3.9.1 Matriz Hessiana


El hessiano, conocido también como discriminante, fue introducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán .


PASOS A SEGUIR PARA ENCONTRAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS UTILIZANDO MATRICES HESSIANAS

1. Tener la función original que se va a trabajar.

2. Calcular las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que se tiene la función original.

3. Igualar a cero las primeras derivadas que se calcularon en el paso 2.

4. Simultanear las ecuaciones generadas en el paso 3 para encontrar el valor de cada una de las variables. Esos valores encontrados para cada una de las variables serán las coordenadas de los puntos críticos.

5. Teniendo los puntos críticos que se encontraron en el paso 4, se tiene que calcular las segundas derivadas parciales en el punto crítico de modo que asignemos los valores de cada elemento de la matriz hessiana, ya sea matriz 2 x 2 (si la función es de 2 variables), 3 x 3 (si la función es de 3 variables), 4 x 4 (si la función es de 4 variables), n x n (si la función es de n variables).

6. Resolver la matriz hessiana normalmente como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada. El resultado que se obtenga de la matriz hessiana es la respuesta.

7. Se sacan conclusiones de la respuesta obtenida en el paso 6 .

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MATRIZ HESSIANA

Encontrar los máximos y mínimos (si los hay) de la función:

f(x,y,z) = x² + y² + 7z² - xy

Solución:

Calculando las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original:

Fx = 2x-y

Fy= 2y-x

Fz=14z

Igualando a cero las primeras derivadas:

22x – y = 0

2y – x = 0

14z = 0

Simultanear las ecuaciones anteriores para encontrar los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los puntos críticos:

Al simultanear las ecuaciones obtenemos que los valores de x, y y z (osea los puntos críticos) son:

x = 1/3

y = 2/3

z = 0

Esto significa que las coordenadas del punto crítico son: f(1/3,2/3,0).

* Como podemos apreciar en el tema en genera, las matrices hessianas nos sirven para tener un cálculo rápido de funciones, así como también nos sirven para la optimización de la misma.
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