usando los numerales arábigos. Los estudiantes árabes exportaron este conocimiento a Europa hacia el siglo XII y terminó desplazando los sistemas de numeración anteriores en todo el mundo. En el siglo X un comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala incluía un estudio de la sucesión de Fibonacci y del Triángulo de Pascal y describía la formación de una matriz.[cita requerida]

En el siglo XII, Bhaskara II estudió diversas áreas de las matemáticas. Sus trabajos se aproximan a la moderna concepción de infinitesimal, derivación, coeficiente diferencial y diferenciación. También estableció el Teorema de Rolle (un caso especial del Teorema del valor medio), estudió la ecuación de Pell e investigó la derivada de la función seno. Desde el siglo XIV Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala ampliaron sus ideas. Desarrollaron el concepto de análisis matemático y números de punto flotante y conceptos fundamentales para el desarrollo global del cálculo, incluyendo el teorema del valor medio y la integración término a término; las relaciones entre el área bajo una curva y sus antiderivada o integral; el test integral para la convergencia; métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales y un buen número de series infinitas, series de potencias, series de Taylor y series trigonométricas. En el siglo XVI Jyeshtadeva consolidó la mayoría de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en el Yuktibhasa, el primer texto en la historia sobre el cálculo diferencial, donde también se introducían conceptos del cálculo integral.

El progreso matemático en la India se estancó a partir de finales del siglo XVI debido a conflictos políticos.

[editar] Matemáticas islámicas (hacia 800-1500)

Véase también: Números arábigos

El imperio islámico, establecido a lo largo del Oriente Medio, Asia Central, África del Norte, Iberia, y parte de la India, hizo aportes significativos en matemáticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, no todos fueron escritos por árabes, dado que, así como el griego era usado en el mundo helenístico, el árabe era usado como el lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo del mundo islámico en aquella época. Junto con los árabes, muchos otros importantes matemáticos islámicos fueron persas.

En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre los números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con números arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Compendio sobre el cálculo de complemento y equilibrio). Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo.18 Aportó una exhaustiva explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas,19 y fue el primero en enseñar el álgebra en sus formas más elementales.20 También introdujo el método fundamental de "reducción" y "balance", refiriéndose a la colocación de los términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que se encuentran en lados opuestos de una ecuación. Esta operación fue descrita originariamente por Al-Jarismi como al-jabr.21 Su álgebra no solo consistía "en una serie de problemas sin resolver, sino en una exposición que comienza con las condiciones primitivas que deben dar todos los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a partir de este momento serán objeto de estudio."

El posterior desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 D.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales.22 El historiador de las matemáticas, F. Woepcke,23 elogió a Al-Karaji por haber sido "el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico." También en el siglo X Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y desarrolló la función tangente. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en deducir la fórmula de la suma de las potencias cuartas, usando un método que puede generalizarse para determinar la fórmula general de la suma de cualquier potencia entera. Desarrolló una integración para calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar sus resultados para las integrales de polinomios más allá de cuarto grado. Incluso se acercó bastante a la fórmula general de la integral de polinomios, aunque no estaba interesado en polinomios de grado mayor que cuatro.24

En las postrimerías del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en los Elementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas y estableció los fundamentos de la geometría analítica y la geometría no euclídea. También fue el primero en encontrar la solución geométrica a la ecuación cúbica. También influyó en la reforma del calendario.[cita requerida]

[editar] Occidente y Edad Media

Ilustración de los Elementos de Euclides, hacia 1309 - 1316.

Durante la Edad Media las aplicaciones del álgebra al comercio, y el dominio de los números, lleva al uso corriente de los números irracionales, una costumbre que es luego transmitida a Europa. También se aceptan las soluciones negativas a ciertos problemas, cantidades imaginarias y ecuaciones de grado tres.

[editar] Matemática medieval en Europa

El desarrollo de las matemáticas durante la edad media es frecuentemente motivada por la creencia en un «orden natural»; Boecio las sitúa dentro del currículo, en el siglo VI, al acuñar el término Quadrivium para el estudio metódico de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música; en su De institutione arithmetica, una traducción de Nicómaco, entre otros trabajos que constituyeron la base de la matemática hasta que se recuperaron los trabajos matemáticos griegos y árabes.25 26

[editar] Renacimiento europeo

Durante el siglo XII, particularmente en Italia y en España, se traducen textos árabes y se redescubren los griegos.27 Toledo se vuelve un centro cultural y de traducciones; los escolares europeos viajan a España y a Sicilia en busca de literatura científica árabe 28 incluyendo el Compendio sobre el cálculo de complemento y balance de al-Khwārizmī, y la versión completa de los Elementos de Euclides, traducida a varios idiomas por Adelardo de Bath, Herman de Carinthia, y Gerardo de Cremona.29 30

El crecimiento económico y comercial que conoce Europa, con la abertura de nuevas rutas hacia el oriente musulmán, permite también a muchos mercaderes familiarizarse con las técnicas transmitidas por los árabes. Las nuevas fuentes dan un impulso a las matemáticas. Fibonacci escribe su Liber Abaci en 1202, reeditado en 1254, produce el primer avance significativo en matemática en Europa con la introducción del sistema de numeración indio: los números arábigos (sistema de notación decimal, posicional y con uso común del cero). En teoría enseñada en el Quadrivium, pero también destinada a la práctica comercial. Esta enseñanza se transmite en las botteghe d'abbaco o «escuelas de ábacos», en donde los maestri enseñaban la aritmética, la geometría y los métodos calculatorios a los futuros comerciantes, a través de problemas recreativos, conocidos gracias a «tratados de álgebra» que estos maestros han dejado.31 Aunque el álgebra y la contabilidad corren por senderos separados,32 para cálculos complejos que involucran interés compuesto, un buen dominio de la Aritmética es altamente valorado.

Hay un fuerte desarrollo en el área de las matemáticas en el siglo XIV,33 como la dinámica del movimiento. Thomas Bradwardine propone que la velocidad se incrementa en proporción aritmética como la razón de la fuerza a la resistencia se incrementa en proporción geométrica, y muestra sus resultados con una serie de ejemplos específicos, pues el logaritmo aún no había sido concebido;34 su análisis es un ejemplo de cómo se transfirió la técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnau de Vilanova.35

Los matemáticos como los Calculatores de Merton College de Oxford, al no poseer los conceptos de cálculo diferencial o límite, proponen medir la velocidad instantánea como la "trayectoria que habría seguido [un cuerpo] si... hubiese sido movido uniformemente con un mismo grado de velocidad con el que es movido en ese instante dado".34 Estos matemáticos determinan la distancia cubierta por un cuerpo bajo movimiento uniforme acelerado (hoy en día resuelto con métodos de integración). Este grupo, compuesto por Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton, tiene como principal éxito la elaboración del Teorema de la velocidad media. Usando un lenguaje cinemático y simplificado; más tarde, este teorema compondría la base de la "ley de la caída de los cuerpos", de Galileo. 34

Ritratto di Luca Pacioli, 1495, atribuido a Jacopo de'Barbari, (Museo di Capodimonte).

Nicolás Oresme en la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali, proveyeron -independientemente- una demostración gráfica de esta relación.34 En un comentario posterior a los Elementos, Oresme realiza un análisis más detallado en el cual prueba que todo cuerpo adquiere, por cada incremento sucesivo de tiempo, un incremento de una cualidad que crece como los números impares. Utilizando el resultado de Euclides que la suma de los números impares son los cuadrados, la cualidad total adquirida por el cuerpo se incrementará conforme el cuadrado del tiempo.36

Luca Pacioli escribe "Summa de Arithmetica, Geometría, Proportioni et Proportionalità" (Venecia, 1494), en donde se incluyen tratados de contabilidad y ecritura; si bien estaba dirigido a mercaderes o aprendices de mercaderes, también contenía acertijos y rompecabezas matemáticos.37 En Summa Arithmetica, Pacioli introduce símbolos por primera vez en un libro impreso, lo que se convirtió en una notación convencional. También es el primer libro conocido en contener álgebra (mucho del contenido es plagiado de Piero della Francesca).

Durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubren soluciones complejas a las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución de ecuaciones. Retomado por Tartaglia y publicado por Cardan, encuentran una primera formulación con Bombelli. Gerolamo Cardano publicará el Ars magna junto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572 Rafael Bombelli publica su L'Algebra, en el que demuestra cómo utilizar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres.

Hasta fines del siglo XVI, la resolución de problemas continúa siendo una cuestión retórica. El cálculo simbólico aparecerá en 1591, con la publicación del Isagoge Artem Analycitem de François Viète y la introducción de notaciones específicas para las constantes y las variables (este trabajo popularizado y mejorado por Harriot, Fermat y Descartes, modificará por completo el trabajo algebraico en Europa).

[editar] La Revolución Científica de los siglos XVII y XVIII

Las matemáticas se inclinan sobre aspectos físicos y técnicos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz crean el cálculo infinitesimal, con lo que se inaugura la era del Análisis Matemático, la derivada, la integración y las ecuaciones diferenciales.38

El universo matemático de comienzos del siglo XVIII está dominado por la figura de Leonhard Euler39 y por sus aportes tanto sobre funciones como la teoría de números, mientras que Joseph-Louis Lagrange alumbra la segunda mitad del siglo.

El siglo precedente había visto la puesta en escena del cálculo infinitesimal, lo que abría la vía al desarrollo de una nueva disciplina matemáica. el análisis algebraico, en el que, a las operaciones clásicas del álgebra, se añaden la diferenciación y la integración. El cálculo infinitesimal se aplica tanto en la física (mecánica, mecánica celeste, óptica, cuerdas vibrantes) como en geometría (estudio de curvas y superficies). Leonhard Euler, en Calculi différentialis (1755) y en Institutiones calculi integralis (1770) intenta establecer las reglas de utilización de los infinitos pequeños y desarrolla métodos de integración y de resolución de ecuaciones diferenciales. También se destacan los matemáticos Jean le Rond d'Alembert y Joseph-Louis Lagrange. En 1797, Sylvestre François Lacroix publica Traité du calcul différentiel et intégral que es una síntesis de los trabajos del Análisis del siglo XVIII. La familia Bernoulli contribuye al desarrollo de la resolución de las ecuaciones diferenciales.

La función se vuelve un objeto de estudio a parte entera. Se utiliza en problemas de optimización; se la desarrolla en series enteras o asintóticas; (Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), pero sin preocuparse de su convergencia. Leonhard Euler elabora una clasificación de funciones. Se intenta aplicarla a los reales negativos o complejos. El teorema fundamental del álgebra (existencia de raíces eventualmente complejas a todo polinomio) que tenía forma de conjetura desde hacia dos siglos, es revalorizado en la utilización de la descomposición en elementos simples necesaria para el cálculo integral. Sucesivamente, Euler (1749) y Lagrange (1771), intentan demostraciones algebraicas pero se enfrentan a la parte trascendente del problema (todo polinomio de grado impar sobre R posee una raíz real) que necesitará la utilización de un teorema de valores intermedios.40

La demostración de D'Alembert publicada en 1746 en los anales de la academia de Berlín, es la más completa pero contiene aún algunas lagunas y pasajes obscuros. Gauss, en 1799, que critica a D'Alembert sobre estos puntos, no está exento de los mismos reproches. Hay que hacer intervenir en un momento un resultado fuerte del Análisis que el siglo aún no conoce. Además, este obstáculo se sitúa en la cuestión de los puntos de bifurcación: es una cuestión ya debatida en la polémica sobre los logaritmos y los números negativos a la que pondrá fin Euler. La segunda y tercera demostración de Gauss no adolecen de estas carencias, pero ya no se inscriben dentro del mismo siglo.

En aritmética, Euler demuestra el pequeño teorema de Fermat y da una versión extendida a los números compuestos (1736-1760).

[editar] Japón

Véanse también: Sangaku y Seki Kōwa

Durante el período Edo (1603 - 1887), en Japón, se desarrolla una matemática sin influencia de la matemática occidental pero inspirada de la matemática china, orientada a problemas en esencia geométrica. Enigmas geométricos son propuestos y resueltos sobre tablillas de madera llamadas Sangaku.

[editar] Matemática moderna

[editar] Siglo XIX

La historia matemática del siglo XIX es inmensamente rica y fecunda. Demasiado como para ser abarcada en su totalidad dentro de la talla razonable de este artículo; aquí se presentan los puntos sobresalientes de los trabajos llevados a cabo durante este período.

Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la cuestión del rigor; esto se manifiesta en análisis con Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido tanto éxito el siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares, en este sigle, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicacines se desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del sistema solar. El dominio de la física, ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemáticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cinética química, ... son todas matematizadas.

[editar] Siglo XX

El siglo XX ve a las matemáticas convertirse en una profesión mayor. Cada año, se gradúan miles de doctores, y las salidas laborales se encuentran tanto en la enseñanza como en la industria. Los tres grandes teoremas que dominan los otros son: de un lado el teorema de Gödel; por otro lado la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, que implica la demostración del último teorema de Fermat; y por último la demostración de las conjeturas de Weil por Pierre Deligne. Muchas de sas nuevas disciplinas que se desarrollan o nacen se siguen a los trabajos de Poincaré, las probabilidades, la topología, la geometría diferencial, la lógica, la geometría algebraica, seguida a los trabajos de Grothendieck, entre otras.

En un discurso en 1900 al Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert propuso una lista de 23 problemas matemáticos. Esta lista, que toca varias áreas de las matemáticas, formó un foco central para muchos matemáticos del siglo XX. A la fecha (2011), 10 han sido resueltos, 7 parcialmente resueltos y 2 siguen abiertos; los 4 restantes están formulados de manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no.

Conjeturas notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basado en el trabajo de otros, probó el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel probaron que la hipótesis del continuo es lógicamente independiente de los (no puede ser probada o negada de) axiomas de la teoría de conjuntos. En 1998 Thomas Callister Hales probó la conjetura de Kepler.

Colaboraciones matemáticas de tamaño y dimensiónes imprecedentes toman lugar. Un ejmplo es la clasificación de grupos finitos simles (también llamada el "teorema enorme"), para cuya demostración entre 1955 y 1983 se requirieron 500 artículos impares de alrededor de 100 autores, llenando miles de páginas. Un grupo de matemáticos franceses, incluyendo Jean Dieudonné y André Weil, publican bajo el pseudónimo «Nicolás Bourbaki», con intención de exponer todo el conocimiento matemático como un todo riguroso coherente. El resultado de varias docenas de volúmenes ha tenido una influencia controversial en la educación matemática.41

La geometría diferencial se convirtió en objeto de estudio como tal cuando Einstein la utiliza en la relatividad general. Áreas enteramente nuevas de la matemática como lógica matemática, topología, y teoría de juegos de John von Neumann, cambian el tipo de preguntas a las cuales se podía dar respuesta con métodos matemáticos. Todo tipo de estructura fue reducido a un grupo de axiomas abstracto, y se les dio nombres como espacio métrico, espacio topológico, etc. Estos conceptos, a su vez fueron abstraídos hacia una teoría de categorías, como se suele proceder en matemáticas. Grothendieck y Serre relanzan la geometría algebraica utilizando teoría de haces. Grandes avances fueron hechos en el estudio cualitativo de la teoría de sistemas dinámicos que Poincaré había comenzado en los 1890's. La teoría de la medida fue desarrollada en los tardíos 1900´s y comienzos del siglo XX. Las aplicaciones de la medida incluyen la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. La teoría de nudos se extendió mucho. La mecánica cuántica llevó al desarrollo del análisis funcional. Otras nuevas áreas incluyen la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz, el teorema del punto fijo, la teoría de la singularidad y la teoría de las catástrofes de René Thom, la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de Lie, constituida por los grupos de Lie y las álgebras de Lie se volvieron áreas de gran interés.

La invención y el continuo progreso de las computadoras, al comienzo máquinas mecánicas analógicas y después máquinas electrónicas, permitieron trabajar con cantidades cada vez más grandes de datos, y surgieron áreas como por ejemplo: la teoría de la computabilidad de Alan Turing; la teoría de la complejidad computacional; la teoría de la información de Claude Shannon; el procesamiento de señales; el análisis de datos; la optimización y otras áreas de investigación de operaciones. En los siglos precedentes, muchos de los focos matemáticos estaban puestos en el cálculo y las funciones continuas, pero el surgimiento de la computación y la tecnología de las comunicaciones llevan a una importancia creciente de los conceptos de las matemáticas discretas y la expansión de la combinatoria, incluyendo la teoría de grafos. La velocidad y procesamiento de datos de las computadoras también les permitieron encargarse de problemas matemáticos que consumirían demasiado tiempo con cálculos hechos con papel y lápiz, llevando a áreas como el análisis numérico y el cálculo formal. Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX han sido: el algoritmo símplex, la transformada rápida de Fourier, la corrección de errores hacia adelante, el Filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de la criptografía asimétrica.

[editar] Siglo XXI

En el año 2000, el Clay Mathematics Institute anunció los siete problemas del milenio, y en 2003 la demostración de la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelmán (que declinó aceptar el premio).

La mayoría de las revistas de matemática tienen versión on line así como impresas, también salen muchas publicaciones digitales. Hay un gran crecimiento hacia el acceso libre, popularizada por el ArXiv.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

  1. Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  2. Henahan, Sean (2002). «Art Prehistory». Science Updates. The National Health Museum. Consultado el 06-05-2006.
  3. a b Old Mathematical Objects
  4. Matemáticas en África central antes de la colonización
  5. Kellermeier, John (2003). «How Menstruation Created Mathematics». Ethnomathematics. Tacoma Community College. Consultado el 06-05-2006.
  6. Williams, Scott W. (2005). «The Oldest Mathematical Object is in Swaziland». MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department. Consultado el 06-05-2006.
  7. Thom, Alexander, Archie Thom, 1988, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-33381-4.
  8. Pearce, Ian G. (2002). «Early Indian culture - Indus civilisation». Indian Mathematics: Redressing the balance. School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews. Consultado el 06-05-2006.
  9. http://www.bbc.co.uk/radio4/history/inourtime/inourtime_20061214.shtml Indian Maths (BBC)
  10. Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
  11. Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30–31.
  12. Egyptian Unit Fractions at MathPages
  13. a b c Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0
  14. Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp. 72–83 in Michael H. Shank, ed., The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: University of Chicago Press) 2000, p. 75.
  15. O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. (February 1996). «A history of calculus». University of St Andrews. Consultado el 07-08-2007.
  16. Véase en:History of the Hindu–Arabic numeral system
  17. Boyer (1991). «The Arabic Hegemony». p. 226.
  18. The History of Algebra. Louisiana State University.
  19. (Boyer, 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "Los seis casos de ecuaciones dadas dejaban agotadas todas las posibilidades de hallar ecuaciones lineales y cuadráticas con raíz positiva. Así que la sistematizacíon y la exhaustividad en la exposición de Al-Juarismi hizo que lo lectores tuvieran menos dificultades en el dominio de las soluciones."
  20. Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263–77: "En cierto sentido, Al-Juarismi tiene más derecho a ser apodado "el padre del álgebra" que Diofanto de Alejandría ya que Al-Juarismi es el primero en enseñar álgebra en sus formas elementales y por sí mismo, Diofanto está especialmente vinculado con la teoría de números".
  21. (Boyer, 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "No es del todo cierto que los términos al-jabr y muqabalah signifiquen exactamente eso, pero la interpretación usual es parecida a la implícita en la traducción anterior. La palabra al-jabr probablemente significa algo así como "restauración" o "conclusión" y parece hacer referencia a la transposición de términos restados al otro lado de la ecuación. La palabra muqabalah se refiere a "reducción" o "balance", con el significado de cancelación de los términos que se encuentran en lados opuestos de la ecuación."
  22. Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, pp. 255–59. Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1.
  23. F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. París.
  24. Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.
  25. Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp. 135–54 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell).
  26. Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
  27. Maurice Mashaal, p. 51.
  28. Véase fr: Traductions latines du XIIe siècle
  29. Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421–62 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  30. Guy Beaujouan, "The Transformation of the Quadrivium", pp. 463–87 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  31. Van Egmond, Warren, The Commercial Revolution and the beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500, éd. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, États-Unis, 628 p.
  32. Heeffer, Albrecht: On the curious historical coincidence of algebra and double-entry bookkeeping, Foundations of the Formal Sciences, Ghent University, November 2009, p.7 [1]
  33. Grant, Edward and John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and Its Applications to Science and Natural Philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.
  34. a b c d Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: University of Wisconsin Press), pp. 421–40.
  35. Murdoch, John E. (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", in Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d'Études Médiévales), at pp. 224–27.
  36. Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" Q. 14, pp. 560–65, in Marshall Clagett, ed., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (Madison: University of Wisconsin Press, 1968).
  37. Alan Sangster, Greg Stoner & Patricia McCarthy: "The market for Luca Pacioli’s Summa Arithmetica" (Accounting, Business & Financial History Conference, Cardiff, September 2007) p. 1–2
  38. Véase fr:Mathématiques en Europe au XVIIe siècle
  39. DahanPeiffer, p. 199
  40. Routes et Dédales, p 251
  41. Maurice Mashaal, 2006. Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3967-5, ISBN 978-0-8218-3967-6.

[editar] Enlaces externos

      La Historia de las Matemáticas en la Educación Universitaria
Ana Isabel Busto Caballero*
Meri E. Calvo Martín*
Mª del Carmen Escribano Ródenas**
* Dpto. de Economía Financiera y Contabilidad I
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Universidad Complutense de Madrid
Campus de Somosaguas.
28223 MADRID
Tfno.: 91.394.25.70
** Dpto. Métodos Cuantitativos para la Economía
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Universidad San Pablo- CEU
C/ Julián Romea, 23
28003 Madrid
Tfno.: 91.456.63.00 ext. 365
E-mail: escrod@ceu.es
Resumen:
Denis Guedj (2.000), en su libro “El teorema del loro” realiza la siguiente observación:
“Jonathan, como todos los estudiantes del mundo, había estudiado a
Tales en diversas ocasiones. En cada una de ellas, el profesor había
hablado del teorema pero nunca del autor. En las clases de matemáticas
nunca se hablaba de las personas sino de sus teorías. De vez en cuando se
mencionaba a Tales, Pitágoras, Pascal o Descartes, pero eran solamente
nombres, como los de una parada de metro o una marca de queso de
quienes no se decía ni dónde ni cuando habían vivido. Las fórmulas,
demostraciones y teoremas llenaban la pizarra sin indicar quién los había
creado, como si existieran desde siempre... . Con ello se conseguía que
los teoremas parecieran ... eternos”
Muchos alumnos piensan que las Matemáticas son eternas y estáticas, que hablan
de verdades inmutables y que en ellas todo está ya descubierto. Piensan que los
matemáticos son como semidioses dedicados a una ciencia fría, extraña, poderosa e
incomprensible para la mayoría de la gente. Pero …. ¿fomentamos nosotros esa idea
dejando a un lado la Historia de las Matemáticas y dando la idea, por omisión, de que
éstas son atemporales?, o por el contrario ¿contamos en nuestras clases las necesidades
y los problemas reales que hicieron pensar e investigar nuevos métodos matemáticos a
personas reales, con fecha y lugar de nacimiento?.
Este trabajo pretende dar algunas ideas de cómo introducir pinceladas de historia
en nuestras explicaciones diarias en el aula, a fin de intentar motivar a nuestros
alumnos.
Palabras Clave: Historia, didáctica, matemáticas, universidad.
2
La Historia de las Matemáticas en la Educación Universitaria
Todos conocemos el rostro de Francisco de Quevedo, con su pelo largo y
ondulado, sus grandes bigotes, su peculiar perilla, y como no, sus característicos
impertinentes. Todos recordamos “El buscón”, como una de sus obras más conocidas.
Francisco de Quevedo
También reconocemos a Miguel de Cervantes, con su cara alargada, bigotes y
barba a la moda de la época, vestido de negro y con los cuellos y los puños blancos y
almidonados que se llevaban entonces y casi siempre con una pluma en la mano. Todos
conocemos que su mejor obra “El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha” es la
mejor novela de la literatura universal.
Miguel de Cervantes
3
Nos es familiar la cara de Beethoven, con su gesto particular de enfado,
escribiendo la música que ya no podía oír, pero cuyas sinfonías reconocemos de
inmediato, especialmente la quinta, la sexta o Pastoral y la novena.
Ludwig van Beethoven
Y como no recordar el rostro de uno de los mejores pintores de la historia,
Francisco de Goya, con su paleta de pintor en una mano y su pincel en la otra como el
mismo se autorretrató. Muchas de sus obras nos vienen a la mente con solo pronunciar
su nombre.
Francisco de Goya
4
Autores ilustres, famosos pintores, maestros de la música, son conocidos
mundialmente, no sólo por sus excelentes obras, de las que todos disfrutamos y a las
que todos admiramos, sino por ellos mismos, es decir, conocemos sus rostros y
mediante ellos un poco de su personalidad de artistas. También conocemos algunos
rasgos peculiares de su biografía y de su forma de pensar. Generalmente somos capaces
de enmarcarlos en la época en que vivieron y vemos sus obras como grandes
aportaciones a la cultura universal.
Esto es así, por que desde que éramos pequeños, ya en la enseñanza primaria y
más tarde en la secundaria, cuando se nos hablaba de autores literarios, pintores o
artistas en general, no sólo se nos hablaba de sus obras, sino que se nos daba una visión
general de la época en que éstas se crearon y cómo no, se nos contaba algo de la vida
del autor: lugar y fechas de nacimiento y muerte, nombres y profesión de los padres,
matrimonios e hijos si los tuvieron, referencias históricas, políticas y económicas de su
época, costumbres y tendencias en el arte…También se nos cuenta lo que el autor ha
aportado como innovación a la literatura, pintura o música, aquellos rasgos que le
hicieron diferente a los demás artistas, aquello por lo que destacó e incluso en lo que se
adelantó a su tiempo.
Muchas veces, al hablarnos de un artista famoso se nos muestra un retrato o
fotografía de él para que nos sea familiar su rostro y para que recordemos su expresión
facial cuando estamos leyendo sus escritos o admirando sus obras.
También se nos habla de sus intereses, inquietudes e incluso de sus vicisitudes en
la vida, y todo ¿para qué?, para que nos transportemos a su tiempo y podamos ponernos
en su lugar y así entendamos mejor su manera de expresión y sus obras. Para que
veamos en él una persona de carne y hueso, como los demás, pero digna de conocer por
su sensibilidad, porque puede aportarnos algo positivo para nuestra vida y porque quizás
algunas de sus ideas recogidas en su obra ha hecho cambiar el curso de la historia de la
humanidad, o del pensamiento humano. Esto es imprescindible para apreciar su obra en
toda su extensión y en relación con la historia universal.
Sin embargo, si preguntamos a algunos de nuestros alumnos universitarios en qué
siglo vivió Pitágoras, cómo es el rostro de Gauss o de qué nacionalidad era Euler, no lo
saben, ¿por qué?, porque no se les ha enseñado. Nunca su profesor de matemáticas les
ha mostrado su foto ni ha dedicado un instante en clase a comentar algo referente a su
vida, a su época o a su obra. ¿Y eso a qué es debido?, ¿es que son menos importantes
los matemáticos que otros personajes destacados de la historia?, ¿es que acaso mucho de
los profesores de matemáticas conocen a sus personajes ilustres?
Lo que sucede en Matemáticas nos lo describe muy bien Denis Guedj (2.000),en
su libro “El teorema del loro”, página 31 de la edición en español de la editorial
Anagrama:
“Jonathan, como todos los estudiantes del mundo, había estudiado a Tales en
diversas ocasiones. En cada una de ellas, el profesor había hablado del teorema
pero nunca del autor. En las clases de matemáticas nunca se hablaba de las
personas sino de sus teorías. De vez en cuando se mencionaba a Tales, Pitágoras,
Pascal o Descartes, pero eran solamente nombres, como los de una parada de metro
o una marca de queso de quienes no se decía ni dónde ni cuando habían vivido. Las
fórmulas, demostraciones y teoremas llenaban la pizarra sin indicar quién los había
creado, como si existieran desde siempre, al igual que las montañas y los ríos,
aunque ni las unas ni los otros fueran eternos. Con ello se conseguía que los
teoremas parecieran aún más eternos que las montañas y los ríos. Las
5
matemáticas…. no eran como la historia, la geografía o la geología. Pero ¿Qué eran
con exactitud? La respuesta no interesaba a la mayoría.”
Para nuestros alumnos y para la mayoría de las personas “las Matemáticas son
diferentes”. Muchos alumnos piensan que las Matemáticas son eternas y estáticas, que
hablan de verdades inmutables y que en ellas todo está ya descubierto. Piensan que los
matemáticos son como semidioses dedicados a una ciencia fría, extraña, poderosa e
incomprensible para la mayoría de la gente. Pero …. ¿fomentamos nosotros esa idea
dejando a un lado la Historia de las Matemáticas y dando la idea, por omisión, de que
éstas son atemporales?, o por el contrario ¿contamos en nuestras clases las necesidades
y los problemas reales que hicieron pensar e investigar nuevos métodos matemáticos a
personas reales, con fecha y lugar de nacimiento?.
¿Somos como
“la mayor parte de los matemáticos contemporáneos que muestra poco
interés e incluso un cierto desprecio por la Historia de las Matemáticas y por sus
historiadores”,
pensando que ésta no sirve para nada, que
“lo valioso de la matemática antigua ya está incorporado a la ciencia actual y
como algo ya superado es mejor olvidarlo”?
Son palabras textuales de R. Torija Herrera en el prólogo (página 9) del libro
Arquímedes. Alrededor del Círculo, de la Editorial Nivola (1999).
¿Qué hacemos en nuestras clases?. Ya sabemos que uno de nuestros intereses es
que nuestros alumnos aprendan técnicas matemáticas necesarias que les ayuden a
resolver problemas con los que se enfrentarán en otras asignaturas de su carrera:
estadística, econometría, macro y microeconomía…, pero también deberíamos desear
que nuestras clases incentivaran el desarrollo integral del alumnado, es decir, tanto su
desarrollo intelectual como cultural, y para esto podemos utilizar como instrumento la
Historia de las Matemáticas.
Desde hace algunos años las editoriales de los libros de texto para la Educación
Secundaria se han empezado a interesar por la Historia de las Matemáticas y al principio
o al final de los temas dedican una o dos páginas a hablarnos de ellas, es poco, pero lo
podemos utilizar, pues pocas veces se enseña en los Institutos, lo podemos ampliar,
podemos mandar hacer trabajos de investigación a nuestros alumnos, podemos dejar
que hagan exposiciones orales de temas preparados por ellos de antemano.
La historia de las cifras, de los sistemas de numeración, de los signos y el lenguaje
algebraico, así como problemas clásicos que surgieron en diversas épocas, la vida y
obra de matemáticos … todo vale, cualquier cosa que les haga ver que las Matemáticas
son una ciencia fluida, siempre en movimiento, cautivadora y por supuesto que ha
llevado a la humanidad a logros que eran impensables en otros tiempos, y que los
matemáticos han influido y siguen influyendo en el avance y en la historia de la
humanidad tanto o más que cualesquiera otros científicos, pensadores o artistas.
Pero, ¿es serio hacer esto en una clase de Matemáticas Empresariales de 1º o 2º?,
¿no sería más propio de una clase de Enseñanza Secundaria? ¿Parecería serio si en
medio de una clase Enseñanza Superior en la que apareciera por algún motivo el
número π se les contara a los alumnos por qué al cociente entre la longitud de la
6
circunferencia y su diámetro se le dio el nombre de esa letra griega y quién, y en qué
época le denominó así?.
Es el cociente entre la longitud de cualquier
circunferencia y su diámetro.
d
π = l
El llamar a este número π viene de la palabra
griega “peripheria” que, por ser griega,
empieza por la letra π (la equivalente a nuestra letra
P).
Esta palabra significa circunferencia (la
periferia del círculo) pero este nombre, π , no se lo
dieron los griegos sino que lo empezó a usar, en el
siglo XVIII, el gran matemático suizo Leonhard
Euler.
¿Parecería apropiado que al hablar del criterio de Cauchy para la convergencia de
series de términos positivos mostráramos a los alumnos un retrato del citado
matemático y les habláramos un poco de su vida y obra?
7
Con muchas dudas y preguntas sobre el tema, pero siendo fieles a nuestra firme
convicción de que la Historia de las Matemáticas debería ser más conocida, ya que hace
a esta materia más viva, más dinámica y más cercana al alumno, y pensando que es
bueno enseñarla en cualquier nivel de estudios: enseñanza primaria, secundaria y
universitaria, decidimos poner en práctica nuestras ideas sobre el tema en este curso
2002/03, en las clases de Matemáticas Empresariales II en la Facultad de Ciencias
Económicas y Empresariales de la Universidad Complutense de Madrid.
Desde el primer día de clase contamos algo de Historia de las Matemáticas según
ésta iba apareciendo en los temas que explicábamos.
Recordamos la cara de asombro de los alumnos la primera vez que nos vieron
desplegar en el aula un cartel con la cara de Cauchy después de haber anotado en la
pizarra: “Criterio de convergencia de Cauchy”. Seguro que, ni ellos ni nosotras,
olvidaremos esa clase.
Al ver el retrato de lo que hasta ahora para ellos era tan sólo un teorema estudiado
en secundaria: “ El teorema de Cauchy o generalización del teorema del valor medio”,
se dieron cuenta de que tras el nombre, ya conocido por ellos, había una persona de
carne y hueso que había estado viva en una cierta época, en este caso de 1789 a 1857 y
que tenía un nombre de pila: Augustin Louis.
Augustin Louis Cauchy
La sensación fue semejante a la sentimos cuando nos enteramos que Serrano no es
sólo una de las calles más caras de Europa por la que hemos paseado muchas veces,
8
sino que su nombre se debe a Pablo Serrano, escultor español de principios del siglo
XX.
A continuación les repartimos una fotocopia con un retrato en pequeño del citado
matemático y un breve resumen de su vida y obra y les propusimos que, de manera
voluntaria, ampliaran ese resumen y que, también voluntariamente, expusieran, en 10 o
15 minutos, sus trabajos ante sus compañeros.
Claro, había que dar un valor a su esfuerzo, y, para ellos, lo único importante es la
calificación final de la asignatura, así que les prometimos una subida de medio punto
como máximo en su nota final.
En las siguientes clases fueron conociendo a D´Alembert, Leibnitz, Newton,,,,
Gottfried Wilhelm Leibniz
y más tarde a Euler, Riemann, Barrow…
Leonhard Euler
Era digna de notar la expectativa que se creaba en el aula cuando se citaba por
primera vez el nombre de un matemático que aún no estaba en su colección. Pedían con
9
la mirada el cartel con la foto y el resumen de su vida. Un emocionan silencio
inundaba el aula hasta que por fin un …¡ahhhhh!…, rompía la magia del instante,
cuando al fin, pausadamente, disfrutando del momento, les enseñabamos el poster con
la cara del matemático que habíamos mantenido escondida hasta ese momento.
Fue muy interesante la experiencia.
Cuando en diferentes ocasiones volvíamos a citar a alguno de nuestros
matemáticos conocidos, los alumnos escuchaban con más interés, como si el nuevo
teorema que les presentaba hubiera sido escrito por un amigo o por un conocido de toda
la vida que tenía algo importante que decirles. Le recordaban como persona, como
alguien que se había tenido que esforzar para llegar a unos resultados importantes, les
animaba la idea de que los genios también tienen que estudiar profundamente y
dedicarse con ímpetu a su trabajo de investigación, valoraban más lo que estaban
estudiando y veían las Matemáticas como una ciencia dinámica que reta a cualquier
persona que quiera intentarlo a descubrir sus secretos, y, cómo no, ellos también podían
participar, aunque fuera de manera sencilla, resolviendo los problemas que se les
planteaban en clase.
En este punto también trabajamos presentando problemas aún abiertos, como por
ejemplo la suma de la serie Σ 3
1
n
que Euler no pudo resolver mientras que sí logró
sumar
6
1 2
2
π
Σ = n
.
A final de curso recogimos doce trabajos y tres alumnos se decidieron a
exponerlos en clase.
Una alumna que trabajó sobre la vida de Euler comentó lo interesante que le había
parecido la Teoría de Grafos, antes desconocida para ella por completo y que se le
habían abierto las ganas de investigar sobre ella. De hecho hizo una sencilla, pero muy
interesante exposición de esta Teoría, utilizando transparencias y gráficos, que añadió a
su trabajo sobre Euler.
Conclusiones:
Los más ilustres pintores, escritores, músicos …de la historia son conocidos no
sólo por sus obras, sino también por sus rostros y biografía. Sin embargo, la mayor parte
de los matemáticos, cuyos descubrimientos han cambiado el rumbo de la historia son
verdaderos desconocidos, no sólo para la gente en general, sino lo que es peor para los
estudiantes e incluso para algunos profesionales de esta ciencia.
La Historia de las Matemáticas es una asignatura pendiente en todos los niveles de
estudio, dando la falsa idea de que son estáticas y completas.
El conocimiento de la Historia de las Matemáticas hace que el alumno las vea más
cercanas y accesibles a la vez que fomenta su espíritu investigador.
Es tarea de todos los profesores de Matemáticas, tanto de enseñanza primaria,
como de secundaria y por su puesto de universidad, dar a conocer a nuestros alumnos
pinceladas de Historia de las Matemáticas que les haga más interesante la asignatura,
que les enseñe la manera de trabajar de los grandes matemáticos, que les acerque a la
persona humana a la que nos referimos y por su puesto que aumente, no sólo su
conocimiento científico, sino en general su bagage cultural y su formación integral.
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